Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn [gọi tắt là tứ giác nội tiếp].
Ví dụ 1. Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn [O] như hình vẽ.
Do đó, ta gọi tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Ví dụ 2. Bốn điểm M, N, P, Q không cùng nằm trên đường tròn [I] như hình vẽ.
Do đó, ta gọi tứ giác MNPQ không là tứ giác nội tiếp.
2. Định lí
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.
Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn [O]. Chứng minh BAD^+BCD^=180o.
Lời giải:
Theo tính chất góc nội tiếp chắn cung, ta có:
3. Định lí đảo
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
Ví dụ 4. Cho tứ giác ABCD có A^=100o; C^=80o.
Khi đó, tứ giác ABCD có A^+ C^=100o+80o=180o.
Do đó tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
4. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm [mà ta có thể xác định được]. Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
- Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.
Ví dụ 5. Tứ giác ABCD có , góc ngoài của tam giác tại đỉnh A có số đo bằng 80o.
Xét tứ giác ABCD có:
+ A^ và C^ là hai góc đối diện.
+ Góc ngoài đỉnh A và góc trong đỉnh C có tổng số đo bằng 180o.
Do đó tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
Bài 1: Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bảng sau [nếu có thể ]:
Lời giải
Tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối bằng 1800 nên:
- Điền vào ô trống:
- Cách tính:
Bài 2: Tứ giác ABCD có góc ABC + góc ADC = 180o. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.
Lời giải
Tứ giác ABCD có
⇒ ABCD là tứ giác nội tiếp
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
⇒ OA = OB = OC = OD = R
Do OA= OC nên ΔOAC cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AC.
Do OB= OD nên ΔOBD cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của BD
Do OA= OB nên ΔOAB cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AB.
Với 15 Bài tập Tứ giác nội tiếp lớp 9 có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài tập Tứ giác nội tiếp.
- Lý thuyết Bài 7: Tứ giác nội tiếp [hay, chi tiết]
15 Bài tập Tứ giác nội tiếp lớp 9 [có đáp án]
Câu 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn [O] [hình 1] . Chọn khẳng định sai?
Quảng cáo
Lời giải:
[góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó ]
Phương án A, B, C đúng
Chọn đáp án D
Câu 2: Tứ giác ở hình nào dưới đây là tứ giác nội tiếp?
- Hình 2
- Hình 3
- Hình 4
- Hình 5
Lời giải:
Hình 4 đúng vì tứ giác này có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn
Chọn đáp án C
Quảng cáo
Câu 3: Cho nửa đường tròn [O; R] đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF.Bx của nửa kia đường tròn [O] [ với F là tiếp điểm ]. Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D. Khi đó tứ giác OBDF là :
- Hình thang
- Tứ giác nội tiếp
- Hình thang cân
- Hình bình hành
Lời giải:
Ta có:
Nên nội tiếp được trong một đường tròn
Chọn đáp án B
Câu 4: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M và
- 110°
- 30°
- 70°
- 55°
Lời giải:
Tứ giác ABCD nội tiếp nên có :
Chọn đáp án C
Quảng cáo
Câu 5: Cho tam giác ABC có 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tứ giác nào sau đây là tứ giác nội tiếp
- AHBC
- BCDE
- BCDA
- Không có tứ giác nội tiếp
Lời giải:
Ta có: BD và CE là đường cao của tam giác ABC nên
Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ BC, hai điểm D và E cùng nhìn đoạn thẳng BC dưới 1 góc vuông nên 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc 1 đường tròn hay tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp .
Chọn đáp án B.
Câu 6: Cho đường tròn [O] có AB là đường kính. Trên đường thẳng AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn. Lấy điểm M bất kì nằm trên đường tròn [O]. Gọi P là giao điểm của MB và đường vuông góc với AB tại
- Chọn khẳng định đúng .
- Tứ giác PMAC là tứ giác nội tiếp
- Tam giác BCM vuông
- Tam giác BCP có CM là đường trung tuyến.
- Tất cả sai
Lời giải:
Ta có:
Do đó, tứ giác PMAC là tứ giác nội tiếp
Chọn đáp án A.
Quảng cáo
Câu 7: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E [khác với điểm A]. Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn [O] lần lượt tại C và D. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E. Tìm khẳng định sai
- Tứ giác OACM là tứ giác nội tiếp.
- Tứ giác OBDM là tứ giác nội tiếp
- Tứ giác ACDB là hình thang vuông
- Tứ giác ACDO là tứ giác nội tiếp
Lời giải:
Suy ra OMDB là tứ giác nội tiếp.
Chọn đáp án D.
Câu 8: Cho nửa đường tròn [O] đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C [C không trùng với A, B]. Gọi H là hình chiếu của C trên đường thẳng AB. Trên cung CB lấy điểm D [D khác C, B], Hai đường thẳng AD và CH cắt nhau tại E. . Gọi [O’] là đường tròn đi qua D và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn [O’] cắt CB tại F khác B.
Chọn khẳng định sai ?
- Tứ giác BDEH nội tiếp
- AC2 = AE.AD
- EF // AB.
- Có 2 phương án sai .
Lời giải:
* Gọi [O’] là đường tròn đi qua D và tiếp xúc với AB tại B.
