Đề bài: Cho hàm số f[x] xác định trên R thỏa mãn điều kiện${[f[x] f[y]]^2} \le |x-y|^3 \forall x,y \in R$ [1]Chứng minh rằng $f[x]$ có đạo hàm trên $R$ và $f[x] = C$, trong đó $C$ là một hằng số
Lời giải
Từ $[1]$ với $x \ne y$ ta có: $\left| {\frac{{f[x] f[y]}}{{x y}}} \right| \le {\left| {x y} \right|^{1/2}}$
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to y} \left| {\frac{{f[x] f[y]}}{{x y}}} \right| \le \mathop {\lim }\limits_{x \to y} {\left| {x y} \right|^{1/2}} = 0$
Tức là hàm số $f[x]$ có đạo hàm tại mỗi điểm, hơn nữa $f'[x] = 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in {\rm{R}}$
$\Rightarrow {\rm{f[x]}} = C$ trong đó $C$ là một hằng số.