Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Toán quỹ tích Toán lớp 8, tài liệu bao gồm 16 trang, tuyển chọn các bài tập Toán quỹ tích - Hình học toán 8 có lý thuyết và lời giải chi tiết, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Tài liệu Toán quỹ tích gồm các nội dung chính sau:
- Phương pháp giải
- tóm tắt lý thuyết ngắn gọn;
- 3 trường hợp đồng dạng của tam giác và phương pháp giải chi tiết từng dạng bài tập.
II. Một số ví dụ/ Ví dụ minh họa
- gồm 5 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập trên có lời giải chi tiết.
III. Bài tập vận dụng
- gồm ? bài tập vận dụng [?có đáp án ? có lời giải chi tiết] giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Toán quỹ tích.
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
Toán quỹ tích
- Phương pháp giải
1. Định nghĩa
Quỹ tích của những điểm có tính chất T nào đó là tập hợp tất cả những điểm có tính chất T đó.
2. Các quỹ tích cơ bản
- Quỹ tích các điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng cố định là đường trung trực của đoạn thẳng đó. [1].
- Quỹ tích các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó. [2].
- Quỹ tích các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h. [3]
- Quỹ tích những điểm cách một điểm O cố định một khoảng R không đổi là đường tròn tâm O, bán kính R. [4].
3. Cách giải bài toán tìm quỹ tích các điểm có chung tính chất T nào đó
- Phần thuận: Chứng minh rằng nếu điểm M có tính chất T thì điểm M thuộc một hình H nào đó.
- Phần đảo: Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc hình H thì điểm M có tính chất T.
- Kết luận: Quỹ tích của điểm M là hình H.
4. Một số lưu ý khi giải bài toán tìm quỹ tích.
- Tìm hiểu đề bài
Cần xét xem:
- Yếu tố nào cố định [ vì trong các quỹ tích cơ bản đều có nói đến yếu tố cố định như điểm, đoạn thẳng, góc,….].
- Yếu tố nào không đổi [ thường là khoảng cách không đổi, góc có số đo không đổi,…];
- Quan hệ nào không đổi [ ví dụ điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng, cách đều hai cạnh của một góc,…];
- Yếu tố nào chuyển động [ điểm nào có vị trí thay đổi, liên quan đến điểm phải tìm quỹ tích như thế nào?].
- Dự đoán quỹ tích.
Vẽ nháp vài vị trí của điểm cần tìm quỹ tích [ thường là vẽ ba vị trí].
- Nếu ba điểm này thẳng hàng thì ta dự đoán quỹ tích là đường thẳng [ đường thẳng song song, đường trung trực, tia phân giác,…].
- Nếu ba điểm không thẳng hàng thì quỹ tích có thể là đường tròn.
- Giới hạn quỹ tích
Có nhiều bài toán quỹ tích cần tìm chỉ là một phần của hình H, phần còn lại không thỏa mãn điều kiện của bài toán, ta phải loại trừ phần này. Làm như vậy gọi là tìm giới hạn của quỹ tích.
Bài viết Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng.
Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay
A. Phương pháp giải
Quảng cáo
Để tìm tập hợp giao điểm I của hai đường thẳng thay đổi a; b ta chọn hai mặt phẳng cố định
[α] và [β] cắt nhau lần lượt chứa a và b
Khi đó I = a ∩ b ⇒
⇒ I ∈ d = [α] ∩ [β]
Vậy điểm I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng [α] và [β]
Để chứng minh đường thẳng d đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau:
- Chọn một điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng [P] và [Q]
- Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng [P] và [Q] , khi đó d đi qua điểm cố định J
B. Ví dụ minh họa
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AB. Một mặt phẳng [P] quay quanh AB cắt các cạnh SC; SD tại các điểm tương ứng E; F
- Tìm tập hợp giao điểm I của AF và BE
- Tìm tập hợp giao điểm J của AE và BF
Lời giải
- Phần thuận:
Giới hạn:
Khi E chạy đến C thì F chạy đến D và I chạy đến H
Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và I chạy đến S
Phần đảo:
Lấy điểm I bất kì thuộc đoạn SH , trong [SAH] gọi F = SD ∩ AI, trong [SBH] gọi E là giao điểm của SH và BI. Khi đó [ABEF] là mặt phẳng quay quanh AB cắt các cạnh SC; SD tại E; F và I là giao điểm của AF và BE.
