Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Chuyên đề ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH Huỳnh Chí Hào I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các định lý • Cho hàm số y f [x]= có đạo hàm trên khoảng [];a b. a] Nếu []f ' x 0> với mọi []x a; b∈thì hàm số f [x] đồng biến trên [];a b. b] Nếu []f ' x 0< với mọi []x a; b∈thì hàm số f [x] nghịch biến trên [];a b. • Nếu hàm số liên tục trên đoạn []a; b và có đạo hàm f '[x] 0> trên khoảng []a;bthì hàm số f đồng biến trên đoạn []a;b. • Nếu hàm số liên tục trên đoạn đọan []a;b và có đạo hàm f '[x] 0< trên khoảng []a;bthì hàm số f nghịch biến trên đoạn []a;b. 2. Các tính chất • Tính chất 1: Giả sử hàm số []y f x= đồng biến [nghịch biến] trên khoảng []a;b và []u; v a;b∈khi đó: [][]f u f v u v = ⇔ = • Tính chất 2: Nếu hàm số []y f x= đồng biến trên []a;b và []y g x= làm hàm hằng hoặc là một hàm số nghịch biến trên []a;b thì phương trình [][]f x g x= có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng []a;b. Dựa vào tính chất trên ta suy ra: Nếu có []0x a; b∈ sao cho [][]0 0f x g x= thì phương trình [][]f x g x= có nghiệm duy nhất0x trên []a; b. Chú ý: Khoảng []a; b nêu trong tính chất có thể thay bởi các miền [][][][][][][][]; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;a a a b a b a b b b−∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞ II. ÁP DỤNG Thí dụ 1. Giải phương trình 15 3 6x x− + − = [1] Lời giải. • TXĐ: [];3D= −∞ • Xét hàm số [ ] 15 3f x x x= − + − với [];3x ∈ −∞, khi đó: [][][]11ff x⇔ =− [2] • Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên nữa khoảng [];3−∞ Ta có: [ ]1 1'[ ] 0 ;32 15 2 3f x xx x= − − < ∀ ∈ −∞− − • Do f liên tục trên nữa khoảng [];3−∞ và [][]' 0 ;3f x x< ∀ ∈ −∞ nên f đồng biến trên nữa khoảng [];3−∞ • Suy ra: []2 1x⇔ = − • Vậy phương trình [1] có nghiệm duy nhất là 1x= −. Thí dụ 2. Giải phương trình 3 5 2 3 2 12x x x− + + = + − [1] Lời giải. • TXĐ: 5;123D = Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Ta có: []1 3 5 2 3 12 2x x x⇔ − + + − − = [2] • Xét hàm số [ ] 3 5 2 3 12f x x x x= − + + − − với 5;123x ∈ , khi đó: [][][]13ff x⇔ = [3] • Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên đoạn 5;123 Ta có: 3 1 1 5'[ ] 0 ;1232 3 5 2 3 2 12f x xx x x = + + > ∀ ∈ − + − Do f liên tục trên đoạn 5;123 và [ ]5' 0 ;123f x x > ∀ ∈ nên f đồng biến trên đoạn 5;123 • Suy ra: []3 3x⇔ = • Vậy phương trình [1] có nghiệm duy nhất là 3x=. Thí dụ 3. Giải phương trình 7 33 5 4 3x x x− − = − [1] Lời giải. • TXĐ: 5;4D = −∞ Ta có: []7 31 3 5 4 3x x x⇔ + − − = [2] • Xét hàm số 7 3[ ] 3 5 4f x x x x= + − − với 5;4x ∈ −∞ , khi đó: [][][]11ff x⇔ = [3] • Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên