Các dạng toán tính tổng dãy số lớp 6 năm 2024

• * Lớp 1
  • Lớp 2
  • Lớp 3
  • Lớp 4
  • Lớp 5
  • Lớp 6
  • Lớp 7
  • Lớp 8
  • Lớp 9
  • Lớp 10
  • Lớp 11
  • Lớp 12
  • Thi chuyển cấp
  • • Mầm non

      • Tranh tô màu
      • Trường mầm non
      • Tiền tiểu học
      • Danh mục Trường Tiểu học
      • Dạy con học ở nhà
      • Giáo án Mầm non
      • Sáng kiến kinh nghiệm

    • Học tập

      • Giáo án - Bài giảng
      • Luyện thi
      • Văn bản - Biểu mẫu
      • Viết thư UPU
      • An toàn giao thông
      • Dành cho Giáo Viên
      • Hỏi đáp học tập
      • Cao học - Sau Cao học
      • Trung cấp - Học nghề
      • Cao đẳng - Đại học

    • Hỏi bài

      • Toán học
      • Văn học
      • Tiếng Anh
      • Vật Lý
      • Hóa học
      • Sinh học
      • Lịch Sử
      • Địa Lý
      • GDCD
      • Tin học

    • Trắc nghiệm

      • Trắc nghiệm IQ
      • Trắc nghiệm EQ
      • KPOP Quiz
      • Đố vui
      • Trạng Nguyên Toàn Tài
      • Trạng Nguyên Tiếng Việt
      • Thi Violympic
      • Thi IOE Tiếng Anh
      • Kiểm tra trình độ tiếng Anh
      • Kiểm tra Ngữ pháp tiếng Anh

    • Tiếng Anh

      • Luyện kỹ năng
      • Giáo án điện tử
      • Ngữ pháp tiếng Anh
      • Màu sắc trong tiếng Anh
      • Tiếng Anh khung châu Âu
      • Tiếng Anh phổ thông
      • Tiếng Anh thương mại
      • Luyện thi IELTS
      • Luyện thi TOEFL
      • Luyện thi TOEIC

    • Khóa học trực tuyến

      • Tiếng Anh cơ bản 1
      • Tiếng Anh cơ bản 2
      • Tiếng Anh trung cấp
      • Tiếng Anh cao cấp
      • Toán mầm non
      • Toán song ngữ lớp 1
      • Toán Nâng cao lớp 1
      • Toán Nâng cao lớp 2
      • Toán Nâng cao lớp 3
      • Toán Nâng cao lớp 4

Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Trong các dạng toán tính giá trị biểu thức hay tính nhanh, chúng ta sẽ thấy một số bài toán tính tổng dãy số [dãy số liên tiếp, dãy số cách đều,…]. Phương pháp làm những dạng này thật ra rất đơn giản, hãy cũng với MATHX khám phá nhé!

Công thức tính tổng các dãy số hạng liên tiếp

Tính tổng S[n] = 1 + 2 + 3 + … + n –

Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 97 + 98 + 99

Phân tích và giải:

Ta thấy tổng S có thể tính theo 2 cách [từ đầu đến cuối hoặc từ cuối lên đầu]

S = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99

S = 99 + 98 + 97 + ... + 3 + 2 + 1

Ta cộng lại:

S + S = [1 + 99] + [2 + 98] + [3 + 97] + ... + [97 + 3] + [98 + 2] + [99 + 1]

S x 2 = [1 + 99] x 99

S = [1 + 99] x 99 : 2 = 2950

Ta có thể xây dựng công thức tổng quát để tìm tổng các số hạng của một dãy số tự nhiên liên tiếp như sau:

Tổng = [số đầu + số cuối] x số số hạng : 2

Ví dụ 2: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ...+ 95 + 97 + 99

Phân tích và giải:

Cũng tương tự như ví dụ 1, ta sẽ tính như sau:

S = 1 + 3 + 5 + ... + 95 + 97 + 99

S = 99 + 97 + 95 + ... 5 + 3 + 1

S + S = [1 + 99] + [3 + 97] + [5 + 95] + ... + [95 + 5] + [97 + 3] + [99 + 1]

Vấn đề đặt ra lúc này là cần tìm xem có bao nhiêu nhóm có tổng bằng 100 ở trên. Số nhóm này chính là số số hạng của dãy số 1, 3, 5, ..., 99

Dạng tổng quát: \[\dfrac{k}{{\left[ {n - k} \right].n}} = \dfrac{{n - \left[ {n - k} \right]}}{{\left[ {n - k} \right].n}} = \dfrac{n}{{\left[ {n - k} \right].n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left[ {n - k} \right].n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\]

Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.

Bài tập

Bài 1:

Tính:

1. A = \[2017:\left[ {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right]\]

1. \[B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\]

1. \[C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\]

1. \[D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\]

1. \[E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\]

1. \[F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\]

Bài 2:

Tính các tổng sau:

1. \[A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\]

1. \[B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\]

Bài 3:

1. Tính tổng sau: \[A = \dfrac{{1 + \left[ {1 + 2} \right] + \left[ {1 + 2 + 3} \right] + \ldots + \left[ {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right]}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\]

1. Chứng minh rằng biểu thức \[B\] có giá trị bằng \[\dfrac{1}{2}\] với \[B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\]

Hướng dẫn giải chi tiết

Bài 1:

Tính:

1. A = \[2017:\left[ {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right]\]

1. b] \[B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\]

1. \[C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\]

1. \[D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\]

1. \[E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\]

1. \[F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\]

Phương pháp

Nhận xét: Tử số bằng hiệu của các thừa số ở mẫu.

Dạng tổng quát: \[\dfrac{k}{{\left[ {n - k} \right].n}} = \dfrac{{n - \left[ {n - k} \right]}}{{\left[ {n - k} \right].n}} = \dfrac{n}{{\left[ {n - k} \right].n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left[ {n - k} \right].n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\]

Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.

Lời giải

\[2017:\left[ {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right]\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ = 2017:\left[ {1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2018}}} \right]}\\{ = 2017:\left[ {1 - \dfrac{1}{{2018}}} \right]}\\{ = 2017:\dfrac{{2017}}{{2018}}}\\{ = 2017.\dfrac{{2018}}{{2017}} = 2018.}\end{array}\]

Vậy \[x = \dfrac{{ - 2}}{3}\]

1. \[B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\]

\[\begin{array}{l} = \dfrac{{5 - 2}}{{2.5}} + \dfrac{{8 - 5}}{{5.8}} + \dfrac{{11 - 8}}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019 - 2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{5}{{2.5}} - \dfrac{2}{{2.5}} + \dfrac{8}{{5.8}} - \dfrac{5}{{5.8}} + \dfrac{{11}}{{8.11}} - \dfrac{8}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019}}{{2016.2019}} - \dfrac{{2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{11}} + \ldots + \dfrac{1}{{2016}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{{2019 - 2}}{{2.2019}}\\\, = \dfrac{{2017}}{{4038}}.\end{array}\]

1. \[C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\]

Xét từng phân số ta thấy: Hiệu 2 thừa số ở mẫu bằng \[6\] \[ \Rightarrow \] Nhân cả 2 vế của biểu thức với \[3\].

\[\begin{array}{l} \Rightarrow B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot \left[ {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right]}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}} = \dfrac{1}{2}.\end{array}\]