Vậy tập hợp điểm I là đoạn SH
- Ta có
Nhưng SO = [SAC] ∩ [SBD] nên J ∈ SO
Khi E chạy đến chạy đến C thì F chạy đến D và J chạy đến O
Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và J chạy đến S
Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm J là đoạn SO
Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M; N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho AM/AB ≠ AN/AC. Một mặt phẳng [P] thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F .
- Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định
- Tìm tập hợp giao điểm I của ME và NF
- Tìm tập hợp giao điểm J của MF và NE
Quảng cáo
Lời giải
- Trong mp [ABC] gọi K = MN ∩ BC thì K cố định và
Lại có EF = [P] ∩ [BCD] ⇒ K ∈ EF
Vậy EF luôn đi qua điểm K cố định
- Phần thuận:
Trong [P] gọi I = ME ∩ NF ⇒
⇒ I ∈ [MCD] ∩ [NBD]
Gọi O = CM ∩ BN ⇒ OD = [MCD] ∩ [NBD] ⇒ I ∈ OD
Giới hạn:
Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O.
Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D.
Phần đảo:
Gọi I là điểm bất kì trên đoạn OD, trong [MCD] gọi E = MI ∩ CD, trong [NBD] gọi F = NI ∩ BD suy ra [MNEF] là mặt phẳng quay quanh MN cắt các cạnh DB; DC tại các điểm E; F và I = ME ∩ NF
Vậy tập hợp điểm I là đoạn O D.
c]
Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và J chạy đến A
Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và J chạy đến D
Từ đó ta có tập hợp điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạn AD
C. Bài tập tự luận
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I,J là trung điểm SA; SB . Lấy điểm M tùy ý trên SD. Tìm giao điểm của:
- IM và [SBC] b] JM và [SAC] c] SC và [IJM]
Lời giải:
- Chọn mặt phẳng phụ [SAD] chứa IM. Tìm giao tuyến của [SAD] và [SBC]
Có : S ∈ [SAD] ∩ [SBC] [1]
+ Trong mp[ABCD] gọi H là giao điểm của AD và BC
⇒ H ∈ [SAD] ∩ [SBC] [2]
+ Từ [1] và [2] suy ra:
SH = [SAD] ∩ [SBC]
+ Trong mp[SAD] gọi E là giao điểm của IM và SH
- Chọn mặt phẳng phụ [SBD] chứa JM. Tìm giao tuyến của [SBD] và [SAC]
Có S ∈ [SBD] ∩ [SAC] [3]
+ Trong mp[ABCD] gọi O là giao điểm của AC và BD
Từ [3] và [4] suy ra : SO = [SBD] ∩ [SAC]
Trong mp[SBD] gọi F là giao điểm của JM và SO
- Ta có
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm trên SA; AB; BC
- Tìm giao điểm của IK với [SBD]
- Tìm các giao điểm của mp [IJK] với SD và SC
Quảng cáo
Lời giải:
- Chọn mặt phẳng phụ [SAK] chứa IK. Tìm giao tuyến của [SAK] và [SBD]
+ S ∈ [SAK] ∩ [SBD] [1]
+ Trong mp[ABCD] gọi E là giao điểm của AK
+ Từ [1] và [2] suy ra SE = [SAK] ∩ [SBD]
Trong mp[SAK] gọi F là giao điểm của IK và SE
- Chọn mặt phẳng phụ [SBD] chứa SD. Tìm giao tuyến của [SBD] và [IJK]
Ta có:
+ Trong mp[ABCD] gọi M là giao điểm của JK và BD.
Từ [3] và [4] suy ra MF = [IJK] ∩ [SBD]
+ Trong mp[SBD] gọi N là giao điểm của SD và MF.
- Chọn mp[SAC] chứa SC. Tìm giao tuyến của [SAC] và [IJK]
+ Ta có:
+ Trong mp[ABCD] gọi P là giao điểm của JK và AC.
