Trong bài này, chúng ta sẽ luyện tập cách giải hệ phương trình bậc nhất bằng phương pháp cộng đại số. Đầu tiên, chúng ta cần hiểu được quy tắc cộng đại số là gì.
Quy tắc cộng đại số: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước: - Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới. - Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ [và giữ nguyên phương trình kia].
Ví dụ, ta có hai đẳng thức sau:
Chúng ta có thể cộng từng vế lại với nhau để được một đẳng thức mới:
Hoặc chúng ta có thể trừ từng vế để được một đẳng thức mới:
Đây là một ví dụ khác gồm hai phương trình phức tạp hơn:
Vậy ta đã tìm hiểu xong về phương pháp cộng đại số. Bây giờ, ta cùng học cách áp dụng quy tắc này để giải hệ phương trình.
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Ví dụ, giải hệ phương trình sau:
Điểm khó khi giải hệ phương trình này là hệ phương trình đang có hai ẩn x và y. Giá mà chúng ta có thể triệt tiêu được một trong hai ẩn này nhỉ...
Để giải hệ phương trình này, ta có thể áp dụng phương pháp cộng đại số để triệt tiêu ẩn y và quy việc giải hệ phương trình hai ẩn thành giải phương trình một ẩn:
Xuất sắc! Bây giờ, chúng ta chỉ còn một phương trình chứa một ẩn x và chúng ta đã biết cách giải phương trình này:
5x+0=255x=25 x=5Chia cả hai vế cho 5
Hoàn hảo! Giờ ta thế x bằng 5 vào phương trình thứ nhất để tìm y :
x+3y=8Phương trình 15+3y=8Thế 5 vào x3y=3Trừ hai vế cho 5y=1Chia hai vế cho 3
Tuyệt! Vậy nghiệm của hệ phương trình là [5;1].
Nhân hai vế của một trong hai phương trình với một số thích hợp, sau đó áp dụng quy tắc cộng đại số
Ở ví dụ trước, ta đã giải ra nghiệm rất dễ dàng vì ẩn y đã bị triệt tiêu ngay khi ta áp dụng quy tắc cộng đại số. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, ta không thể áp dụng quy tắc cộng đại số ngay từ bước đầu để giải hệ phương trình.
Ta cùng xem ví dụ về hệ phương trình dưới đây:
Nếu ta cộng từng vế hai phương trình này với nhau, cả hai ẩn x và y đều sẽ không bị triệt tiêu. Vì vậy, cách làm này không hiệu quả. Để giải hệ phương trình như thế này, ta cần làm theo các bước sau:
Bước 1: Nhân hai vế của một trong hai phương trình với một số thích hợp sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
−2[3x−4y]=−2[1]Nhân hai vế của phương trình thứ hai với−2−6x+8y=−2Rút gọn để được một phương trình mới
Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 [tức là phương trình một ẩn].
Trường THPT Thăng Long Thành phố Hà Nội
Địa chỉ: Số 44 - Tạ Quang Bửu - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại : [+84] 2436682655 Email: c3thanglong@hanoiedu.vn Email: quantri@thptthanglonghanoi.edu.vn ©2008 Bản quyền thuộc về Trường THPT Thăng Long Hà Nội
Quy tắc thế dùng để biến đối một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm 2 bước sau:
Bước 1: Từ một phương trình đã cho [coi là phương trình thứ nhất] ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới [chỉ có một ẩn]
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ [phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1]
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Bước 1: Sử dụng quy tắc thế để biến đối hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy là nghiệm của hệ đã cho
- Ví dụ:
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế $\begin{cases}x-3=3\\3x-4y=2\end{cases}$
$\begin{cases}x-3=3\\3x-4y=2\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=y+3\\3x-4y=2\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=y+3\\3[y+3]-4y=2\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=y+3\\3y+9-4y=2\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}y=7\\x=7+3=10\end{cases}$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x; y] = [10; 7]
2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Quy tắc cộng đại số
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho. Gồm 2 bước:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế 2 phương trình của hệ phương trình đã cho để được phương trình mới
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ [giữ nguyên phương trình kia]
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Bước 1: Nhân cả 2 vế của mỗi phương trình với một số thích hợp [nếu cần] sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng đại số để được phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 [tức là phương trình 1 ẩn]
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy là nghiệm của hệ đã cho
- Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số $\begin{cases}3x-y=5\\2x+y=15\end{cases}$
$\begin{cases}3x-y=5\\2x+y=15\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}5x=20\\2x+y=15\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=4\\2.4+y=15\end{cases}\\ \Leftrightarrow\begin{cases}x=4\\y=7\end{cases}$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x; y] bằng [4; 7]
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số $\begin{cases}x-2y=6\\2x+y=18\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}2x-4y=12\\2x+y=18\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}-5y=-6\\2x+y=18\end{cases}\\ \Leftrightarrow\begin{cases}y=\frac{6}{5}\\2x+\frac{6}{5}=18\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}y=\frac{6}{5}\\2x=\frac{84}{5}\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}y=\frac{6}{5}\\x=\frac{42}{5}\end{cases}$