Đường tròn [O’] cắt CB tại F khác B. Chứng minh EF // AB.
Ta có:
Hai góc ở vị trí đồng vị ⇒ EF//AB
Chọn đáp án D.
Câu 9: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn [O]. Gọi H là giao điểm hai đường cao BD và CE của tam giác ABC [D ∈ AC, E ∈ AB]. ] Đường thẳng AO cắt ED và BD lần lượt tại K và M. Tìm khẳng định đúng nhất?
- Tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn.
- AK.AM = AD2
D.Tất cả đúng
Lời giải:
* Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn.
Trong nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia tiếp tuyến Ax với đường tròn [O]
Chọn đáp án D.
Câu 10: Cho tam giác ABC [AB < AC] có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn [O; R]. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC, đường kính AD của đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B xuống đường thẳng AD. M là trung điểm của BC.
Tìm khẳng định sai ?
- Tứ giác ABHF nội tiếp
- Tứ giác BMFO nội tiếp.
- HE // BD
- Có ít nhất một khẳng định sai
Lời giải:
* Chứng minh các tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp.
- Từ giả thiết suy ra:
\=> H và F thuộc đường tròn đường kính AB [quỹ tích cung chứa góc]
Vậy tứ giác ABHF nội tiếp đường tròn đường kính AB
- Gọi M là trung điểm của BC [gt], suy ra: OM ⊥ BC
Khi đó:
Nên M, F thuộc đường tròn đường kính OB[quỹ tích cung chứa góc].
Vậy tứ giác BMOF nội tiếp đường tròn đường kính OB
* Chứng minh HE // BD.
Dễ chứng minh tứ giác ACEH nội tiếp đường tròn đường kính AC.
Và chúng ở vị trí so le trong suy ra: HE // BD
Chọn đáp án D.
Câu 11: Cho hình vẽ dưới đây:
Khi đó mệnh đề đúng là:
Lời giải:
Lại có \= 180o [3] [hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp]
Từ [1], [2] và [3] ta nhận được [x + 40o] + [x + 20o] = 180o ⇒ x = 60o
Từ [1] ta có \= 60o + 40o = 100o
Đáp án cần chọn là: C
* Thông hiểu: Cho hình vẽ dưới đây:
Lời giải:
Lại có \= 180o [3] [hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp]
Từ [1], [2] và [3] ta nhận được [x + 40o] + [x + 20o] = 180o ⇒ x = 60o
Ta lại có là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên
Cách khác:
Xét tam giác ADE, theo định lý về tổng ba góc trong tam giác, ta cóL
Xét tam giác ABF theo định lý về tổng ba góc trong tam giác, ta có:
Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn [O] nên \= 180o [3*] [tổng hai góc đối bằng 180o]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 13: Cho ∆ABC cân tại A có \= 120o. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy D sao cho BCD là tam giác đều. Khi đó:
- ∆ACD cân
- ABDC nội tiếp
- ABDC là hình thang
- ABDC là hình vuông
Lời giải:
Ta có ∆BCD là tam giác đều nên \= 60o [1]. Mặt khác ∆ABC là tam giác cân tại A có \= 120o hơn nữa tổng ba góc trong một tam giác bằng 180o nên ta nhận được:
Vậy tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp
Đáp án cần chọn là: B
Câu 14: Cho ∆ABC cân tại A có \= 130o. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, kẻ Bx ⊥ BA; Cy ⊥ CA, Bx và Cy cắt nhau tại D. Chọn đáp án sai:
Lời giải:
Theo đề bài ta có:
mà hai góc lại ở vị trí đối nhau nên tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp nên đáp án B đúng.
Từ đó suy ra tam giác BCD cân tại D nên đáp án A đúng.
+] Xét tứ giác ABDC nội tiếp nên:
Ta chưa đủ điều kiện để suy ra tứ giác ABDC là hình thoi nên C sai
Đáp án cần chọn là: C
Câu 15: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn [O]. M là điểm thuộc cung nhỏ AC [cung CM < cung AM]. Vẽ MH vuông góc với BC tại Hm vẽ MI vuông góc với AC tại I. Chọn câu đúng:
- MIHC là hình chữ nhật
- MIHC là hình vuông
- MIHC không là tứ giác nội tiếp
- MIHC là tứ giác nội tiếp
Lời giải:
Xét tứ giác IMHC ta có:
tứ giác IMHC nội tiếp [dấu hiệu nhận biết]
Và tứ giác IMHC chưa đủ điều kiện để là hình chữ nhật và hình vuông
Đáp án cần chọn là: D
Xem thêm lý thuyết và các dạng bài tập Toán lớp 9 có lời giải hay khác:
- Lý thuyết Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp [hay, chi tiết]
- Trắc nghiệm Bài 8 [có đáp án]: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp
- Lý thuyết Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn [hay, chi tiết]
- Trắc nghiệm Bài 9 [có đáp án]: Độ dài đường tròn, cung tròn
- Lý thuyết Bài 10: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn [hay, chi tiết]
- Trắc nghiệm Bài 10 [có đáp án]: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
Săn SALE shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, KHÓA HỌC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.