Trong chương trình Toán THPT lớp 12, khối tròn xoay là một khái niệm khá dễ tiếp cận, các dạng toán của nó cũng không quá khó. Vì vậy, hôm nay Chúng Tôi xin phép chia sẻ đến các bạn một số tổng hợp hướng dẫn giải toán hình 12 chuyên đề khối tròn xoay, mà chủ yếu tập trung vào phần hình nón.
Bài viết vừa tổng hợp kiến thức căn bản, đồng thời đưa ra công thức cũng như các ví dụ minh họa. Các dạng toán phần này khá quen thuộc, các bạn cần nắm thật vững để có thể lấy trọn điểm trong các đề thi. Kiến hy vọng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích dành cho các bạn. Cùng nhau khám phá bài viết nhé.
I. Ôn tập lý thuyết giải toán hình 12: HÌNH NÓN.
1. Mặt nón tròn xoay:
Cho mặt phẳng [A], cho hai đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và góc giữa hai đường thẳng này là β [00 β900 ]. Khi xoay mặt phẳng [A] xung quanh trục Δ, ta thu được mặt nón tròn xoay đỉnh O, ta cũng có thể gọi tắt là mặt nón đỉnh O.
Trong mặt nón tròn xoay trên, Δ là trục , d là đường sinh và 2β sẽ là góc ở đỉnh.
2. Hình nón tròn xoay:
Cho ΔIOM vuông tại I quanh quanh cạnh góc vuông IO, khi đó đường gấp khúc OMI sẽ tạo thành 1 hình tròn xoay, gọi là hình nón tròn xoay.
Đáy của hình nón tròn xoay là hình tròn tâm I, bán kính IM.
3. Công thức về diện tích và thể tích
Xét một hình nón tròn xoay có chiều cao h, bán kính đáy r, đường sinh là l thì:
Diện tích xung quanh: Sxq=πrl
Diện tích đáy: Sd=πr2
Diện tích toàn phần: S= Sxq+Sd
Thể tích: V= Sdh/3
Nhận xét:
Khi cắt mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng [B] đi qua đỉnh:
+ Thiết diện là tam giác cân nếu [B] cắt mặt nón theo 2 đường sinh.
+ Mặt phẳng [B] tiếp xúc với mặt nón nếu [B] tiếp xúc với mặt nón theo đúng 1 đường sinh.
Khi cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng [B] không đi qua đỉnh:
+ [B] vuông góc với trục hình nón, hoặc song song với mặt đáy, thì giao tuyến là 1 đường tròn.
+ [B] song song với 2 đường sinh thì giao tuyến sẽ là 2 nhánh của 1 hypebol.
+ [B] chỉ song song với 1 đường sinh thì giao tuyến tương ứng là 1 hình parabol.
Đây là những lý thuyết căn bản nhất mà các bạn cần nắm khi giải bài tập toán hình lớp 12, chủ đề hình nón. Để hiểu rõ hơn các lý thuyết trên, mời các bạn tham khảo tiếp những dạng toán được trình bày bên dưới.
II. Ví dụ giải bài tập toán hình 12 hình nón.
Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, các thông số chiều cao, bán kính đáy, đường sinh.
VD1: Cho hình nón bán kính đáy là a. Đường cao là 2a. Tính diện tích xung quanh hình nón?
Hướng dẫn giải:
Ta áp dụng định lý Pytago để tính độ dài đường sinh l:
VD2: Cho hình nón đỉnh là S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng [SAB] là a3/3 và góc [AS,AO]=30°, góc [AS,AB]=60°. Hãy tính độ dài đường sinh theo giá trị a.
Hướng dẫn giải:
Gọi K là trung điểm của AB, ta có OK vuông góc với AB vì tam giác OAB cân tại O.
Lại có: SOAB nên AB[SOK], suy ra [SOK][SAB].
Dựng OHSK, với H thuộc SK, khi đó OH[SAB] OH=d[O,[SAB]].
Xét tam giác SAO, có sin[SAO]=SO/SA SO=SA/2
Xét tam giác SAB có sin[SAB]=SK/SA SK=SA3/2
Lại xét tam giác SOK vuông tại O, có OK là đường cao ứng với cạnh huyền:
Dạng 2: Tính toán thể tích.
VD1: Cho tam giác ABC vuông tại A. AB=c, AC=b. Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB, ta thu được một hình nón có thể tích bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Vì quay quanh cạnh AB, tam giác ABC lại vuông tại A, suy ra AB là đường cao, AC là bán kính đáy.
Áp dụng công thức tính thể tích ta được:
V=AB.πAC²/3=πb²c/3
VD2: Cho hình nón có bán kính đáy là 2cm, góc ở đỉnh là 60°. Tính thể tích của khối nón đã cho.
Hướng dẫn giải
Do góc ở đỉnh là 60°, tức là [AB,AC]=60° , suy ra [AH,AC]=30°
Bán kính đáy là HC=2cm.
Xét tam giác vuông AHC tại H, ta có AH=HC/tan30°=23 cm
Suy ra thể tích khối nón cần tìm là: V=πR²AH/3=8π3/3 cm3
Dạng 3: Các vấn đề nội tiếp, ngoại tiếp.
VD1: Trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a2. Tính thể tích V của khối nón đỉnh là S có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD.
Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra SO[ABCD]. Lại có OC=AC/2=a/
Suy ra: SO2=SA2-OC2=a2, vậy SO=a.
Bán kính r=AB/2=a/2
Suy ra thể tích khối nón đã cho là: V=πr2h/3=πa3/6
VD2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là 3a. Hình nón [N] có đỉnh là A, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính diện tích xung quanh Sxq của [N].
Hướng dẫn giải:
III. Trắc nghiệm tự luyện giải toán hình 12 nâng cao.
Sau đây là một số bài tập trắc nghiệm tự luyện để giúp các bạn củng cố lại kiến thức của bản thân:
Đáp án:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
D |
C |
D |
C |
D |
B |
C |
Trên đây là phần tổng hợp riêng về hình nón trong chuyên đề khối tròn xoay. Hy vọng qua phần hướng dẫn giải toán hình 12 nêu trên, các bạn sẽ ôn tập lại được kiến thức của mình, đồng thời rèn luyện tư duy giải các dạng toán này. Các bạn cũng có thể tham khảo thêm nhiều bài viết khác để học hỏi, ôn tập chuẩn bị cho kì thi THPT sắp tới. Chúc các bạn may mắn.