Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là dạng toán điển hình của chương trình THPT. Đây là phần kiến thức từ lớp 9 nhưng khi lên lớp 10 thì dạng này phức tạp hơn, các dạng bài ứng dụng thực tế nhiều hơn và đòi hỏi các em thực sự hiểu về nó. Trong bài viết này, VUIHOC sẽ tổng hợp các lý thuyết và dạng toán điển hình của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là phần kiến thức nền rất quan trọng mà học sinh THPT cần phải nắm chắc từ lớp 10. Theo định nghĩa, bất phương trình bậc nhất hai ẩn có một trong các dạng sau đây:
$ax+by+c0 ax+by+c\leq 0
ax+by+c\geq 0$
Trong đó: a, b, c là số cho trước thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}\neq 0$, x và y là các ẩn số.
Nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn được định nghĩa như sau:
Nếu có cặp số $\left [ x_{0};y_{0} \right ]$ thỏa mãn $ax_{0}+by_{0}+c0, nửa còn lại gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn ax+by+c0 [hay ax+by+c0 nên miền nghiệm của bất phương trình $2x-y\leqslant 3$ là nửa mặt phẳng bờ $\left [ \Delta \right ]$ có chứa gốc tọa độ.
3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Khi học về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh không thể bỏ qua phần kiến thức nâng cao hơn, đó là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là biểu thức bao gồm 2 hay nhiều các bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình xuất hiện trong hệ thì tập hợp các điểm đó được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta cũng có thể hiểu miền nghiệm của hệ chính là giao các miền nghiệm của những bất phương trình thành phần trong hệ.
Để xác định được miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh sử dụng phương pháp biểu diễn hình học như sau:
-
Bước 1: Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ và gạch bỏ miền còn lại
-
Bước 2: Sau khi đã xác định các miền trong hệ, miền mà không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.
Học sinh cùng VUIHOC xét ví dụ sau đây để hiểu hơn về cách xét bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
Ví dụ [Toán 10 Đại số trang 97 SGK]: Biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau đây:
4. Một số bài tập về bất phương trình bậc nhất hai ẩn
4.1. Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Đối với các bài toán xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, các em học sinh cần làm theo các bước đã nêu ở mục 2.3. Để rõ hơn về cách áp dụng giải một bài toán thực tế như thế nào, các em học sinh cùng theo dõi các ví dụ dưới đây nhé!
Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm theo hình học của bất phương trình sau: -3x+2y>0
Giải:
Ví dụ 2: Cho hệ bất phương trình sau, biểu diễn hình học tập nghiệm:
4.2. Vận dụng vào bài toán kinh tế
Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn còn được ứng dụng rất nhiều vào các bài toán kinh tế. Xét ví dụ mẫu sau đây để hiểu hơn về cách giải các bài toán ứng dụng thú vị nhé!
Ví dụ: Hai loại sản phẩm I và II được sản xuất ra từ ba nhóm máy A, B, C. Khi sản xuất một đơn vị sản phẩm, mỗi loại phải dùng lần lượt các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được dùng cho trong bảng sau:
Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng.
Một đơn vị sản xuất II lãi 5 nghìn đồng.
Yêu cầu lập kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi đạt được cao nhất.
Giải:
Gọi x là số đơn vị sản phẩm loại I, y là số đơn vị sản phẩm loại II sản xuất ra.
Như vậy tiền lãi có được là L = 3x + 5y [nghìn đồng].
Theo đề bài: Nhóm A cần 2x + 2y máy;
Nhóm B cần 0x + 2y máy;
Nhóm C cần 2x + 4y máy;
Vì số máy tối đa ở nhóm A là 10 máy, nhóm B là 4 máy, nhóm C là 12 máy nên x, y phải thỏa mãn hệ bất phương trình:
Khi đó bài toán mới hình thành: trong các nghiệm của hệ bất phương trình [1] thì nghiệm [$x=x_{0};y=y_{0}$] nào cho L = 3x + 5y lớn nhất?
Miền nghiệm của hệ bất phương trình [1] là ngũ giác ABCDE tính cả miền trong.
Xét: L đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ABCDE.
Tính giá trị của biểu thức L = 3x + 5y tại các đỉnh. Ta được:
Đỉnh A[0;2], L = 10
Đỉnh B[2; 2], L = 16
Đỉnh C[4; 1], L = 17
Đỉnh D[5; 0], L = 15
Đỉnh E[0; 0], L = 0
Do đó, L = 3x + 5y lớn nhất là 17 [nghìn đồng] khi: x = 4; y = 1
Kết luận: Để có tiền lãi cao nhất, nhà máy cần sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm loại II.
Trên đây là toàn bộ kiến thức về bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình đại số THPT. Hy vọng rằng, bài viết đã cung cấp cho các em nguồn kiến thức hữu ích để vận dụng trong công cuộc ôn thi THPT quốc gia của mình. Để ôn tập lại các phần kiến thức Toán thi đại học khác, các em đừng quên truy cập vuihoc.vn và đăng ký khóa học để học thêm nhiều kiến thức bổ ích nhé!
Tài liệu gồm 22 trang hướng dẫn giải các dạng toán thực tế quy về hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn.
Từ thời cổ đại, khi thực hiện các công việc của mình, loài người đã luôn hướng tới cách làm tốt nhất trong các cách có thể làm được tức là đi tìm phương án tối ưu trong các phương án. Khi khoa học phát triển, người ta đã mô hình hoá toán học với các việc cần làm, nghĩa là biểu thị các mục tiêu cần đạt được, các yêu cầu hay các điều kiện thoả mãn bằng ngôn ngữ toán học để tìm lời giải tối ưu cho nó. Từ đó, hình thành nên các bài toán tối ưu.
Quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán tối ưu với hữu hạn biến, trong đó, mục tiêu và các điều kiện ràng buộc được biểu thị bằng các hàm số, các phương trình hay bất phương trình tuyến tính bậc nhất. Quy hoạch tuyến tính là là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế, trong một số ngành học kinh tế hoặc sư phạm [bậc đại học] có một môn học về bài toán này. [ads]
Đối với học sinh bậc THPT chỉ xét dạng đơn giản của một bài toán Quy hoạch tuyến tính được trình bày trong chương trình Đại số lớp 10. Với cách tổ chức thi THPTQG theo hình thức trắc nghiệm thì theo quan điểm của cá nhân tôi Quy hoạch tuyến tính là một bài toán quan trọng và khả năng rất cao sẽ xuất hiện trong đề thi THPTQG vì đây là một dạng toán xuất phát từ các nhu cầu thiết yếu trong cuộc sống.