Cực trị hàm bậc 4 trùng phương trong bài viết này của chúng tôi sẽ đem đến cho bạn những nội dung hữu ích gì ? Cùng xem ngay bài viết dưới đây của chúng tôi để biết được đáp án nhé ! Tham khảo bài viết khác: Cho hàm số bậc 4 : y = f[x] = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e với a ≠ 0 +] Đạo hàm y′ = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d +] Hàm số y=f[x] có thể có một hoặc ba cực trị . +] Điểm cực trị là điểm mà qua đó thì đạo hàm y′ đổi dấu Định nghĩa cực trị hàm số bậc 4
Số điểm cực trị của hàm bậc 4
– Xét đạo hàm y′ = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
+] Nếu y′=0 có đúng 1 nghiệm thì hàm số y= f[x] có đúng 1 cực trị [ có thể là cực đại hoặc cực tiểu ].
+] Nếu y′=0 có 2 nghiệm [gồm 1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép] thì hàm số y= f[x] có đúng 1 cực trị [ có thể là cực đại hoặc cực tiểu ].
+] Nếu y′=0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số y= f[x] có 3 cực trị [ gồm cả cực đại và cực tiểu ].
Một số điều kiện xét điểm cực tiểu, cực đại của hàm số bậc 4 trùng phương
– Xét hàm số bậc 4 : y = f[x] = ax^4 + bx^2 + c với a ≠ 0
Bài tập cực trị hàm số bậc 4 chứa tham số
Bài tập 1: Chứng minh rằng hàm số f[x] = x^4+mx^3+mx^2+mx+1 không thể đồng thời có cả cực đại và cực tiểu với mọi m ∈ R
– Hướng dẫn giải:
Để chứng minh hàm số đã cho không có đồng thời cực đại lẫn cực tiểu thì ta chứng minh hàm số ấy chỉ có duy nhât 1 cực trị với mọi m∈R
Xét đạo hàm f′[x] = 4x^3+m[3x^2+2x+1]
Xét phương trình f′[x]=0 ⇔ 4x^3+m[3x^2+2x+1] = 0
⇒ hàm số g[x] đồng biến
⇒ phương trình g[x]=0 có đúng 1 nghiệm duy nhất
Như vậy phương trình f′[x]=0 có đúng 1 nghiệm duy nhất
⇒ hàm số f[x] có duy nhất một điểm cực trị
Bài tập 2: Cho hàm số f[x] = 3mx^4 + [m−2]x^2 + m−1. Tìm m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị
– Hướng dẫn giải:
Xét hàm số f[x], ta có f′[x] = 12mx^3 + 2[m-2]x = 0
Để hàm số f[x] có 3 điểm cực trị thì a x b < 0
Ta có: 12m x 2[m−2] < 0
⇔m∈[0;2]
Với những nội dung chúng tôi gửi đến bạn, hy vọng sẽ đem đến cho bạn những nội dung hữu ích giúp bạn xử lý những bài toán liên quan đến bậc 4 trùng phương
Cám ơn bạn đã theo dõi bài viết này, hẹn gặp lại bạn ở những bài viết tiếp theo của chúng tôi !
