Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách giải toán 7 Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác – Luyện tập [trang 73-74] giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 7 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Lời giải
Không vẽ được tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài
Lời giải
– Giả thiết : ΔABC
– Kết luận :
AB + AC > BC
BC + AC > AB
BC + AB > AC
Lời giải
Ba cạnh có độ dài 1cm, 2cm, 4cm có: 1cm + 2 cm = 3 cm < 4 cm
Trái với định lí về bất đẳng thức tam giác
⇒ Không có tam giác với ba cạnh có độ dài 1cm, 2cm, 4cm
Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
a] 2cm, 3cm, 6cm
b] 2cm, 4cm, 6cm
c] 3cm, 4cm, 6cm
Lời giải:
a] Ta có: 3cm + 2cm = 5cm < 6cm
⇒ Bộ ba đoạn thẳng 2cm, 3cm, 6cm không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên không phải là ba cạnh của tam giác.
b] Vì 6cm = 2cm + 4cm
⇒ Bộ ba đoạn thẳng 2cm, 4cm, 6cm không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên không phải là ba cạnh của tam giác.
c] Ta có : 4cm + 3cm = 7cm > 6cm.
⇒ Bộ ba đoạn thẳng 3cm, 4cm, 6cm thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên là ba cạnh của tam giác.
Cách dựng tam giác có ba độ dài 3cm, 4cm, 6cm
– Vẽ BC = 6cm
– Dựng đường tròn tâm B bán kính 3cm ; đường tròn tâm C bán kính 4cm. Hai đường tròn cắt nhau tại A. Nối AB, AC ta được tam giác cần dựng.
Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết rằng độ dài này là một số nguyên [cm]. Tam giác ABC là tam giác gì?
Lời giải:
Theo bất đẳng thức tam giác ABC ta có:
AC – BC < AB < AC + BC
Thay BC = 1cm, AC = 7cm, ta được:
7 – 1 < AB < 7 + 1
6 < AB < 8 [1]
Vì độ dài AB là một số nguyên [cm] thỏa mãn [1] nên AB = 7cm
Do đó ΔABC cân tại A vì AB = AC = 7cm.
* Cách dựng tam giác ABC
– Vẽ BC = 1cm
– Dựng đường tròn tâm B bán kính 7cm ; đường tròn tâm C bán kính 7cm. Hai đường tròn cắt nhau tại A.
Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
a] So sánh MA với MI + IA, từ đó chứng minh MA + MB < IB + IA.
b] So sánh IB với IC + CB, từ đó chứng minh IB + IA < CA + CB.
c] Chứng minh bất đẳng thức MA + MB < CA + CB.
Lời giải:
a] M nằm trong tam giác nên M không nằm trên cạnh AC.
⇒ A, M, I không thẳng hàng.
Xét bất đẳng thức tam giác trong ΔAMI:
MA < MI + IA
⇒ MA + MB < MB + MI + IA [cộng MB cả hai vế]
hay MA + MB < IB + IA [vì MB + MI = IB].
b] Ba điểm B, I, C không thẳng hàng.
Xét bất đẳng thức tam giác trong ΔIBC:
IB < IC + CB
⇒ IB + IA < IA + IC + BC [cộng với IA cả hai vế]
hay IB + IA < CA + CB [vì IA + IC = AC]
c] Theo kết quả câu a và câu b
MA + MB < IB + IA < CA + CB nên MA + MB < CA + CB.
Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
Luyện tập [trang 63-64 sgk Toán 7 Tập 2]
a] 2cm; 3cm; 4cm
b] 1cm; 2cm; 3,5cm
c] 2,2cm; 2cm; 4,2cm
Hãy vẽ tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là một trong các bộ ba ở trên [nếu vẽ được]. Trong trường hợp không vẽ được hãy giải thích.
Lời giải:
a] Ta có 2cm + 3cm = 5cm > 4cm.
Do đó bộ đoạn thẳng 2cm, 3cm, 4cm có thể thành 3 cạnh của tam giác.
Cách dựng tam giác có ba độ dài 3cm, 4cm, 6cm
– Vẽ BC = 4cm
– Dựng đường tròn tâm B bán kính 2cm ; đường tròn tâm C bán kính 3cm. Hai đường tròn cắt nhau tại A. Nối AB, AC ta được tam giác cần dựng.
b] 1cm + 2cm = 3cm < 3,5cm
⇒ bộ ba đoạn thẳng 1cm, 2cm, 3,5cm không thể tạo thành 1 tam giác.
c] 2,2cm + 2cm = 4,2cm.
