Ý nghĩa đ o hàm trong kinh tếếạ Đ o hàm và giá tr biến tếế trong kinh tếế:ạ ị Cho mô hình hàm số y=f[x] , x và y là các biến kinh tế X: biến độc lập hay biến đầu vào Y: biến phụ thuộc hay biến đầu ra Trong kinh doanh , ta quan tâm đến xu hướng thay đổi của y, khi x thay đổi một lượng nhỏ với định nghĩa đạo hàm trong toán cơ bản ta có :
vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi của biến số y khi biến số x tăng thêm một đơn vị với quan hệ hàm y= f[x] , để mô tả sự thay đổi của biến kinh tế y , khi biến kinh tế x thay đổi, ta gọi f’[] là giá trị biên tế y tại [ còn gọi là biên tế] Với mỗi hàm kinh tế , ta có một tên gọi riêng Thí dụ: a. Với hàm doanh thu : TR=p thì được gọi là doanh thu biên tế b. Với hàm chi phí : TC=f[x] , x: sản lượng thì = : chi phí biên tế c. Với hàm sản xuất : Q=f[L] , L: lao động thì = : sản lượng biên tế Một số bài toán ứng dụng trong sản xuất kinh doanh 1. Bài toán giá trị biên a. Sản lượng giá trị biên [ marginal quantity], kí hiệu MQ: Là số đo đại lượng thay đổi của sản lượng khi lao động ha vốn tăng lên 1 đơn vị
Nhận xét: MQ là một hàm số giảm dần , đến một số luongjw công nhân nhất định nào đó , việc tuyển thêm công nhân không còn hiệu quả , chỉ tăng thêm chi phí b. Sự thay đổi của giá theo cầu:
Là số đo sự thay đổi của giá khi mức sản lượng tăng lên đơn vị
- Chi phí biên [ marginal cost] , kí hiệu MC : Hàm chi phí : TC= TC[Q] Chi phí biên là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí khi sản lượng Q tăng lên 1 đơn vị
Nhận xét : - Chi phí biên là một hàm tăng - Sản lượng sản xuất càng lớn thì chi phí biên càng lớn d. Doanh thu biên[ marginal revenue] , kí hiệu MR: Xét hàm doanh thu TR= P [ P: giá , Q: sản lượng ] Nếu : Q do thị trường quyết định , P do doanh nghiệp quyết định , thì MR hay giá trị cận biên của doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi ủa doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị Nếu : Q do doanh doanh nghiệp quyết định , P do thị truonhgfw quyết định thì MR hay giá trị cận biên của doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi của doanh thu khí giá tăng 1 đơn.
BÀI TẬPỨng dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế1. Hãy điền thuật ngữ thích hợp vào chỗ dấu ba chấm trong các câu dưới đây:a] Hàm số biểu diễn lượng cung của nhà sản xuất tùy theo giá sản phẩm, khi các yếu tố kháckhông thay đổi, được gọi là HÀM CUNG.b] Hàm số biểu diễn lượng cầu của người tiêu dùng tùy theo giá sản phẩm, khi các yếu tố kháckhông thay đổi, được gọi là HÀM CẦUc] Hàm số biểu diễn tổng chi phí của nhà sản xuất tương ứng với mỗi mức sản lượng đầu rađược gọi là HÀM CHI PHÍ.d] Hàm số biểu diễn tổng doanh thu của nhà sản xuất tương ứng với mỗi mức sản lượng đầu rađược gọi là HÀM DOANH THU.e] Hàm số biểu diễn lượng sản phẩm đầu ra của nhà sản xuất tùy theo lượng sử dụng lao động,khi các yếu tố khác không thay đổi, được gọi là HÀM SẢN XUẤT.f] Hàm số biểu diễn ảnh hưởng của thu nhập đối với lượng tiêu dùng được gọi là HÀM TIÊUDÙNG.2. Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn
####### Q 15 3 L
. Hãy tính MPPL khi L = 8 và khi L = 1000 và giảithích ý nghĩa của kết quả tìm được.
&
039; 3 2
####### 5
####### [L] Q [ ]
####### [8] 1, 25; [100] 0, 2321
L L L
####### MPP L
####### L
####### MPP MPP
#######
#######
Ý nghĩa kết quả tìm được: Tại mức lao động bằng 8, khi lượng lao động tăng 1 đvlđ thì lượng sản xuất tăng1,25 đvsp. Tại mức lao động bằng 100, khi lượng lao động tăng 1 đvlđ thì lượng sản xuấttăng 0,2321 đvsp.3. Hãy lập hàm chi phí cận biên và hàm chi phí bình quân, cho biết hàm chi phí:a]
2
####### TC 3 Q 7 Q 12
Chi phí cận biên là đạo hàm của hàm chi phí.MC [Q] = TC’[Q] = 6Q + 7Chi phí bình quân, AC =b]
####### TC 2 Q 3 3 Q 2 4 Q 10
MC [Q] = TC’[Q] = 6Q 2 – 6Q + 4Chi phí bình quân, AC =4. Cho biết hàm doanh thu
2
TR 200 Q 3 Q. Hãy lập hàm doanh thu cận biên và hàm cầu đối vớisản phẩm.