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Cực trị hàm bậc bốn trùng phương, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Cực trị hàm bậc bốn trùng phương: Cực trị hàm bậc bốn trùng phương. Phương pháp. Xét hàm số y = ax + bx + c, có đạo hàm là y = 4ax + 2bx = 2x[2ax + b]. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Đồ thị hàm số có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có đúng một nghiệm. Đồ thị hàm số hoặc có đúng một điểm cực trị hoặc có ba điểm cực trị, và luôn có một điểm cực trị nằm trên trục tung. Đồ thị hàm số có ba cực trị: Nếu a > 0 hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại. Nếu a 0 thì điểm cực trị là điểm cực tiểu, a < 0 thì điểm cực trị là điểm cực đại. Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có nhiều điểm cực trị nhất [bảy cực trị] khi đồ thị hàm số f[x] = ax + bx + c có ba điểm cực trị và đồ thị của nó cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ít điểm cực trị nhất [một cực trị] khi đồ thị hàm số có một điểm cực trị và đồ thị của nó không có điểm chung hoặc chỉ tiếp xúc với trục hoành. Bài tập Bài tập 1. Có bao nhiêu số nguyên m [-20; 20] để đồ thị hàm số y = x + [m – 2]x + 1 có ba điểm cực trị? Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có ba nghiệm phân biệt hay [1] có hai nghiệm phân biệt m < -3 khác 0. Vậy có 19 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Bài tập 2. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x + 3mx – 4 có ba điểm cực trị phân biệt và hoành độ của chúng trong khoảng [-2; 2] là ta có y = 4x + 6mx. Cho y = 0. Để thỏa mãn đề bài phương trình [2] có hai nghiệm phân biệt khác 0 và thuộc khoảng [-2; 2]. Bài tập 3. Biết rằng hàm số y = x – 2[m + 1]x + 2 có điểm cực tiểu. Giá trị lớn nhất của cực tiểu là Rõ ràng phương trình y = 0 luôn có ba nghiệm phân biệt. Lập bảng biến thiên, dễ thấy xát m là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Giá trị cực tiểu là y = 2 – [m + 1] = 1 – [m + 2m] < 1 [dấu "=" xảy ra khi m = 0]. Bài tập 4. Với giá trị nào của k thì hàm số y chỉ có một cực trị? Với k = 0, hàm số trở thành y = -x + 1 có đồ thị là một parabol nên có đúng một cực trị. Do đó thỏa mãn đề bài. Với k = 0. Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm. Kết hợp hai trường hợp ta được các giá trị cần tìm là k hoặc k < 0. Chú ý: x = 0 là nghiệm của phương trình. Bài tập 5. Giá trị của m để hàm số y đạt cực đại tại x = 2 là. Để hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì m = 4. Với x = 2 là điểm cực đại. Chú ý: Nếu f'[x] = f"[x] = 0 thì ta lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm để kiểm tra. Bài tập 6. Cho hàm –m + x có x = m là một điểm cực trị. Tổng các giá trị của m là hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0 Với m = 1. Với m = 1, ta có: y = -0 là điểm cực tiểu [cực trị] nên m = 1 thỏa. Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn điều kiện trên là 1. Bài tập 7. Biết đồ thị hàm số y = ax + bx + c có hai điểm cực trị là A[0; 2], B[2; -14]. Giá trị của Các điểm A[0; 2], B[2; -14] thuộc đồ thị hàm số nên c = 2. Mặt khác, hàm số đạt cực trị tại điểm x = 2, suy ra 32a + 4b = 0[2]. Từ [1];[2] ta có y = x – 8x + 2. Dễ thấy hàm số có các điểm cực trị là A[0; 2], B[2; -14] nên y = x – 8x + 2 là hàm số cần tìm. Khi đó y[1] = -5. Bài tập 8. Biết rằng đồ thị hàm số y có A là điểm cực đại và B, C là hai điểm cực tiểu. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A[0, 3m], B[m – 1, 5m – 1] và C[-1m – 1, 5m – – 1]. Bài tập 9. Cho đồ thị hàm số [C]: y = f[x] = x + ax + b và đồ thị hàm số [C]: y = g[x] = x + mx + x + y như hình vẽ dưới. Gọi B, D là hai điểm cực tiểu của [C] và A, C lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của [C] [A, C đối xứng nhau]. Biết hoành độ của A, B bằng nhau và hoành độ của C, D bằng nhau. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để AB < 3? Phân tích: dựa vào đồ thị ta có b = p và m = 0. Khi đó: [C]: y = x + nx + b. Ta cần tìm tung độ của điểm A và B [theo a].
Bài tập 10. Cho hai hàm đa thức y = f[x], y = g[x] có đồ thị là hai đường cong như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số y = f[x] có đúng một điểm cực trị là A, đồ thị hàm số y = g[x] có đúng một điểm cực trị là B. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m [-10; 10] để hàm số. Gọi x là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f[x] và y = g[x] [dựa vào đồ thị đã cho, hai đồ thị chỉ có hai giao điểm đã kể trên. Dựa vào bảng biến thiên của h[x], yêu cầu bài toán trở thành m < 0 < m. Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi m = 0. Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A[0; 1], B[m; -m + 1], C[-m; -m + 1] dễ thấy AB = AC. Do đó tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi ABAC = 0. Bài tập 12. Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x – 2[m – 1]x + 3m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có góc bằng 60° thuộc khoảng nào sau đây?