⇒ Bộ ba đoạn thẳng 2,2cm; 2cm; 4,2cm không lập thành tam giác.
Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
Luyện tập [trang 63-64 sgk Toán 7 Tập 2]
Lời giải:
Tam giác là cân biết hai cạnh của nó là 3,9cm và 7,9cm.
Cạnh có độ dài 3,9cm có thể là độ dài cạnh bên hoặc cạnh đáy
Giả sử cạnh 3,9cm là độ dài cạnh bên.
Ta có tam giác cân đó có độ dài 3 cạnh là: 3,9 cm; 3,9 cm ; 7,9 cm
Mà : 3,9 + 3,9 = 7,8 < 7,9 [không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác] ⇒ loại
⇒ Cạnh 3,9cm là độ dài cạnh đáy, độ dài hai cạnh bên bằng 7,9cm.
Vậy : chu vi tam giác là:
3,9 + 7,9 + 7,9 = 19,7 [cm]
Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
Luyện tập [trang 63-64 sgk Toán 7 Tập 2]
Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc AH đến đường thẳng BC [H thuộc BC].
a] Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở Bài 1 để chứng minh AB + AC > BC.
b] Từ giả thiết về cạnh BC, hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.
Lời giải:
a] Ta chứng minh H nằm giữa B và C.
Thật vậy: giả sử H nằm ngoài cạnh BC.
Giả sử B nằm giữa H và C
Xét tam giác ABC có cạnh AC đối diện với góc B ⇒ cạnh AC lớn nhất [cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất]. Điều này trái với giả thiết BC lớn nhất.
Tương tự giả sử C nằm giữa B và H cũng trái với giả thiết BC là cạnh lớn nhất.
Vậy H phải nằm giữa B và C.
⇒ HB + HC = BC.
– Xét ∆AHC vuông tại H có AC là cạnh đối diện với góc H
⇒ cạnh AC là cạnh lớn nhất [cạnh đối diện với góc vuông hoặc góc tù trong tam giác là cạnh lớn nhất] ⇒ AC > HC [1]
Chứng minh tương tự ta có AB > BH [2]
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức [1] và [2] ta có
HB + HC < AC + AB
hay BC < AC + AB [vì HB + HC = BC]
b] BC là cạnh lớn nhất nên suy ra AB < BC và AC < BC
⇒ AB < BC + AC ; AC < BC + AB.
Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
Luyện tập [trang 63-64 sgk Toán 7 Tập 2]
Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để dụng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất.
Lời giải:
Ta có: AC + BC ≥ AB [vì C là điểm chưa xác định]
Do đó: AC + BC ngắn nhất khi AC + BC = AB
⇒ A, B, C thẳng hàng và C nằm giữa A; B.
Vậy vị trí dặt một cột mắc dây điện từ trạm về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn ngắn nhất là C nằm giữa A và B [và A, B, C thẳng hàng]
Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
Luyện tập [trang 63-64 sgk Toán 7 Tập 2]
a] Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
b] Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120km?
Lời giải:
Theo đề bài AC = 30km, AB = 90km ⇒ AC < AB.
Trong ∆ABC có: CB > AB – AC [hệ quả bất đẳng thức tam giác]
⇒ CB > 90 – 30 = 60km
Nếu đặt tại C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B không nhận được tín hiệu.
b] Trong tam giác ABC có: BC < AC + AB [bất đẳng thức tam giác].
nên BC < 30 + 90 =120km
Nếu đặt tại C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 120km thì thành phố B nhận được tín hiệu.
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách giải toán 7 Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu – Luyện tập [trang 59-70] giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 7 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Hãy dùng êke để vẽ và tìm hình chiếu của điểm A trên d. Vẽ một đường xiên từ A đến d, tìm hình chiếu của đường xiên này trên d.