+ Từ [5] và [6] suy ra : IP = [SAC] ∩ [IJK]
+ Trong mp[SAC] gọi Q là giao điểm của SC và IP
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB; N là trọng tâm tam giác SCD. Xác định giao điểm của:
- MN và [ABCD]
- MN và [SAC]
- SC và [AMN]
- SA và [CMN]
Lời giải:
- Gọi E trung điểm của CD
+ Trong mp[SBE] gọi F là giao điểm của MN và BE
- Chọn mp[SBE] chứa MN. Tìm giao tuyến [SBE] và [SAC]
+ Ta có: S ∈ [SBE] ∩ [SAC] [1]
+ Trong mp[ABCD] gọi G là giao điểm của AC và BE
+ Từ [1] và [2] suy ra: SG = [SBE] ∩ [SAC]
+ Trong mp[SBE] gọi H là giao điểm của MN và SG
- Chọn mp[SAC] chứa SC. Tìm giao tuyến [SAC] và [AMN]
+ Ta có: A ∈ [AMN] ∩ [SAC] [3]
+ Ta có
Từ [3] và [4] suy ra : AH = [AMN] ∩ [SAC]
+ Trong mp[SAC] gọi K là giao điểm của SC và AH
- Chọn mp[SAC] chứa SA. Tìm giao tuyến [SAC] và [CMN]
+ Ta có: C = [SAC] ∩ [CMN] [5]
+
+ Từ [5] và [6] suy ra : CH = [SAC] ∩ [CMN]
Trong mp[SAC] gọi I là giao điểm của SA và CH
⇒ I = SA ∩ [CMN]
Quảng cáo
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD. Lấy một điểm M thuộc miền trong tam giác SBC. Lấy một điểm N thuộc miền trong tam giác SCD.
- Tìm giao điểm của MN với [SAC]
- Tìm giao điểm của SC với [AMN]
- Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với [AMN]
Lời giải:
- Trong mp[SBC] gọi E = SM ∩ BC
Trong mp[SCD] gọi F = SN ∩ CD
+ Chọn mp[SEF] chứa MN
Có S ∈ [SEF] ∩ [SAC] [1]
Trong mp[ABCD] gọi
⇒ O ∈ [SEF] ∩ [SAC] [2]
Từ [1] và [2] suy ra [SEF] ∩ [SAC] = SO
Trong mp[SEF] gọi
- Có A ∈ [AMN] ∩ [SAC] [3]
Có
Từ [3] và [4] suy ra [AMN] ∩ [SAC] = AH
Trong mp[SAC] gọi Q = SC ∩ AH
- Có MQ = [AMN] ∩ [SBC]. Gọi P = SB ∩ MQ ⇒ [AMN] ∩ [SAB] = AP
Có NQ = [AMN] ∩ [SCD]. Gọi R = SD ∩ NQ ⇒ [AMN] ∩ [SAD] = AR
Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác APQR
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N,P lần lượt là trung điểm của SB; SD và OC.
- Tìm giao tuyến của [ MNP] và [ABCD]
- Tìm giao điểm của SA và [MNP]
- Xác định thiết diện của hình chóp với [MNP]. Tính tỉ số mà [MNP] chia các cạnh SA, BC và CD
Lời giải:
- Ta có SO = [SAC] ∩ [SBD]
+ Trong mp[SBD] gọi H là giao điểm của MN và SO
Vì MN là đường trung bình của tam giác SBD
⇒ H là trung điểm của SO
+ Có P ∈ [MNP] ∩ [SAC] [1]
+ Có
⇒ H ∈ [MNP] ∩ [SAC] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: [MNP] ∩ [SAC] = PH
+ Trong mp[SAC] gọi
+ Do H trung điểm của SO và P trung điểm của OC
Suy ra PH là đường trung bình của tam giác OCS nên PH // SC
+ Trong tam giác SAC có
+ Trong mp[SAB] gọi I = EM ∩ AB ⇒ I ∈ [MNP] ∩ [ABCD] [3]
Lại có P ∈ [MNP] ∩ [ABCD]
Do đó [MNP] ∩ [ABCD] = IP
+ Trong mp[ABCD] gọi F và G lần lượt là giao điểm của IP với BC và CD.
Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác FMENG.
