VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Phương pháp. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Cách 1: Dựng mặt phẳng [P] chứa đường thẳng a và song song với b. Khoảng cách từ b đến [P] là khoảng cách cần tìm. Cách 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm. Cách 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó. Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Cách 1: Khi dựng một [2] b, [P] tại H. rong [P] dựng HK Ib tại K. Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b. Cách 2: Dựng [P]2b, [P] // a. Dựng al = h, bằng cách lấy dựng đoạn MN I [a], lúc đó a là đường thẳng đi qua N và song song a. Dựng HK // MNHK là đoạn vuông góc chung. Cách 3: Dựng mặt phẳng [P] vuông góc với a tại điểm M. Dựng hình chiếu b của b trên [P]. Dựng hình chiếu vuông góc H của M trên b. Từ H dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại điểm B. Qua B dựng đường thẳng song song với MH, cắt a tại điểm A. Khi đó, AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB, SC = 2a/5 và góc giữa SC và [ABCD] bằng 60°, M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SD bằng. Ta có SA [ABCD] = SC có hình chiếu trên [ABCD] là AC = [SC, ABCD] = [SC, AC] = SCA = 60°. Ta giác SAC vuông tại A = AC = SC.cos 60°. Dựng hình bình hành AMDN và dựng AHISN tại H. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, BAC = 60°, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a/3. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM bằng. Gọi N là trung điểm cạnh SA. Do SB/[CMN] nên d[SB,CM] = d[SB,[CMN]] = d[B,[CMN]] = d[A,[CMN]. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, SA vuông góc với đáy, SA = AD = a, AB = 2a. Khoảng cách giữa AB và SC bằng. Trong mặt phẳng [SAD] từ A kẻ AH. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60°, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SD bằng . Gọi H là trung điểm CD. Ta có: CD I SH. Lưu ý: Ở trên ta đã sử dụng công thức VS.ABCD = SA.SABCD . Đây là công thức thể tích của khối đa diện học ở chương trình 12. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a/3, góc giữa mặt phẳng [SBD] và mặt phẳng [ABCD] bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng. Trong mặt phẳng [ABCD] đường thẳng qua D song song với AC, cắt đường thẳng AB tại E. Trong tam giác ADE kẻ đường cao AK. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a/3, BAD = 120° và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng [SBC] và [ABCD] bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng. Sử dụng hai tam giác đồng dạng ICO và ACS hoặc đường cao của tam giác SAC, suy ra được OI. Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 45°. Gọi E là trung điểm BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC theo a bằng. Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD] và SA = AD = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng Trong mặt phẳng [SAD], vẽ AHISD. Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên khoảng cách giữa AB và CC chính là AH. Trong tam giác vuông SAD có AH là đường cao. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng đồ.
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB đều cạnh a, tam giác ABC cân tại C. Hình chiếu của S trên mặt phẳng [ABC] là trung điểm của cạnh AB, góc hợp bởi cạnh SC và mặt đáy là 30°. Tính khoảng cách của hai đường thẳng SA và BC. Gọi H là trung điểm cạnh AB, ta có SH là đường cao của hình chóp S.ABC và CH là đường cao của tam giác ABC. Từ giả thiết ta được SCH = 30°. Tam giác SHC vuông tại H nên tan 30o = CH = 3a. Dựng hình bình hành ABCD. Gọi G, K lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng AD và SG. Ta có Mà HK LSG nên HK [SAD] hay d[H,[SAD]] = HK. Tam giác SHC vuông tại H. Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD, tứ giác ABCD là hình thang cân, hai đáy là BC và AD. Biết SA = a2, AD = 2a, AB = BC = CD = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng [ABCD] trùng với trung điểm cạnh AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD bằng A.
- Đường thẳng $\Delta $ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
- Đường thẳng vuông góc chung $\Delta $ cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Cách xác định đoạn vuông góc chung của 2 đường chéo nhau.
Cho 2 đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi $\left[ \beta \right]$ là mặt phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu vuông góc của a trên $\Rightarrow CD\bot [SHC]\Rightarrow \overset\frown{SCH}={{60}^{\circ }}$.
Vì $a//\left[ \beta \right]$ nên $a//a'$. Gọi $N=a'\cap b$ và $\left[ \alpha \right]$ là mặt phẳng chứa a và a’. Dựng đường thẳng $\Delta $ qua N và vuông góc chung và MN là đoạn vuông góc chung của a và b.
Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
Phương pháp Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.
Phương pháp giải: Dựng đường vuông góc chung. Khảo sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau d [thuộc mặt đáy] và đường thẳng SC thuộc bên khối chóp trong trường hợp $d\bot SC$.
