08:02:3814/07/2021
Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m là dạng toán yêu cầu tính tổng quát cao, các em phải biện luận theo nhiều trường hợp khác nhau của tham số để từ đó có thể kết luận nghiệm của hê.
Bài viết này sẽ hướng dẫn các bước giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m, qua đó giúp các em dễ dàng giải được các dạng toán này.
* Các bước giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn theo tham số m
- Để giải biện luận hệ phương trình theo tham số m ta thực hiện 3 bước như sau:
• Bước 1: Đựa hệ phương trình về phương trình dạng bậc nhất dạng ax + b = 0. [sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,...]
• Bước 2: Xét phương trình bậc nhất: ax + b = 0, [với a, b là hằng số] [1].
- TH1: Nếu a ≠ 0 thì phương trình [1] có nghiệm duy nhất x = -b/a. từ đó tìm được y.
- TH2: Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình [1] vô nghiệm.
- TH3: Nếu a = 0, b = 0 thì phương trình [1] có vô số nghiệm.
• Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.
* Bài tập giải và biện luận hệ phương trình có lời giải
* Bài tập 1: Cho hệ phương trình:
Giải và biện luận hệ phương trình trên theo tham số m.
> Lời giải:
- Từ pt[2] ⇒ y = 2m - mx thế vào pt[1] ta có:
x + m[2m - mx]= m + 1
⇔ x - m2x + 2m2 = m + 1
⇔ 2m2 - m - 1 = m2x - x
⇔ [m2 - 1]x = 2m2 - m - 1 [3]
+ TH1: Nếu m2 - 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ -1 hoặc m ≠ 1 thì phương trình [3] có nghiệm duy nhất:
+ TH2: Nếu m2 - 1 = 0 ⇒ m = -1 hoặc m = 1.
Với m = -1 thì pt[3] trở thành: 0x = 2 + 1 - 1 = 2 ⇒ pt[3] vô nghiệm ⇒ hệ pt vô nghiệm.
Với m = 1 thì pt[3] trở thành: 0x = 2 - 1 - 1 = 0 đúng với mọi x ⇒ pt[3] có vô số nghiệm ⇒ hệ pt có vô số nghiệm.
- Kết luận:
Với m ≠ -1 hoặc m ≠ 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Với m = -1 hệ phương trình vô nghiệm
Với m = 1 hệ phương trình có vô số nghiệm
* Bài tập 2: Cho hệ phương trình:
Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
> Lời giải:
- Từ pt[1] ta suy ra: y = 2x - m - 5 thế vào pt[2] ta được:
[m - 1]x - m[2x - m - 5] = 3m - 1
⇔ [m - 1]x - 2mx + m2 + 5m = 3m - 1
⇔ m2 + 5m - 3m + 1 = 2mx - [m - 1]x
⇔ [m + 1]x = m2 + 2m + 1
⇔ [m + 1]x = [m + 1]2. [3]
+ TH1: với m + 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ -1 thì pt[3] có nghiệm duy nhất: x = m + 1 ⇒ y = 2[m + 1] - m - 5 = m - 3.
+ TH2: với m + 1 = 0 ⇒ m = -1 thì pt[3] trở thành:
0x = 0 nên pt[3] có vô số nghiệm ⇒ hệ pt có vô số nghiệm.
- Kết luận:
Với m ≠ -1 thì hệ pt có nghiệm duy nhất [x;y] = [m + 1; m - 3]
Với m = -1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
* Bài tập 3: Cho hệ phương trình:
Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
Trên đây là bài viết về cách giải và biện luận hệ phương trình có chứa tham số m. KhoiA hy vọng qua bài viết các em đã nắm vững được các bước giải dạng toán này và có thể vận dụng giải các bài toán tương tự một cách dễ dàng hơn.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
Cách giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0 được tóm tắt trong bảng sau
| ax + b = 0 [1] | ||
| Hệ số | Kết luận | |
| a ≠ 0 | [1] có nghiệm duy nhất x = -b/a | |
| a = 0 | b ≠ 0 | [1] vô nghiệm |
| b = 0 | [1] nghiệm đúng với mọi x |
Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 1: Cho phương trình [m2 - 7m + 6]x + m2 - 1 = 0
a. Giải phương trình khi m = 0
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Hướng dẫn:
a. Với m = 0 phương trình trở thành 6x - 1 = 0 ⇔ x = 1/6
Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/6
b. Ta có [m2 - 7m + 6]x + m2 - 1 = 0 ⇔ [m-1][m-6]x + [m-1][m+1] = 0
Nếu [m-1][m-6] ≠ 0
Nếu m = 1 phương trình trở thành 0 = 0. Khi đó phương trình có vô số nghiệm.
Nếu m = 6 thì phương trình trở thành 35 = 0 [Vô lí]. Khi đó phương trình vô nghiệm.
Quảng cáo
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [2m - 4]x = m - 2 có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn:
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m - 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [m2 - 5m + 6]x = m2 - 2m vô nghiệm.
Hướng dẫn:
Phương trình đã cho vô nghiệm khi
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [m2 - 1]x = m - 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.
Hướng dẫn:
Phương trình đã cho nghiệm đúng với ∀x ∈ R hay phương trình có vô số nghiệm khi
Bài 5: Cho phương trình m2x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.
Hướng dẫn:
Phương trình viết lại [m2 - 4]x = 3m - 6.
Phương trình đã cho vô nghiệm khi
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m ≠ -2
Bài 6: Cho hai hàm số y = [m + 1]2x - 2 và y = [3m + 7]x + m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.
Hướng dẫn:
Đồ thị hai hàm số cắt nhau khi và chỉ khi phương trình
[m + 1]2x - 2 = [3m + 7]x + m có nghiệm duy nhất
⇔ [m2 - m - 6]x = 2 + m có nghiệm duy nhất
Quảng cáo
Bài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để phương trình [m2 - 9]x = 3m[m - 3] có nghiệm duy nhất ?
Hướng dẫn:
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m2-9 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3
Vì m ∈ Z, m ∈ [-10; 10] nên
m ∈ {-10; -9; -8;...; -4; -2; -1; 0; 1; 2; 4;...; 10}
Vậy 19 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp