Kí hiệu là \[{f_1}\left[ x \right] = {g_1}\left[ x \right] \Leftrightarrow {f_2}\left[ x \right] = {g_2}\left[ x \right]\]
- \[{f_2}\left[ x \right] = {g_2}\left[ x \right]\] gọi là phương trình hệ quả của phương trình \[{f_1}\left[ x \right] = {g_1}\left[ x \right]\] nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình \[{f_1}\left[ x \right] = {g_1}\left[ x \right]\].
Kí hiệu là \[{f_1}\left[ x \right] = {g_1}\left[ x \right] \Rightarrow {f_2}\left[ x \right] = {g_2}\left[ x \right]\]
B. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
1.2. Phương trình bậc nhất
\[ax + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Hệ số
Kết luận
\[a \ne 0\]
\[\left[ 1 \right]\] có nghiệm duy nhất \[x = - \frac{b}{a}\]
\[a = 0\]
\[b \ne 0\]
\[\left[ 1 \right]\] vô nghiệm
\[b = 0\]
\[\left[ 1 \right]\] nghiệm đúng với mọi \[x\]
Khi \[a \ne 0\] phương trình \[ax + b = 0\] được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
1.3. Phương trình bậc hai
\[a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left[ {a \ne 0} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
\[\Delta = {b^2} - 4ac\]
Kết luận
\[\Delta > 0\]
\[\left[ 2 \right]\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_{1,\,\,2}} = \frac{{ - \,b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\]
\[\Delta = 0\]
\[\left[ 2 \right]\] có nghiệm kép \[x = - \frac{b}{{2a}}\]
\[\Delta < 0\]
\[\left[ 2 \right]\] vô nghiệm
1.4. Định lí Vi -ét
Nếu phương trình bậc hai \[a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\left[ {a \ne 0} \right]\] có hai nghiệm \[{x_1},\,\,{x_2}\] thì
\[{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\]
Ngược lại, nếu hai số \[u\] và \[v\] có tổng \[u + v = S\] và tích \[uv = P\] thì \[u\] và \[v\] là các nghiệm của phương trình
\[{x^2} - Sx + P = 0.\]
1.5. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Định nghĩa và tính chất
\[\begin{array}{l} \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l} A & khi\,\,A \ge 0\\ - A & khi\,\,A < 0 \end{array} \right.\\ \left| A \right| \ge 0,\,\,\forall A\\ \left| {A.B} \right| = \left| A \right|.\left| B \right|\\ {\left| A \right|^2} = {A^2}\\ \left| {A + B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| \Leftrightarrow A.B \ge 0\\ \left| {A + B} \right| = \left| {\left| A \right| - \left| B \right|} \right| \Leftrightarrow A.B \le 0\\ \left| {A - B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| \Leftrightarrow A.B \le 0\\ \left| {A - B} \right| = \left| {\left| A \right| - \left| B \right|} \right| \Leftrightarrow A.B \ge 0 \end{array}\]
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ
1.6. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Dạng 1: \[\sqrt {f[x]} = g[x] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f[x] = {\left[ {g[x]} \right]^2}\\ g[x] \ge 0 \end{array} \right.\]
Dạng 2: \[\sqrt {f[x]} = \sqrt {g[x]} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f[x] = g[x]\\ f[x] \ge 0\,\,[hay\,\,g[x] \ge 0] \end{array} \right.\]
Dạng 3: \[af[x] + b\sqrt {f[x]} + c = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = \sqrt {f[x]} ,\,\,t \ge 0\\ a{t^2} + bt + c = 0 \end{array} \right.\]
Dạng 4: \[\sqrt {f[x]} + \sqrt {g[x]} = h[x]\]
· Đặt \[u = \sqrt {f[x]} ,\,\,v = g[x]\] với \[u,v \ge 0\]
· Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.
Dạng 5: \[\sqrt {f[x]} + \sqrt {g[x]} + \sqrt {f[x].g[x]} = h[x]\]
Đặt \[t = \sqrt {f[x]} + \sqrt {g[x]} ,\,\,t \ge 0\]
C. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
1.7. Hệ hai hương trình bậc nhất hai ẩn
Xét định thức
Kết quả
\[D \ne 0\]
Hệ có nghiệm duy nhất \[\left[ {x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}} \right]\]
D=0
\[D_x \ne 0\] hoặc \[D_y \ne 0\]
Hệ vô nghiệm
\[D_x=D_y\]
Hệ có vô số nghiệm
1.8. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.