Doanh thu cận biên là đạo hàm của hàm doanh thu, MR[Q] = TR’[Q] = 200 – 6Q
Hàm cầu: Vì TR = PQ = [200 – 3Q]Q
nên P = 200 – 3Q suy ra Q = 200/3 – P/3.
Vậy hàm cầu QD [P] = 200/3 – P/
5. Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất độc quyền, với giá tính bằng USD:
Q = 500 – 0,2P.
Hãy tính MR tại mức sản lượng Q = 90 và giải thích ý nghĩa.
Hàm doanh thu: TR[Q] = P
Vì Q = 500 – 0,2P nên P = 2500 – 5Q
Và TR[Q] = P = [2500 – 5Q].Q = 2500Q – 5Q 2
Doanh thu cận biên MR là đạo hàm của hàm doanh thu.
MR[Q] = TR’[Q] = 2500 – 10Q nên MR[90] = TR’[90] = 2500 – 10 = 1600
Ý nghĩa: Tại mức sản lượng Q = 90 nếu sản lượng tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm thì doanh
thu tăng thêm 1600 đơn vị.
6. Cho biết hàm cầu đối với một loại hàng hóa như sau:
2
Q 3200 0,5P. Tính hệ số co giãn của
cầu theo giá tại các mức giá P = 20, P = 50 và giải thích ý nghĩa.
Hệ số co giãn của hàm cầu là:
Q’[P] =
3200 0,5 P 2 &
039; 0,5* 2P P
Tại P = 20 thì.
Ý nghĩa: Tại mức giá P = 20 nếu giá tăng 1% thì lượng cầu giảm 0,1333%.
Vì nên hàm cầu ít co giãn tại P = 20, hay việc tăng giá không ảnh hưởng lắm đến
lượng cầu.
Tại P = 50 thì.
Ý nghĩa: Tại mức giá P = 50 nếu giá tăng 1% thì lượng cầu giảm 1,2821%.
Vì nên hàm cầu co giãn tại P = 50, hay việc tăng giá ảnh hưởng đáng kể đến
lượng cầu.
7. Cho biết tổng doanh thu của một nhà sản xuất độc quyền tại mỗi mức sản lượng Q là TR =
500Q – 4Q
2
. Hãy tính hệ số co giãn theo giá của cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất đó tại
mức giá P = 300 và giải thích ý nghĩa.
Vì TR[Q] = P = 500Q – 4Q 2 = [500 – 4Q].Q nên P = 500 – 4Q
suy ra Q = 125 – 0,25P.
Hệ số co giãn của hàm cầu là:
Q’[P] = -0,
2 2 0 2 3 2 1 3 2 0 1 2
####### 5900 20 ; 6 8 140
####### [ ] [5900 20 ] 5900 10
####### [ ] [6 8Q 140] 2 4 140
####### [ ] 2 6 5760
####### &
039;[ ] 6 Q 12 Q 5760 0 Q 30
####### &
039;&
039;[ ] 12 Q 12 &
039;&
039;[30] 12*30 1
####### MR Q MC Q Q
####### TR Q MRdQ Q dQ Q Q Q
####### TC Q MCdQ Q dQ Q Q Q Q
####### TP Q TR TC Q Q Q Q Q
####### TP Q
####### TP Q TP
#######
#######
#######
#######
#######
#######
####### 2 372 0
Nên Q = 30 là mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất để lợi nhuận cực đại.11. Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu ngượcP 1400 7,5Qa] Tính hệ số co giãn của cầu theo giá ở mỗi mức giá P.Tìm Q từ phương trình hàm cầu ngược, sau đó thay vào công thức hệ số co giãn.
####### 560 2 2
####### 1400 7,5 7,5 1400 [ ] ; &
039; [ ] ;
####### 3 15 15
####### P Q Q P Q D P P Q D P
- Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa, cho biết hàm chi phí cận biên
####### MC 3 Q 2 12 Q 140
.Bài toán yêu cầu tìm cực trị của hàm lợi nhuận.Từ hàm chi phí cận biên tìm hàm chi phí sau đó tìm hàm doanh thu và tìm cực trị của hàm lợinhuận.