Trong mp[SAB] dựng BK // SA, K ∈ SI ⇒ ΔMES = ΔMKB [g.c.g]
Kết luận tỉ số mà mp[MNP] chia các cạnh SA, BC và CD lần lượt là:
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trọng tâm của tam giác SAC và I, J lần lượt là trung điểm của CD và SD
- Tìm giao điểm H của đường thẳng IK với mặt phẳng [SAB]
- Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng [IJK] với hình chóp
Lời giải:
+ Trong mp[ABCD] gọi O = AC ∩ BD
⇒ [SAC] ∩ [SBD] = SO
+ Vì K là trọng tâm của tam giác SAC nên:
SK = [2/3]SO
+ Trong tam giác SBD có SO là đường trung tuyến và SK = [2/3]SO
Suy ra K là trọng tâm của tam giác SBD.
Do đó B ∈ KJ
+ Ta có S ∈ [SAB] ∩ [SIO] [1]
Trong mp[ABCD] gọi E = AB ∩ IO
+ Do
Từ [1] và [2] suy ra [SAB] ∩ [SIO] = SE
+ Trong mp[SIO] gọi H = IK ∩ SE, có
- Ta có B ∈ KJ ⇒ B ∈ [IJK] ∩ [ABCD]
⇒ Giao tuyến [IJK] ∩ [ABCD] = BI
+ Trong mp[SAB] gọi F = BH ∩ SA ⇒ [SAB] ∩ [IJK] = BF
Ngoài ra [SAD] ∩ [IJK] = FJ và [SCD] ∩ [IJK] = JI
Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác BFJI
Câu 7: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang, điểm P nằm trong tam giác SAB và điểm M thuộc cạnh SD sao cho MD = 2MS
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [SAB] và [PCD]
- Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng [ABM]
- Gọi N là trung điểm của AD, tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng [MNP] và hình chóp S.ABCD
Lời giải:
- Ta có P ∈ [SAB] ∩ [PCD] [1]
Trong mp[ABCD] gọi H = AB ∩ CD, có
Từ [1] và [2] suy ra [SAB] ∩ [PCD] = HP
+ Bước 1: Chọn mp[SCD] chứa SC.
+ Bước 2: Tìm giao tuyến của [MAB] và [SCD]:
Có M, H là hai điểm chung của hai mặt phẳng [MAB] và [SCD]
⇒ HM = [MAB] ∩ [SCD]
Giao tuyến HM cắt SC tại điểm I
Vậy I là giao điểm của SC với mp[ABM]
- Trong mp[SAD] gọi G = SA ∩ MN, có
Lại có P ∈ [SAB] ∩ [MNP] [4]
Từ [3] và [4] ⇒ [SAB] ∩ [MNP] = GP.
Gọi K, L lần lượt là giao điểm của GP với SB và AB.
Suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác MNLK.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, SD, P là điểm thuộc cạnh SB sao cho: SP = 3PB
- Tìm giao điểm Q của SC và [MNP]
- Tìm giao tuyến của [MNP] và [ABCD]
Lời giải:
- Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có SO là giao tuyến của [SAC] và [SBD]
+ Trong mp[SBD] gọi E là giao điểm của PN và SO
Từ [1] và [2] suy ra : ME = [MNP] ∩ [SAC]
+ Trong mp[SAC] gọi Q là giao điểm của ME và SC
+ Trong mp[SBD] gọi K là giao diểm của PN và BD
+ Trong mp[SAB] gọi H là giao điểm của PM và AB.
Từ [3] và [4] suy ra: HK = [MNP] ∩ [ABCD]
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của SD.
- Tìm giao điểm I của BM với mp[SAC]. Chứng minh: BI = 2IM
- Tìm giao điểm E của SA với mp[BCM]. Chứng minh E là trung điểm của SA
Lời giải:
- Có: S ∈ [SAC] ∩ [SBD] [1]
+ Trong mp[ABCD] gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ O ∈ [SAC] ∩ [SBD] [2]
+ Từ [1] và [2] suy ra : SO = [SAC] ∩ [SBD]
+ Trong mp[SBD] gọi I là giao điểm của BM và SO
Trong tam giác SBD có I là giao điểm của hai đường trung tuyến SO và BM suy ra I là trọng tâm của tam giac SBD.