nữa khoảng 5;4 −∞ Ta có: 6 22 5'[ ] 21 3 0 ;45 4f x x x xx = + + > ∀ ∈ −∞ − Do f liên tục trên đoạn 5;4 −∞ và [ ]5' 0 ;4f x x > ∀ ∈ −∞ nên f đồng biến trên nữa khoảng 5;4 −∞ • Suy ra: []3 1x⇔ = • Vậy phương trình [1] có nghiệm duy nhất là 1x=. Thí dụ 4. Giải phương trình 2 22 23 4 2 2 7x x x+ = − + + [1] Lời giải. • Ta có: [ ]2 21 2 23 2 7 4 2x x x⇔ + − + = − [2] Do VT[2] luôn dương với mọi x nên với 12x≤ thì [1] vô nghiệm • Điều kiện: 12x> • Xét hàm số 2 2[ ] 4 2 2 7 2 23f x x x x= − + + − + với 1;2x ∈ +∞ , khi đó: [ ] [ ] [ ]2 22 4 2 2 7 2 23 01x x f xfx⇔ − + + − + = ⇔ = [3] • Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên khoảng 1;2 +∞ Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Ta có: 2 21 1 1'[ ] 4 2 0 ;22 7 2 23f x x xx x = + − > ∀ ∈ +∞ + + Do đó f đồng biến trên khoảng 1;2 +∞ • Suy ra: []3 1x⇔ = • Vậy phương trình [1] có nghiệm duy nhất là 3x=. Thí dụ 5. Giải phương trình []34 1 2 1 0x x x x+ − + + = [1] Lời giải. • TXĐ: 1;2D = − +∞ • Ta có: [ ] [ ][]332 2 2 1 211x x x x⇔ + ++ += [2] • Xét hàm đặc trưng 3[ ]f t t t= + với t∈», khi đó: [ ] [ ][]2 2 2 1f x f x⇔ = + [3] • Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên » Ta có: 2'[ ] 3 1 0 f t t t= + > ∀ ∈» Do đó f đồng biến trên » • Suy ra: [ ]2001 53 2 1 21 544 2 1 04xxx x xx xx≥≥+⇔ + = ⇔ ⇔ ⇔ = ±− − == • Vậy phương trình [1] có nghiệm là 1 54x+=. Thí dụ 6. Giải phương trình [ ][][]2 22 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0x x x x x+ + + + + + + = [1] Lời giải. • TXĐ: D=» • Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 22 1 2 11 2 33 2 33x x x x ⇔ + + = + + −+ −+ [2] • Xét hàm đặc trưng []2[ ] 2 3f t t t= + + với t∈», khi đó: [][][]2 2 1 3f x f x⇔ + = − [3] • Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên » Ta có: 222'[ ] 2 3 0 3tf t t tt= + + + > ∀ ∈+» Do đó f đồng biến trên » • Suy ra: [ ]13 2 1 35x x x⇔ + = − ⇔ = − • Vậy phương trình [1] có nghiệm là 15x= −. Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1. 3 1 8 1x x+ = − + 2. 9 2 4 5x x+ + + = 3. 6 863 2x x+ =− − 4. [][][][]2 2 1 3 6 4 2 2 1 3 2x x x x x x+ − − + = − + − + + 5. 3 238 36 53 25 3 5x x x x− + − = − 6. []3 23 4 2 3 2 3 1x x x x x+ + + = + + 7. [][]2 3 5log log 2 1 log 7 9 3x x x+ − + − = 8. 22 21 1 21 12 22x xx xx− −− = − 9. 