Các bài tập về Giải phương trình bằng phương pháp the

Qui tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.

Quy tắc thế gồm hai bước sau:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho [coi là phương trình thứ nhất], ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới [chỉ còn một ẩn].

Bước 2: Dùng phương trình mới để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ [và giữ nguyên phương trình thứ nhất] ta được hệ mới tương đương với hệ phương trình đã cho.

2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Căn cứ vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, ta làm như sau:

Bước 1. Rút x hoặc y từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

3. Chú ý

+ Nếu thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của hai ẩn đểu bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.

4. Giải bài tập hệ phương trình

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 3 trang 14: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế [biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai của hệ]

Lời giải

Ta có 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x;y]=[7;5]

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 3 trang 15: Cho hệ phương trình: 

Bằng minh họa hình học và phương pháp thế, chứng tỏ rằng hệ [IV] vô nghiệm. 

Lời giải 

Bằng hình học:

Ta có: 

Vẽ hai đường thẳng y=−4x+2 và y=−4x+12 ta thấy hai đường thẳng này không có điểm chung nên hệ phương trình vô nghiệm. 

Bằng phương pháp thế:

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

1. Giải các hệ phương trình sau:

a, $\left\{\begin{matrix}8y-x=4 &  & \\ 2x-21y=2 &  & \end{matrix}\right.$                   b, $\left\{\begin{matrix}\frac{y}{4}-\frac{x}{5}=6 &  & \\ \frac{x}{15}+\frac{y}{12}=0 &  & \end{matrix}\right.$

c, $\left\{\begin{matrix}x\sqrt{2}+y=3+\sqrt{2} &  & \\ -x+[\sqrt{2}-1]y=1-\sqrt{2} &  & \end{matrix}\right.$                d, $\left\{\begin{matrix}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=5 &  & \\ x+y=2\sqrt{2} &  & \end{matrix}\right.$

Xem lời giải

a. Quy tắc thế

Quy tắc thế dùng để biến đối một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm 2 bước sau:

Bước 1: Từ một phương trình đã cho [coi là phương trình thứ nhất] ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới [chỉ có một ẩn]

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ [phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1]

b. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 1: Sử dụng quy tắc thế để biến đối hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy là nghiệm của hệ đã cho

c] Ví dụ:

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế $\begin{cases}x-3=3\\3x-4y=2\end{cases}$

$\begin{cases}x-3=3\\3x-4y=2\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=y+3\\3x-4y=2\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=y+3\\3[y+3]-4y=2\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=y+3\\3y+9-4y=2\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}y=7\\x=7+3=10\end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x; y] = [10; 7]

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

a. Quy tắc cộng đại số

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho. Gồm 2 bước:

Bước 1: Cộng hay trừ từng vế 2 phương trình của hệ phương trình đã cho để được phương trình mới

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ [giữ nguyên phương trình kia]

b. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân cả 2 vế của mỗi phương trình với một số thích hợp [nếu cần] sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng đại số để được phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 [tức là phương trình 1 ẩn]

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy là nghiệm của hệ đã cho

c. Ví dụ:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số $\begin{cases}3x-y=5\\2x+y=15\end{cases}$

$\begin{cases}3x-y=5\\2x+y=15\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}5x=20\\2x+y=15\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=4\\2.4+y=15\end{cases}\\ \Leftrightarrow\begin{cases}x=4\\y=7\end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x; y] bằng [4; 7]

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số $\begin{cases}x-2y=6\\2x+y=18\end{cases}$

$\begin{cases}x-2y=6\\2x+y=18\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}2x-4y=12\\2x+y=18\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}-5y=-6\\2x+y=18\end{cases}\\ \Leftrightarrow\begin{cases}y=\frac{6}{5}\\2x+\frac{6}{5}=18\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}y=\frac{6}{5}\\2x=\frac{84}{5}\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}y=\frac{6}{5}\\x=\frac{42}{5}\end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x; y] bằng $[\frac{42}{5};\frac{6}{5}]$

08:47:0616/12/2020

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình lớp 9, chúng ta thường sử dụng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế như thế nào? qua đó vận dụng giải các bài tập minh họa vận dụng phương pháp này để các em rèn luyện kỹ năng giải toán.

I. Phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R [a2 + b2 ≠ 0]

- Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng [d]:  ax + by = c

• Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng [d] là đồ thị hàm số :
• Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục tung
• Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục hoành

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: 

 , trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Gọi [d]: ax + by = c, [d’]: a’x + b’y = c’, khi đó ta có:

• [d] // [d’] thì hệ vô nghiệm
• [d] cắt [d’] thì hệ có nghiệm duy nhất
• [d] ≡ [d’] thì hệ có vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế

a] Quy tắc thế

Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:

+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho [coi là phương trình thức nhất], ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới [chỉ còn một ẩn].

+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ [phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1].

b] Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

+ Bước 1: Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

* Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a] 

b] 

* Lời giải:

a] 

 

b] 

 

[SCRIPT_ADS_READ]

III. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

* Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a] 

   b] 

c] 

* Lời giải:

a] 

  

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [10;7]

b] 

  

  

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [11/19;-6/19]

c] 

  

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [25/19;-21/19]

* Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương pháp thế

a] 

     b] 

* Lời giải:

a] 

  

  

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [7;5]

b] 

  

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [3;3/2]

Tóm lại, từ một số bài tập và ví dụ minh họa ở trên về cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, các em thấy rằng, việc giải bằng phương pháp thế sẽ rất thuận tiện nếu một trong hai phương trình của hệ có các hệ số đứng trước x hay y là hệ số 1. Khi đó việc giải sẽ rất dễ dàng vì thế x theo y [hay y theo x] không có phân số.