⇒ BI = 2IM
- C ∈ [BCM] ∩ [SAC] [3]
Từ [3] và [4] suy ra: CI = [BCM] ∩ [SAC]
+ Trong mp[SAC] gọi E là giao điểm của SA và CI
⇒ E = SA ∩ [BCI]
+ Vì I trọng tâm của tam giác SBD nên SI = [2/3]SO
+ Trong tam giác SAC có SO là đường trung tuyến và SI = [2/3]SO nên I cũng là trọng tâm của tam giác SAC.
Do đó CI là đường trung tuyến của tam giác SAC nên E trung điểm của SA
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB và AB = 2CD. Gọi I, J, K lần lượt là ba điểm trên các cạnh SA; AB; BC
- Tìm giao điểm của IK và mp [SBD]
- Tìm giao điểm F của SD và mp [IJK]
Lời giải:
- Chọn mp[SAK] chứa IK
+ S ∈ [SBD] ∩ [SAK] [1]
+ Trong mp[ABCD] gọi O là giao điểm của AK và BD
⇒ O ∈ [SAK] ∩ [SBD] [2]
+ Từ [1] và [2] suy ra:
SO = [SAK] ∩ [SBD]
+ Trong mp[SAK] gọi E là giao điểm của IK và SO
- Trong mp[ABCD] gọi P, Q lần lượt là giao điểm của JK với AD và CD.
Có:
⇒ ΔKBJ = ΔKCQ [g.c.g]
⇒ JB = CQ
+ Lại có : JB = DC [Vì JB = DC = [1/2]AB ]. Do đó C là trung điểm của DQ, và BJCQ là hình bình hành.
+ Trong tam giác DPQ có CJ là đường trung bình. Do đó A là trung điểm của DP.
Có I ∈ [SAD] ∩ [IJK] [3]
Có
Từ [3] và [4] suy ra : IP = [SAD] ∩ [IJK]
+ Trong mp[SAD] gọi giao điềm của SD và IP là F
Câu 11: Cho tứ diện S.ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD
- Tìm giao điểm E của CD với mp[IJK]. Chứng minh: DE = DC
- Tìm giao điểm F của AD với mp[IJK]. Chứng minh: FA = 2 FD
- Chứng minh: FK // IJ
- Gọi M và N là hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao điểm của MN với mp[IJK]
Lời giải:
- Trong mp[BCD] gọi E là giao điểm của CD và JK
+ Trong tam giác CEJ có: DH = [1/2].CJ nên DH là đường trung bình của tam giác này. Suy ra D trung điểm của CE
Vậy DE = DC
+ Ta có:
+ E là giao điểm của CD và JK:
+ Từ [1] và [2] suy ra : EI = [ACD] ∩ [IJK]
+ Trong mp[ACD] gọi F là giao điềm của AD và [IJK]
+ Có F là giao điểm của hai đường trung tuyến AD và EI của tam giác ACE, suy ra F là trọng tâm của tam giác này.
⇒ FA = 2FD
- Tương tự câu b] có K là trọng tâm của tam giác BCE
Theo tính chất trọng tâm có: EF/EI = EK/EJ = 2/3 ⇒ FK //IJ
- Chọn mp[ABN] chứa MN
+ Trong mp[BCD] gọi P là giao điểm của BN và JK
Câu 12: Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC; BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng [α] đi qua AC cắt SE; SB lần lượt tại M; N. Một mặt phẳng [β] đi qua BC cắt SD; SA tương ứng tại P và Q.
- Gọi I = AM ∩ DN, J = BP ∩ EQ. Chứng minh: S; I; J; G thẳng hàng
- Giả sử K = AN ∩ DM, L = BQ ∩ EP. Chứng minh S; K; L thẳng hàng
Lời giải:
- Ta có:
Từ [1], [2], [3] và [4] ta có: S; I; J; G là điểm chung của hai mặt phẳng [SBD] và [SAE] nên chúng thẳng hàng.
b]
Ta có:
S ∈ [SAB] ∩ [SDE]
Vậy S; K; L là điểm chung của hai mặt phẳng [SAB] và [SDE] nên chúng thẳng hàng.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết về đường thẳng và mặt phẳng
- Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
- Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
- Cách tìm thiết diện của hình chóp
- Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy
- Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay
- Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.