222]121[321228log21122+++=++++++xxxxxx Hết Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Chuyên đề ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Huỳnh Chí Hào Thí dụ 1. Giải hệ phương trình x y 1 y 1 x 0 [1]x 1 y 2 [2]− + − − − =+ − = Lời giải. • Điều kiện {0 x 10 y 1≤ ≤≤ ≤ • Khi đó: []x 1 x y 1 y ]1 [a− − =⇔ − − • Xét hàm đặc trưng: []f t t 1 t= − − với []t 0;1∈ Ta có: [ ] [ ]1 1f ' t 0 t 0;12 t 2 1 t= + > ∀ ∈− và f liên tục trên đoạn []0;1 Suy ra: []f t đồng biến trên đoạn []0;1 • Do đó: [][][]f x f x ya y⇔= ⇔ = • Thay x y= vào phương trình [2] ta được phương trình: [ ] [ ]1x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 1 x2+ − = ⇔ + − + − = ⇔ − = ⇔ = • Vậy nghiệm của hệ phương trình là [ ]1 1x; y ;2 2 = . Thí dụ 2. Giải hệ phương trình [ ] [ ]3 3 22 28 6 6 9 2 0 [1] 4 1 4 3 1 3 1 0 [2]x y y x yx x y y− + − − + =+ − − − − + = Lời giải. • Điều kiện 1 1,1 32 2x y− ≤ ≤ ≤ ≤ • Khi đó: 3 3 2 3 3[1] 8 6 6 9 2 [ ] 3[ ] [2 2] 3[ ] 2 2[a]x x yx y y y yx −⇔ − = − + − ⇔ − −= − • Do 1 12 2x− ≤ ≤ nên 1 2 1x− ≤ ≤ và 1 3y≤ ≤ nên 1 2 1y− ≤ − ≤. • Xét hàm đặc trưng 3[ ] 3f t t t= −, với []1;1t ∈ −. Ta có 2 2'[ ] 3 3 3[ 1] 0f t t t= − = − ≤, với mọi []1;1t ∈ −. Suy ra []f t nghịch biến trên đoạn []1;1−. • Do đó: [][2 ] [ 2] 2 2 2 2a f x f y x y y x⇔ = − ⇔ = − ⇔ = +. • Thay y 2x 2= + vào phương trình [2] ta được phương trình: 2 2 2 2 4 22 3 34 2 1 4 1 0 4 1 2 1 4 16 24 3 02x x x x x x x−− − + = ⇔ + = − ⇔ + − = ⇔ = ± • Vậy nghiệm của hệ phương trình là [ ] [ ]2 3 3 2 3 3; ; 2 2 3 3 ; ; 2 2 3 32 2x y x y − − = + − ∨ = − − − . Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Thí dụ 3. Giải hệ phương trình [ ]3 2 23 2 3 21 [1] 9 6 3 15 3 6 2 [2]x x y x x yx y x y x− = − + +− + − − = + [1] Lời giải. • Ta có: [][][][][]3 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1x x y x x y x x y x y x x y x x⇔ − = − + + ⇔ − + − = + ⇔ − + = + 1 0x y⇔ − − = [vì 21 0,x x+ > ∀] • Thay y x 1= − vào phương trình [2] ta được phương trình [ ] [ ][]33 2 3 2 32 29 6 6 3 6 2 3 3 [1 1 6 2 6a]2x xx xx x x x−− + − = + − +⇔ = ++ + • Xét hàm đặc trưng 3[ ] 3f t t t= +, với t∈». Ta có 2'[ ] 3 3 0f t t= + >, với mọi t∈». Suy ra []f t đồng biến trên ». • Do đó: [ ]3 32 2 3 2[ 1] [ 6 2] 1 6 2 9 3 3 0a f x f x x x x x x⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ − + − =. [ ] [ ] [ ]33 2332 11 2 1 1 2 12 1x x x x x+⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ =− • Với 33 32 1 22 1 2 1x y+=⇒=− − • Vậy nghiệm của hệ phương trình là [ ]33 32 1 2; ;2 1 2 1x y += − − . Thí dụ 4. Giải hệ phương trình 32[6 5] 2 1 2 3 0 [1]2 4 23 [2]x x y yy x x x+ + − − =+ = + − Lời giải. • Điều kiện 22 1 02 5 2022 4 23 0xx xx x+ ≥− +≥ ⇔ ≥+ − ≥ • Khi đó: [][]2[1] 2 3 2 3 [a2 1 2 1]x x y y⇔ + = + + + • Xét hàm đặc trưng []2 3[ ] 2 3 3 2f t t t t t= + = +, với []0;t∈ +∞. Ta có 2'[ ] 9 2 0f t t= + >, với mọi []0;t∈ +∞. Suy ra []f t đồng biến trên []0;+∞. • Do đó: [][ 2 1] [ ] 2 1a f x f y x y⇔ + = ⇔ + =. • Thay y 2x 1= + vào phương trình [2] ta được phương trình: 2 2 22 22222 1 2 4 23 3 1 2 2 2 4 23 2 2 2 24 042 6 2 36 0 492 42x x x x x x x x xx x x xxx xx x xxx x+ + = + − ⇔ + + + = + −⇔ + − + − ==+ =⇔ ⇔ + − = ⇔ ⇔ == −+ = − • Với 4 3x y= ⇒ = • Vậy nghiệm của hệ phương trình là [][]; 4;3x y =. Thí dụ 5. Giải hệ phương trình [][ ]22 24 1 3 5 2 04 2 3 4 7x x y yx y x+ + − − =+ + − = [1] Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Lời giải. • Điều kiện 3 5,4 2x y≤ ≤ • Khi đó: [][]24 2 5 2[1] 1 . 