Cần tính $\iiint\limits _{Q}f[x,y,z]dxdydz $ với $Q$ là miền được giới hạn bởi các mặt $z=z_{1} [x,y];{\rm \; }z=z_{2} [x,y]$ [giả sử $z_{1} [x,y];{\rm \; }z_{2} [x,y]$ liên tục, đơn trị, $z_{1} [x,y]\le z_{2} [x,y]$ trên miền $D$ là hình chiếu của $Q$ lên mặt phẳng $Oxy$ và giả sử $D$ được giới hạn bởi các đường $y=y_{1} [x];{\rm \; }y=y_{2} [x]$ [$y_{1} [x];{\rm \; }y_{2} [x]$ liên tục, đơn trị, $y_{1} [x]\le y_{2} [x]$ trên ${\rm [}a,b{\rm ]}$ [chú ý ${\rm [}a,b{\rm ]}$ là hình chiếu của $D$ lên trục $Ox$]]. Giả sử $f[x,y,z]$ liên tục trên $Q$.
Như vậy, $Q$ được xác định bởi các bất đẳng thức kép: $\left\{\begin{array}{l} {{\rm a}\le {\rm x}\le {\rm b}} \\ {{\rm y}_{{\rm 1}} {\rm [x]}\le {\rm y}\le {\rm y}_{{\rm 2}} {\rm [x]}} \\ {{\rm z}_{{\rm 1}} {\rm [x,y]}\le {\rm z}\le {\rm z}_{{\rm 2}} {\rm [x,y]}} \end{array}\right.$
Do đó ta có công thức: $$\iiint\limits _{Q}f[x,y,z]dxdydz =\int _{a}{b}\left\{\int _{y_{1} [x]}{y_{2} [x]}\left[\int _{z_{1} [x,y]}{z_{2} [x,y]}f[x,y,z]dz \right]dy \right\} dx.$$ Hay $$\iiint\limits_{Q}f[x,y,z]dxdydz =\int _{a}{b}dx\int _{y_{1} [x]}{y_{2} [x]}dy\int _{z_{1} [x,y]}{z_{2} [x,y]}f[x,y,z]dz\label{9.2.2}\tag{2}.$$
Công thức \eqref{9.2.2} còn có thể viết: $$\iiint\limits _{Q}f[x,y,z]dxdydz =\iint\limits_{D}dxdy \int _{z_{1} [x,y]}{z_{2} [x,y]}f[x,y,z]dz\label{9.2.3}\tag{3}.$$Hay $$\iiint\limits _{Q}f[x,y,z]dxdydz =\int _{a}{b}dx\iint\limits _{S[x]}f[x,y,z]dydz\label{9.2.4}\tag{4}.$$ Với $S[x]$ là diện tích thiết diện của $Q$ khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x\in {\rm [}a,b{\rm ]}.$
Tính tích phân $I=\iiint\limits _{Q}[1-x-y]dxdydz $ với miền $Q$ được giới hạn bởi các mặt $x+y+z=1;{\rm \; }x=0;{\rm \; }y=0;{\rm \; }z=0$.
Tính tích phân$\iiint\limits _{Q}zdxdydz $ với miền $Q$ được giới hạn bởi các mặt $z=0;{\rm \; }z=\sqrt{R^{2} -x^{2} -y^{2} }$.
Những trường hợp khó vẽ hình biểu diễn miền $Q$ thì ta phải cố gắng tưởng tượng để đưa ra được miền $Q$, hình chiếu của nó xuống mặt phẳng tọa độ $Oxy$ [miền $D$]: $Q$ là nửa hình cầu tâm $O[0,0,0]$ bán kính $R$ nằm trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ [ứng với $z\ge 0]$ còn $D$ là hình tròn tâm $O[0,0]$ bán kính $R$, do đó ta nên áp dụng công thức \eqref{9.2.3} $$\iiint\limits _{Q}zdxdydz =\iint\limits _{x^{2} +y^{2} \le R^{2} }dxdy \int _{0}{\sqrt{R{2} -x^{2} -y^{2} } }zdz =\dfrac{1}{2} \iint\limits _{x^{2} +y^{2} \le R^{2} }z^{2} \Big|_{0}{\sqrt{R{2} -x^{2} -y^{2} } } dxdy. $$ Chuyển sang hệ tọa độ cực ta có $$\iiint\limits_{Q}zdxdydz =\dfrac{1}{2} \int _{0}{2\pi }d\varphi \int _{0}{R}[R^{2} -r^{2} ] rdr=\dfrac{\pi R^{4} }{4}.$$
- Information
- AI Chat
Was this document helpful?
Was this document helpful?
BK-Đại cương môn phái Pham Thanh Tung
Bài tập tích phân bội ba
Bài 1: Tính các tích phân bội ba sau:
22
1
04
, : 2
01
V
x
zdxdydz V x y x
z x y
− −
23 , :1 2,2 3,3 4
V
x y dxdydz V x y z
2 2 2
, : 0 1,0 1 ,0
V
xyzdxdydz V x y x z x y − +
, :3 1,3 2 2, 0,0 1
V
xdxdydz V x y x y y z x y+ + − −
Bài 2: Tính các tích phân bội ba sau:
, 𝑉 giới hạn bởi
1 2 2, 1 2 2,0 3x y x y z z − + − + +
, 𝑉 giới hạn bởi
3, 2 1, 4 2x y z x y z x y z+ + \= + − \= + + \=
[ ]
2
4 3 , :1 2,0 2,0 2
V
x y xyz dxdydz V x xy z−
[ ]
2
3 2 , : 1, 1, 1
V
x y z dxdydz V x y y z z x+ + − − +
Bài 3: Tính các tích phân bội ba sau:
[ ]
2 2 2
V
x y z dxdydz+
, 𝑉 giới hạn bởi
, 𝑉 giới hạn bởi
[ ]
2 2 2
4 , 2z x y z\= + \=
, 𝑉 giới hạn bởi
, 𝑉 giới hạn bởi
2
4 , 0, 0, 4y x x y z z\= − − \= \= \=
- Home
- My Library
- Ask AI