Dựng hình: Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng đáy là HC
Mặt khác: $\left\{ \begin{array} {} SC\bot d \\ {} SH\bot d \\ \end{array} \right.\Rightarrow d\bot \left[ SHC \right]$
Gọi $M=d\cap HC$, dựng $MK\bot SC$ khi đó MK là đoạn vuông góc chung của AC và SC
Cách tính: Dựng $HE\bot SC$ khi đó $\frac{MK}{HE}=\frac{MC}{HC}\Rightarrow MK=\frac{MC}{HC}.HE$
Xét tam giác vuông SHC ta có: $\frac{1}{H{{E}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{C}^{2}}}\Rightarrow HE=MK=d\left[ d;SC \right]$
Bài tập tính khoảng cách giữa 2 đường thăng vuông góc với nhau và chéo nhau
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và $SA\bot [ABCD]$. Biết rằng SC tạo với mặt đáy một góc $60{}^\circ $ a] Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD b] Tính khoảng cách giữa BD và SC. |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $AC=a\sqrt{2}$. Do $SA\bot \left[ ABCD \right]$ và SC tạo với đáy góc $60{}^\circ $ nên $\widehat{SCA}=60{}^\circ $
Khi đó $SA=AC\tan 60{}^\circ =a\sqrt{6}$
Do $\left\{ \begin{array} {} AB\bot AD \\ {} AB\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot [SAD]$
Dựng $AH\bot SD$ suy ra AH là đoạn vuông góc chung của AB và SD
Ta có: $\frac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{42}}{7}$
b] Ta có: $BD\bot SC$ tại O và $BD\bot SA$$\Rightarrow BD\bot \left[ SAC \right]$
Dựng $OK\bot SC$$\Rightarrow OK\bot BD$ nên OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC
Do đó $d\left[ BD;SC \right]=OK=OC\sin \widehat{OCK}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{6}}{4}$
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, gọi I là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm CI. Biết chiều cao của khối chóp là $h=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách d giữa đường thẳng AB và SC. |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $\left\{ \begin{array} {} CI\bot AB \\ {} SH\bot AB \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot [SIC]$
Dựng $IF\bot SC$ khi đó IF là đoạn vuông góc chung của AB và SC. Dựng $HE\bot SC$ ta có: $HE=\frac{1}{2}IF$
Lại có $CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CH=\frac{a\sqrt{3}}{4}$
Khi đó $HE=\frac{SH.HC}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{51}}{17}\Rightarrow IF=\frac{2a\sqrt{51}}{17}$
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD cạnh a và $SA\bot \left[ ABCD \right]$. Biết mặt phẳng $\left[ SBC \right]$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $ a] Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và CD. b] Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BD và SC. |
Lời giải chi tiết
a] Do:$\left\{ \begin{array} {} BC\bot AB \\ {} BC\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot [SAB]\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow BC$ là đoạn vuông góc chung của SB và CD.
Ta có: $d\left[ SB;CD \right]=BC=a$
c] Mặt khác $BC\bot \left[ SAB \right]$
Do đó $\widehat{\left[ \left[ SBC \right];\left[ ABCD \right] \right]}=\widehat{SBA}=60{}^\circ $
Suy ra $SA=AB\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có $\left\{ \begin{array} {} BD\bot AC \\ {} BD\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BD\bot [SAC]$
Dựng $OM\bot SC$ khi đó OM là đường vuông góc chung của BD và SC
Ta có $\Delta CAS\sim \Delta CMO\left[ g-g \right]\Rightarrow \frac{SC}{CO}=\frac{SA}{MO}\Rightarrow OM=\frac{SA.OC}{SC}=\frac{a\sqrt{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{30}}{10}$
Cách 2: Dựng $AN\bot SC\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AN$. Mặt khác $\frac{1}{A{{N}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}\Rightarrow AN=\frac{a\sqrt{30}}{5}$
Khi đó $d=OM=\frac{1}{2}AN=\frac{a\sqrt{30}}{10}$
| Bài tập 4: Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng SA và BC. |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của BC khi đó $SH\bot BC$
Mặt khác $[SBC]\bot [ABC]$ do đó $SH\bot [ABC]$
Ta có: $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $AB=AC=\frac{a}{\sqrt{2}};AH=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$
Do $\left\{ \begin{array} {} BC\bot AH \\ {} BC\bot SH \\ \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot [SHA]$. Dựng $HK\bot SA$ khi đó
HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA.
Lại có: $HK=\frac{SH.AH}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$
| Bài tập 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân AB = BC = 3a, hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng [ABB’A’] tạo với mặt phẳng [ABC] một góc 60°. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và B’C. |
Lời giải chi tiết
Dựng $CI\bot AB\Rightarrow I$ là trung điểm của AB.
Ta có: $[B'GI]\bot AB\Rightarrow \overset\frown{B'IG}={{60}^{\circ }}$
Lại có: $CI=\frac{1}{2}AB=\frac{3a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow GI=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow B'G=GI\tan {{60}^{\circ }}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$
Dựng $IH\bot B'C\Rightarrow d[AB;B'C]=IH=\frac{B'G.CI}{B'C}$
Ta có: $B'C=\sqrt{B'{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}\Rightarrow IH=\frac{3a\sqrt{42}}{14}$
Do đó $d[AB;B'C]=IH=\frac{3a\sqrt{42}}{14}$
Hoặc dựng : $GK//IH\Rightarrow IH=\frac{3}{2}GK=\frac{3}{2}.\frac{B'G.GC}{\sqrt{B'{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}}}$