Lời giải
Sau khi vẽ theo yêu cầu đề bài, ta có:
– Kẻ AH ⊥ d, H ∈ d ⇒ H là hình chiếu của A trên d
– Trên d lấy điểm B ≠ H . Nối AB ⇒ AB là đường xiên từ A đến d
Hình chiếu của đường xiên AB trên d là HB
Lời giải
– Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được 1 đường vuông góc với d
– Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được vô số đường xiên đến d
Lời giải
Xét tam giác AHB vuông tại H
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
AB2 = AH2 + BH2
⇒ AB2 > AH2
⇒ AB > AH
Hay AH < AB
a] Nếu HB > HC thì AB > AC;
b] Nếu AB > AC thì HB > HC;
c] Nếu HB = HC thì AB = AC, và ngược lại, nếu AB = AC thì HB = HC.
Lời giải
Xét tam giác AHB vuông tại H
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
AB2 = AH2 + HB2 [1]
Xét tam giác AHC vuông tại H
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
AC2 = AH2 + HC2 [2]
a] Nếu HB > HC ⇒ HB2 > HC2.
⇒ AH2 + HB2 > AH2 + HC2
Kết hợp với 2 điều kiện [1] và [2]
⇒ AB2 > AC2
⇒ AB > AC
b] AB > AC ⇒ AB2 > AC2
Kết hợp với 2 điều kiện [1] và [2]
⇒ AH2 + HB2 > AH2 + HC2
⇒ HB2 > HC2
⇒ HB > HC
c] – Nếu HB = HC ⇒ HB2 = HC2.
⇒ AH2 + HB2 = AH2 + HC2
Kết hợp với 2 điều kiện [1] và [2]
⇒ AB2 = AC2
⇒ AB = AC
– Nếu AB = AC ⇒ AB2 = AC2
Kết hợp với 2 điều kiện [1] và [2]
⇒ AH2 + HB2 = AH2 + HC2
⇒ HB2 = HC2
⇒ HB = HC
Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
a] HB = HC;
b] HB > HC;
c] HB < HC.
Lời giải:
Dựa vào hình vẽ, ta có:
AB, AC là hai đường xiên kẻ từ A đến BC.
HB là hình chiếu của AB trên đường thẳng BC.
HC là hình chiếu của AC trên đường thẳng BC.
Mà AB < AC nên HB < HC [Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn].
Vậy c] đúng.
Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không [ngày hôm sau có bơi xa hơn ngày hôm trước hay không]? Vì sao?
Lời giải:
+ Nhận thấy các điểm A, B, C, D, … cùng nằm trên một đường thẳng. Gọi đường thẳng đó là đường thẳng d.
+ Theo định nghĩa:
MA, MB, MC, MD, … là các đường xiên kẻ từ M đến d.
MA là đường vuông góc kẻ từ M đến d
AB là hình chiếu của MB trên d
AC là hình chiếu của MC trên d
AD là hình chiếu cùa MD trên d
…
+ Theo định lý 1, MA là đường ngắn nhất trong các đường MA, MB, MC, …
+ Theo định lý 2: AB < AC < AD < … nên MB < MC < MD < … [đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn].
Vậy MA < MB < MC < MD < … nên bạn Nam đã tập đúng mục đích đề ra.
Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Luyện tập [trang 59-60 sgk Toán 7 Tập 2]
Lời giải:
Giả sử ΔABC cân tại A, M là điểm thuộc cạnh đáy BC, ta chứng minh AM ≤ AB; AM ≤ AC.
– TH1 : Nếu M ≡ B hoặc M ≡ C [Kí hiệu đọc là trùng với] thì AM = AB = AC.
– TH2 : Nếu M nằm giữa B và C và M ≠ B; M ≠ C.
Kẻ AH ⊥ BC tại H
+ Nếu M ≡ H ⇒ AM ⊥ BC tại M hay AM là đường vuông góc từ A đến BC.
Mà AB, AC là các đường xiên từ A đến đường thẳng BC.
Theo định lí 1 : Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường thẳng vuông góc là đường ngắn nhất.
⇒ AM < AB và AM < AC.
+ Nếu M ≠ H giả sử M nằm giữa H và C ⇒ MH < CH.
Vì MH và CH lần lượt là hình chiếu của MA và CA trên đường BC
Mà MH < CH ⇒ MA < CA [đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn].
Chứng minh tương tự nếu M nằm giữa H và B
Vậy mọi vị trí của M trên cạnh đáy BC thì AM ≤ AB = AC.
Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Luyện tập [trang 59-60 sgk Toán 7 Tập 2]
Cho hình 13. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để chứng minh rằng:
Nếu BC < BD thì AC < AD
Hướng dẫn:
a] Góc ACD là góc gì? Tại sao?
b] Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao?
