1. Đinh nghĩa:
Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
2. Tính chất:
- Nếu mặt phẳng \[[P]\] chứa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng \[[Q]\] thì \[[P] // [Q]\] 9h.2.50] [ Đây là tính chất quan trọng dùng để chứng minh hai mặt phẳng song song].
- Qua một điểm ở ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
- Nếu đường thẳng \[a\] song song với mặt phẳng \[[Q]\] thì qua \[a\] có một và chỉ một mặt phẳng \[[P]\] song song với mặt phẳng \[[Q]\].
- Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau [h.2.51].
- Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
3. Định lí Ta-lét trong không gian
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Loigiaihay.com
[1]
Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
Tham gia khóa họcTỐN 11 tại MOON.VN:Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/ThayhungdzBài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SA, SD.
a] Chứng minh [OMN] // [SBC].
b] Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // [SBC].
Bài 2: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn
có: IA JB
ID = JC. CMR: IJ ln song song với 1 mặt phẳng cố định.
Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SA và CD.
a] CMR: [OMN] // [SBC].
b] Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên [ABCD] và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ // [SAB].
Bài 4: [ĐVH]. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo
AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần
lượt cắt AD, AF tại M′, N′.
a] Chứng minh: [CBE] // [ADF].
b] Chứng minh: [DEF] // [MNN′M′].
c] Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hai mặt phẳng song song [P] và [Q]. Tam giác ABC nằm trong [P] và đoạn thẳng MN
nằm trong [Q].
a] Tìm giao tuyến của [MAB] và [Q]; của [NAC] và [Q].
b] Tìm giao tuyến của [MAB] và [NAC].
LỜI GIẢI BÀI TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SA, SD.
a] Chứng minh [OMN] // [SBC].
b] Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // [SBC].
Lời giải:
Tài liệu bài giảng
[Khóa Tốn 11]
05. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG [P1]
[2]
Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
Tham gia khóa họcTỐN 11 tại MOON.VN:Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !
a] Ta có M và O lần lượt là trung điểm của SA và AC nên
MO//SC suy ra MO/ /
[
SBC]
Mặt khác N và O lần lượt là trung điểm của SD và BD nên
NO//SB suy ra NO/ /
[
SBC]
.Do vậy
[
OMN] [
/ / SBC]
b] Ta có P và O lần lượt là trung điểm của AB và AC nên
[
]
/ / / /
OP BC⇒OP SBC .
Lại có ON / /SB⇒OQ/ /
[
SBC]
Do vậy
[
OPQ] [
/ / SBC]
⇒PQ/ /[
SBC]
.Bài 2: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho ln
có: IA JB
ID = JC. CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. Lời giải:
Ta có : IJ là đoạn thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Qua I, dựng IH // CD, H∈AC.
AH IA JB
HC ID JC
⇒ = = [ Định lí Ta let]
* Dựng mặt phẳng [P] qua CD và song song với AB . Ta có mặt phẳng [P] cố định. Mặt khác : HJ // AB; AB // [P]
Nên [P] // HJ và [P] // HI [ vì HI // CD] Nên [P] // [HIJ] suy ra : IJ // [P] cố định.
Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SA và CD.
a] CMR: [OMN] // [SBC].
b] Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên [ABCD] và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ // [SAB].
[3]
Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
Tham gia khóa họcTỐN 11 tại MOON.VN:Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !
a] Ta có N và O lần lượt là trung điểm của CD và AC nên
NO//BC suy ra ON/ /
[
SBC]
Mặt khác M và O lần lượt là trung điểm của SA và BD nên
MO//SC suy ra MO/ /
[
SBC]
.Do vậy
[
OMN] [
/ / SBC]
b] Ta có P và Q lần lượt là trung điểm của BC và AD nên
PQ là đường thẳng các đều AB và CD do vậy J∈PQ
Ta có: PQ/ /
[
SAB]
;IQ/ /[
SAB] [
⇒ IPQ] [
/ / SAB]
Do vậy IJ/ /
[
SAB]
.Bài 4: [ĐVH]. Cho hai hình vng ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo
AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M N'; '.
a] Chứng minh: [CBE] // [ADF].
b] Chứng minh: [DEF] // [MNN′M′].
c] Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.
Lời giải:
a] Ta có : AD // BC; AF // BE mà AF∩AD= A và
BC∩BE=B nên [CBE] // [ADF].
b] Vì MM' // AB nên MM' // DC
''
AM AM
MC M D
⇒ = ; '
'
BN AN
NF = N F
mà AM BN
MC = NF [ vì AC = BF ]
nên ' '
' '
AM AN
M D = N F M N' '/ /DF
⇒
Mặt khác : DC // MM';M M' ∩M N' '=M'; DF∩DC=D nên [DEF] // [MNN
′
M′
].Phần thuận:
Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AB; CF. Nếu M ≡ A⇒N ≡B nên I ≡ P.
Nếu M ≡C⇒N ≡Fnên I ≡ Q . Vậy quỹ tích của I là đoạn thẳng PQ.
Phần đảo: Gọi I ∈ PQ bất kì. Ta chứng minh tồn tại 2 điểm M; N : M∈AC N; ∈BF AM: =BN
và MN nhận I làm trung điểm.
Thật vậy: Xét [CPF]. Qua I, dựng đường thẳng //, cắt PC; PF lần lượt tại M1; N1. Qua M1; N1 dựng các đường thẳng song song với AB cắt AC; BF tại M và N.
Áp dụng định lí Ta-let, ta có : 1 1
1 1
PN PM
N F = M C;
1 1
1 1
;
PM AM PN BN
M C = MC N F = NF
+] Suy ra : AM BN
MC = NF
AM BN
AM BN
AC BF
[4]
Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
Tham gia khóa họcTỐN 11 tại MOON.VN:Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia ! +] Suy ra : ∆CMM1 = ∆FNN1 [c-g-c] ⇒MM1=NN1 .
Định lí Talet.Ta có : 1
1
MMIM
IN = NN hay IM = IN [2]
Vậy điểm I thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hai mặt phẳng song song [P] và [Q]. Tam giác ABC nằm trong [P] và đoạn thẳng MN
nằm trong [Q].
a] Tìm giao tuyến của [MAB] và [Q]; của [NAC] và [Q]. b] Tìm giao tuyến của [MAB] và [NAC].
Lời giải:
a] Do [P] song song với [Q] nên AB/ /
[ ]
Q khi đó[
MAB] [ ]
∩ Q =Mx⇒Mx/ /ABVậy giao tuyến của [MAB] và [Q] là đường thẳng Mx nằm trong [Q] qua M và song song với AB
Tượng tự như trên giao tuyến của [NAC] và [Q] là đường thẳng Ny qua N và song song với AC.
b] Gọi S =BM ∩CN khi đó 2 mặt phẳng [MAB] và
[NAC] có 2 điểm chung là S và A .
Vậy SA là giao tuyến của 2 mặt phẳng [MAB] và
[NAC].