Chuỗi đã cho là 1 + 2 + 3 +. + 30
Ở đây,
a = 1
d = 1
n = 30 1, chuỗi hội tụ và ζ[s] > 1. Tiếp tục phân tích xung quanh cực tại s = 1 dẫn đến một vùng giá trị âm, bao gồm ζ[−1] = −+1/12
Trong chuẩn hóa hàm zeta, chuỗi ∑n=1∞n{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }n} được thay thế bằng chuỗi . Sê-ri thứ hai là một ví dụ về sê-ri Dirichlet. Khi phần thực của s lớn hơn 1, chuỗi Dirichlet hội tụ và tổng của nó là hàm Riemann zeta ζ[s]. Mặt khác, chuỗi Dirichlet phân kỳ khi phần thực của s nhỏ hơn hoặc bằng 1, do đó, đặc biệt, chuỗi 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ do đặt s = –1 không hội tụ. Lợi ích của việc giới thiệu hàm Riemann zeta là nó có thể được xác định cho các giá trị khác của s bằng cách tiếp tục giải tích. Khi đó người ta có thể định nghĩa tổng chuẩn hóa zeta của 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ là ζ[−1]. . The latter series is an example of a Dirichlet series. When the real part of s is greater than 1, the Dirichlet series converges, and its sum is the Riemann zeta function ζ[s]. On the other hand, the Dirichlet series diverges when the real part of s is less than or equal to 1, so, in particular, the series 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ that results from setting s = –1 does not converge. The benefit of introducing the Riemann zeta function is that it can be defined for other values of s by analytic continuation. One can then define the zeta-regularized sum of 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ to be ζ[−1].
Từ điểm này, có một số cách để chứng minh rằng ζ[−1] = −+1/12. Một phương pháp, theo lập luận của Euler, sử dụng mối quan hệ giữa hàm Riemann zeta và hàm Dirichlet eta η[s]. Hàm eta được xác định bởi một chuỗi Dirichlet xen kẽ, vì vậy phương pháp này tương đương với các phương pháp phỏng đoán trước đó. Trường hợp cả hai chuỗi Dirichlet hội tụ, một chuỗi có các đặc điểm
Đơn vị [1−21−s]ζ[s]=η[s]{\displaystyle [1-2^{1-s}]\zeta . Thay s = −1, ta được −3ζ[−1] = η[−1]. Bây giờ, tính toán η[−1] là một nhiệm vụ dễ dàng hơn, vì hàm eta bằng tổng Abel của chuỗi xác định của nó, là giới hạn một phía. continues to hold when both functions are extended by analytic continuation to include values of s for which the above series diverge. Substituting s = −1, one gets −3ζ[−1] = η[−1]. Now, computing η[−1] is an easier task, as the eta function is equal to the Abel sum of its defining series, which is a one-sided limit:
−3ζ[−1]=η[−1]=limx→1−[1−2x+3x2−4x3+⋯]=limx→1−1[1+x]2=14. {\displaystyle -3\zeta [-1]=\eta [-1]=\lim _{x\to 1^{-}}\left[1-2x+3x^{2}-4x^{3} . }Chia cả hai vế cho −3, ta được ζ[−1] = −+1/12.
Chính quy hóa ngưỡng [ chỉnh sửa ]
Chuỗi 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
Hành vi tiệm cận của làm mịn. Giao điểm của parabol là −+1/12
Phương pháp chính quy hóa sử dụng hàm cắt có thể "làm mịn" chuỗi để đạt đến −+1/12. Làm mịn là cầu nối khái niệm giữa chính quy hóa hàm zeta, với sự phụ thuộc vào phân tích phức tạp và tổng kết Ramanujan, với lối tắt đến công thức Euler–Maclaurin. Thay vào đó, phương pháp này hoạt động trực tiếp trên các phép biến đổi bảo thủ của chuỗi, sử dụng các phương pháp từ phân tích thực
Ý tưởng là thay thế chuỗi rời rạc hoạt động kém ∑n=0Nn{\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{N}n} bằng một
∑n=0∞nf[nN],{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }nf\left[{\frac {n}{N}}\right],} . Hàm cắt phải được chuẩn hóa thành f[0] = 1; . Hàm cắt phải có đủ các dẫn xuất giới hạn để làm mịn các nếp nhăn trong chuỗi và nó sẽ giảm dần về 0 nhanh hơn so với chuỗi tăng. Để thuận tiện, người ta có thể yêu cầu f là trơn, bị chặn và được hỗ trợ chặt chẽ. Khi đó người ta có thể chứng minh rằng tổng đã làm trơn này tiệm cận với −+1/12 + CN2, trong đó C là một hằng số phụ thuộc vào f. Hằng số của khai triển tiệm cận không phụ thuộc vào f. nó nhất thiết phải là cùng một giá trị được đưa ra bởi tiếp tục phân tích, −+1/12.where f is a cutoff function with appropriate properties. The cutoff function must be normalized to f[0] = 1; this is a different normalization from the one used in differential equations. The cutoff function should have enough bounded derivatives to smooth out the wrinkles in the series, and it should decay to 0 faster than the series grows. For convenience, one may require that f is smooth, bounded, and compactly supported. One can then prove that this smoothed sum is asymptotic to −+1/12 + CN2, where C is a constant that depends on f. The constant term of the asymptotic expansion does not depend on f: it is necessarily the same value given by analytic continuation, −+1/12.
Tổng kết Ramanujan[sửa mã nguồn]
Tổng Ramanujan của 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ cũng là −+1/12. Ramanujan đã viết trong bức thư thứ hai gửi G. h. Hardy, ngày 27 tháng 2 năm 1913
"Thưa ông, tôi rất hài lòng khi đọc bức thư ngày 8 tháng 2 năm 1913 của ông. Tôi đã mong đợi câu trả lời từ bạn tương tự như câu trả lời mà một Giáo sư Toán học ở London đã viết yêu cầu tôi nghiên cứu kỹ Dãy vô hạn của Bromwich và không rơi vào cạm bẫy của chuỗi phân kỳ. . Tôi nói với anh ấy rằng tổng của vô số số hạng của dãy. 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −+1/12 theo lý thuyết của tôi. Nếu tôi nói với bạn điều này, bạn sẽ ngay lập tức chỉ ra cho tôi mục tiêu của tôi là nhà thương điên. Tôi mở rộng vấn đề này chỉ đơn giản là để thuyết phục bạn rằng bạn sẽ không thể làm theo các phương pháp chứng minh của tôi nếu tôi chỉ ra các dòng mà tôi tiến hành trong một lá thư. . "