2 2 3 2 0 2 2 3 2 3 2 0 0 2
####### 3 12 140 &
039;[ ]
####### [ ] 3 12 140 6 140
####### [ ]. 1400 7,5 1400 7,
####### [ ] [ ] [ ] 1400 7,5 6 140 1,5 1260
####### &
039;[ ] 3 3 1260 0 20
####### &
039;&
039;[ ] 6 Q
####### MC Q Q TC Q
####### TC Q MCdQ Q Q dQ Q Q Q Q
####### TR Q P Q Q Q Q Q
####### TP Q TR Q TC Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
####### TP Q Q Q Q
####### TP Q
#######
#######
#######
#######
#######
#######
#######
#######
####### 3 TP&
039;&
039;[20] 6 20 3 123 0
Nên Q = 20 là điểm cực đại. Vậy mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa tại Q = 20.12. Cho hàm cầu và hàm tổng chi phí của một hãng sản xuất tương ứng là P = 4400 – 12Q và
####### TC Q 3 5,5 Q 2 150 Q 675
.a. Xác định hàm chi phí bình quân.Hàm chi phí bình quân
####### AC Q[ ] TC Q[ ] Q 2 5,5 Q 150 675
####### Q Q
#######
- Tại mức giá P = 230, khi giá tăng 1% thì cầu thay đổi như thế nào?Bài toán yêu cầu tìm hệ số co giãn của hàm cầu tại P = 230.Từ P = 4400 – 12Q suy ra= - 0,Tại mức giá P = 230, khi giá tăng 1% thì lượng cầu giảm 0,055%.13. Cho hàm cầu và hàm chi phí bình quân của một hãng sản xuất tương ứng là:Q 290 Pvà
####### AC Q 2 19 Q 300 10
####### Q
#######
- Tại mức sản lượng Q = 15, nếu tăng sản lượng thêm 1 đơn vị thì chi phí thay đổi như thế nào?Bài toán yêu cầu tìm chi phí biên tại Q = 15.Từ hàm chi phí bình quân tìm được hàm chi phí: Ta có: suy raTC[Q]= AC. Q =
####### Q 2 19 Q 300 10 Q
####### Q
#######
#######
= Q 3 – 19Q 2 + 300Q + 10Chi phí biên MC[Q] = TC’[Q] = 3Q 2 - 38Q + 300MC[15] = TC’[15] = 3.
2 - 38 + 300 = 405
Tại mức sản lượng Q = 15, nếu tăng sản lượng thêm 1 đơn vị thì chi phí tăng 405 đv.b. Hãy xác định hàm lợi nhuận và lợi nhuận cận biên.Từ hàm cầuQ 290 P suy ra P = 290 – Q nên hàm doanh thu TR[Q] = PQ = 290Q – Q 2Từ hàm chi phí bình quân suy ra hàm chi phí:TC[Q] = AC. Q = Q 3 – 19Q 2 + 300Q + 10Do đó hàm lợi nhuận: TP[Q] = TR[Q] – TC[Q] = - Q 3 + 18Q 2 – 10Q – 10Lợi nhuận cận biên là đạo hàm của hàm lợi nhuận MP[Q] = TP’[Q] = -3Q 2 +36Q - 1014. Một doanh nghiệp có hàm cầu là Q = 70 – 0,5Pa. Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá P = 12 và nêu ý nghĩa.= -0,Tại mức giá P = 12, khi giá tăng 1% thì lượng cầu giảm 0,09375%.b. Tại mức sản lượng Q = 20, nếu tăng sản lượng thêm 1 đơn vị thì doanh thu thay đổinhư thế nào?Bài toán yêu cầu tìm doanh thu cận biên tại Q = 20. Doanh thu cận biên là đạo hàm của hàmdoanh thu.Trước tiên cần tìm hàm doanh thu TR[Q].Q = 70 – 0,5P P= 140 – 2QHàm doanh thu TR[Q] = PQ = 140Q – 2Q 2Hàm doanh thu:
####### TR PQ 100 2 Q Q 100 Q 2 Q 2
Hàm lợi nhuận: TP[Q] = TR[Q] – TC[Q] = -12Q 2 +75Q – 5Lợi nhuận cận biên là đạo hàm của hàm lợi nhuận MP[Q] = TP’[Q] = -24Q +17. Cho hàm lợi nhuận biên theo sản lượng của một hãng sản xuất là: MP = -5Q + 450. Biết rằngnếu bán được 50 sản phẩm thì hãng sẽ bị lỗ 13000 đơn vị tiền. Tìm hàm lợi nhuận của hãng.