1 5 2 [a]x x y y⇔ + = +− − • Xét hàm đặc trưng []2 3[ ] 1f t t t t t= + = +, với t∈». Ta có 2'[ ] 3 1 0f t t= + >, với mọi t∈». Suy ra []f t đồng biến trên ». • Do đó: [ ]20[2 ] [ 5 2 ] 2 5 25 42xa f x f y x yxy≥⇔ = − ⇔ = − ⇔−=. • Thay 25 4xy2−= vào phương trình [2] ta được phương trình: 22 254 2 2 3 4 7 0 [b]2x x x + − + − − = • Nhận thấy 0x= và 34x= không là nghiệm của phương trình [b] • Xét hàm số 22 25[ ] 4 2 2 3 4 72g x x x x = + − + − − với 30;4x ∈ , khi đó: [ ] [ ]12b g x g ⇔ = [3] • Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g trên khoảng 30;4 Ta có: [ ]2 25 4 4 3'[ ] 8 8 2 4 4 3 0 0;2 43 4 3 4g x x x x x x xx x = − − − = − − < ∀ ∈ − − Do đó f đồng biến trên khoảng 30;4 • Suy ra: [ ]132x⇔ = • Với 122x y= ⇒ = • Vậy nghiệm của hệ phương trình là [ ]1; ; 22x y = . Thí dụ 6. Giải hệ phương trình [ ]21282122 4 3[2 ] [1] 3 72 [2]2 2yxx yy xx y+++− = −+ + = [*] Lời giải. • Điều kiện: 00xy≥≥ • Khi đó: [*] [ ]=+++=+⇔++++732432321212]4[12yxyxyxyx • Xét hàm số 21[ ] 2 3tf t t+= + với []0 ;t∈ + ∞ Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Ta có: [ ] [ ]213'[ ] 2 .ln 2. 2 0 0;2tf t t tt+= + > ∀ ∈ +∞ và f liên tục trên []0 ;+ ∞ Do đó f đồng biến trên khoảng []0 ;+ ∞ • Suy ra: [1]==⇔=+=⇔=+=⇔515414]1[][]4[][yxyxyxfyxfyfxf. • Vậy hệ phương trình có nghiệm là: [ ]4 1; ;5 5x y = . Thí dụ 7. Giải hệ phương trình [][]2 2 4 221 [1]4 5 8 6 [2]x x y y yx y+ = ++ + + = Lời giải. • Điều kiện 54x≥ − • Nhận thấy 0y= không thỏa mãn hệ • Khi đó: 33[1]x xy yy y ⇔ + = + [a] • Xét hàm đặc trưng 3[ ]f t t t= +, với t∈». Ta có 2'[ ] 3 1 0f t t= + >, với mọi t∈». Suy ra []f t đồng biến trên ». • Do đó: [ ] [ ]2x xa f f y y x yy y ⇔ = ⇔ = ⇔ = . • Thay 2x y= vào phương trình [2] ta được phương trình: [ ][ ][ ][ ] [ ]224 5 8 6 2 4 5 8 23 55 2323234 5515142 41 04 4 5 8 23 541x x x x xxxxxxx xx x xx+ + + = ⇔ + + = −− ≤ ≤≤≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = − + =+ + = −= • Với 1 1x y=⇒= ± • Vậy nghiệm của hệ phương trình là [][][][]; 1; 1 ; 1;1x y x y= − ∨ =. BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau 1. 6 1 2 16 1 2 1x yy x+ − =+ − = 2. [ ]=−+−+−−=−−041222322222221xyxxyxxyyxx 3. [][][ ] [ ]2 22 2log 4 log 4 24 10 2 . 2 1x x y yxy x y x y+ + + + − =− + + = + − 4. [ ] [ ]−+=++ + = + + +2 2223 21 13log 2 6 2log 2 1 y xxeyx y x y Hết