Lời giải:
a] Ta có BC < BD mà C, D nằm cùng phía so với B ⇒ C nằm giữa B và D.
b] Trong tam giác ACD có góc ACD là góc tù .
Mà AD là cạnh đối diện với góc ACD.
⇒ AD là cạnh lớn nhất trong tam giác ACD [cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất trong tam giác].
nên AD > AC hay AC < AD
Vậy Nếu : BC < BD thì AC < AD.
Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Luyện tập [trang 59-60 sgk Toán 7 Tập 2]
Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó.
Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt thước như trong hình 15 có đúng không?
Lời giải:
Dựa vào hình 14 ta nhận thấy khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu nằm trên hai đường thẳng và vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
Vì vậy muốn đo bề rộng của một tấm gỗ chính là xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ta phải đặt thước vuông góc với hai cạnh song song của tấm gỗ.
Cách đặt thước như trong hình 15 là sai.
Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Luyện tập [trang 59-60 sgk Toán 7 Tập 2]
Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó.
Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt thước như trong hình 15 có đúng không?
Lời giải:
Dựa vào hình 14 ta nhận thấy khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu nằm trên hai đường thẳng và vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
Vì vậy muốn đo bề rộng của một tấm gỗ chính là xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ta phải đặt thước vuông góc với hai cạnh song song của tấm gỗ.
Cách đặt thước như trong hình 15 là sai.
Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Luyện tập [trang 59-60 sgk Toán 7 Tập 2]
a] BE < BC;
b] DE < BC.
Lời giải:
a] Ta có: BE, BC là hai đường xiên vẽ từ B đến đường AC.
BA ⏊ AC tại A nên A là hình chiếu của B trên AC
⇒ AE, AC lần lượt là hình chiếu của BE, BC.
Trong hình vẽ E nằm giữa A và C ⇒ AE < AC ⇒ BE < BC [đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn].
b] Trong hình vẽ D nằm giữa A và B ⇒ AD < AB
Ta có: ED, EB là hai đường xiên vẽ từ E đến đường AB
EA ⏊ AB tại A nên A là hình chiếu của E trên AB.
⇒ AD, AB lần lượt là hình chiếu của ED, EB trên AB
Trong hình vẽ D nằm giữa A và B ⇒ AD < AB nên ED < EB hay DE < BE [đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn].
Kết hợp với kết quả câu a suy ra DE < BE < BC ⇒ DE < BC.
Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Luyện tập [trang 59-60 sgk Toán 7 Tập 2]
Lấy điểm M trên đường thẳng QR sao cho PM = 4,5cm. Có mấy điểm M như vậy?
Điểm M có nằm trên cạnh QR hay không? Tại sao?
Lời giải:
* Vẽ hình:
– Vẽ tam giác PQR có PQ = PR = 5cm, QR = 6cm.
+ Vẽ đoạn thẳng QR = 6cm.
+ Vẽ cung tròn tâm Q và cung tròn tâm R bán kính 5cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại P.
+ Nối PQ và PR ta được tam giác cần vẽ.
– Vẽ điểm M : Vẽ cung tròn tâm P bán kính 4,5cm cắt QR [nếu có] tại M.
* Kẻ đường cao PH của ΔPQR
Xét hai tam giác vuông tại H: ΔPHQ và ΔPHR có
PH chung
PQ = PR [ = 5cm]
⇒ ΔPHQ = ΔPHR [cạnh huyền – cạnh góc vuông]
⇒ HQ = HR [Hai cạnh tương ứng]
Mà HQ + HR = QR = 6 cm
+ ΔPHR vuông tại H có PR2= PH2+ HR2[định lí Py – ta – go]
⇒ PH2= PR2– HR2= 52– 32= 16 ⇒ PH = 4cm .
Đường vuông góc PH = 4cm là đường ngắn nhất trong các đường kẻ P đến đường thẳng QR.
Vậy chắc chắn có đường xiên PM = 4,5cm [vì PM = 4,5cm > 4cm] kẻ từ P đến đường thẳng QR.
+ Lại có : HM, HR lần lượt là hình chiếu của các đường xiên PM, PR trên đường thẳng QR.
Mà PM < PR ⇒ HM < HR = HQ [đường xiên nào lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn].
⇒ M nằm giữa H và Q hoặc H và R
⇒ M nằm trên cạnh QP và có hai điểm M như vậy.