2 0
####### &
039;[ ] 5 450
####### 5
####### [ ] [ ] 5 450 450
####### 2
####### MP TP Q Q
####### TP Q MP Q dQ Q dQ Q Q Q
#######
Nếu bán được 50 sản phẩm thì hãng sẽ bị lỗ 13000 đơn vị tiền nênTP[50] = -13000 suy ra
2 0 0
####### 5
####### [50] .50 450 13000 29250
####### 2
####### TP Q Q
Vậy hàm lợi nhuận là
####### [ ] 5 2 450 29250
####### 2
####### TP Q Q Q
18. Cho hàm cầu của một loại sản phẩm của một doanh nghiệp độc quyền
####### QD 15 3 P
.a. Xác định hàm doanh thu và doanh thu cận biên.
####### 1
####### 15 3 5
####### 3
####### Q D P P Q
Hàm doanh thu:
####### 1
####### 5 5
####### 3 3
####### TR PQ Q Q Q Q
#######
#######
#######
Doanh thu cận biên
####### 2
####### &
039;[Q] 5
####### 3
####### MR TR Q
- Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm P = 3 và nêu ý nghĩa của con số này.
####### Q 15 3 P Q; &
039;[P] 3; Q[3] 6
####### [ ] &
039; [3] 3. 3 1,
####### 6
D D D D
####### P
####### P Q P Q
####### P
#######
Ý nghĩa: Tại mức giá P = 3, khi giá tăng 1% thì lượng cầu giảm 1,5%.19. Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí biến đổi là:
####### VC 0,3 Q 3 6 Q 2 20 Q
.a. Tìm giá trị chi phí cận biên của công ty tại thời điểm Q = 190.Chi phí cận biên là đạo hàm của hàm chi phí.TC[Q] = VC + FC =
3 2
####### 0,3 Q 6 Q 20 Q C 0
MC[Q] = TC’[Q] =
####### 0,9 Q 2 12 Q 20
MC[190] =
2
####### 0,9 12 20 30230
- Với mức chi phí cố định C 0 = 550, hãy tìm hàm chi phí trung bình của công ty.
3 2 2
####### [ ] 0,3 6 20 550
####### [ ] 550
####### [ ] 0,3 6 20
####### TC Q Q Q Q
####### TC Q
####### AC Q Q Q
####### Q Q
#######
#######
20. Giả sử hàm doanh thu cận biên theo sản lượng của một doanh nghiệp là
2
####### MR Q 15000 Q
.a. Tìm hàm doanh thu của doanh nghiệp.
2 2 3 0
####### &
039;[Q] 15000
####### 1
####### [Q] 15000 15000
####### 3
####### MR Q TR Q
####### TR MR Q dQ Q dQ Q Q Q
#######
Khi chưa bán hàng thì doanh thu bằng 0, tức là ta có TR[0] = 0 Q 0 = 0Vậy hàm doanh thu là:
####### 13
####### [Q] 15000
####### 3
####### TR Q Q
- Tìm hàm cầu của loại sản phẩm này.
3 2 2
####### 1 1
####### [ ] 15000 15000
####### 3 3
####### 1
####### 15000
####### 3
####### TR Q PQ Q Q Q Q
####### P Q
#######
#######
#######
#######
21. Một hãng sản xuất xe máy độc quyền có hàm cầu về sản lượng của mình là: Q = 100 – 20Ptrong đó P là giá và Q là sản lượng. Tổng chi phí sản xuất của hãng là:
2
TC 0, 001 Q 0,5Q 5.a. Tính hệ số co giãn của cầu về xe máy tại mức giá P = 3 và giải thích ý nghĩa của giá trịvừa tìm được.
####### 100 – 20 &
039;[P] 20
####### Q P QD
&
039;
####### [P] [P]. 20.
####### [ ] 100 20
####### 3
####### [3] 20. 1,
####### 100 20.
D D
####### P P
####### Q
####### Q P P
#######
#######
#######
#######
#######
#######
Ý nghĩa: Tại mức giá P =3 nếu giá tăng 1% thì lượng cầu giảm 1,5%.b. Hãy xác định giá bán để hãng bán được 60 xe máy. Khi đó lợi nhuận của hãng là baonhiêu?Trong thị trường độc quyền, hàm cầu của thị trường cũng là hàm cầu của hãng.
####### 1 1
####### 100 – 20 5 5 .60 2
####### 20 20
####### Q P P Q
Khi đó lợi nhuận của hãng là:a. Tính hệ số co giãn của cầu tại mức giá P = 20 và ý nghĩa của nó.Q’[P] = -2/3;Ý nghĩa: Tại mức giá P = 20 nếu tăng giá 1% thì lượng cầu giảm 0,1%. Vì nênhàm cầu ít co giãn tại P = 20, hay việc tăng giá không ảnh hưởng lắm đến lượng cầu.b. Lập hàm chi phí cận biên và chi phí bình quân.Chi phí cận biên là đạo hàm của hàm chi phí, MC[Q] = TC’[Q] = 3Q 2 – 6Q + 132Chi phí bình quân, AC[Q] =