Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ của $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\dfrac{2x+m}{x+1}$ trên đoạn $\left[ -4;-2 \right]$ không lớn hơn 1?
A. 5.
B. 7.
C. 6.
D. 8.
Lời giải
Ta có: $y'=\dfrac{2-m}{{{\left[ x+1 \right]}^{2}}}.$
TH1: $m=2.$ Khi đó $y=2$ nên $m=1$ không thỏa mãn bài toán.
TH2: $m>2.$
Khi đó hàm số nghịch biến trên $\left[ -4;-2 \right].$
Suy ra: $\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left[ -4 \right]=\dfrac{-8+m}{-3}=\dfrac{8-m}{3}.$
Do đó: $\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }} y\le 1\Leftrightarrow \dfrac{8-m}{3}\le 1\Leftrightarrow m\ge 5.$
Kết hợp với $m>2$ ta có $m\ge 5.$
TH3: $m>2.$
Khi đó hàm số đồng biến trên $\left[ -4;-2 \right].$
Suy ra: $\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left[ -2 \right]=\dfrac{-4+m}{-1}=4-m.$
Do đó: $\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }} y\le 1\Leftrightarrow 4-m\le 1\Leftrightarrow m\ge 3.$
TH này không xảy ra.
Vậy $m\ge 5$ nên $m\in \left\{ 5;6;7;8;9;10 \right\}.$
Đáp án C.
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\!\![\!\!-10;10]$ của tham số $m$ để hàm số $y=-\dfrac{3}{2}{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-[3m+10]x+{{m}^{2}}+1$ nghịch biến trên khoảng $[0;+\infty ]$ ?
A. $14$.
B. $13$.
C. $12$.
D. $11$.
Lời giải
Ta có $y=-\dfrac{3}{2}{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-[3m+10]x+{{m}^{2}}+1\Rightarrow {y}'=-6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-3m-10$.
Theo yêu cầu bài toán ta phải có: ${y}'\le 0; \forall x\in \left[ 0;+\infty \right]$, dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.
${y}'\le 0, \forall x\in \left[ 0;+\infty \right]\Leftrightarrow - 6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-3m-10\le 0, \forall x\in \left[ 0;+\infty \right]$
$\Leftrightarrow 3m\ge - 6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-10, \forall x\in \left[ 0;+\infty \right] \left[ * \right]$
Xét hàm số $g\left[ x \right]=-6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-10$ xác định và liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right]$.
Ta có: ${g}'\left[ x \right]=-18{{x}^{2}}+12x$ ; ${g}'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
$\Rightarrow \underset{[0;+\infty ]}{\mathop{\text{Max}}} g[x]=g\left[ \dfrac{2}{3} \right]=-\dfrac{82}{9}$.
Từ [*] $\Rightarrow 3m\ge \underset{\left[ 0;+\infty \right]}{\mathop{\text{max}}} g\left[ x \right]$ hay $3m\ge -\dfrac{82}{9}\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{82}{27}$.
Vậy các giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\!\![\!\!-10;10]$ là $m\in \!\!\{\!\!-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\!\!\}\!\!$ $\Rightarrow $ Có 14 giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án A.
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \[\left[ -10;10 \right]\] của \[m\] để giá trị lớn nhất của hàm số \[y=\frac{2x+m}{x+1}\] trên đoạn \[\left[ -4;-2 \right]\] không lớn hơn 1?
- A. 5
- B. 7
- C. 6
- D. 8
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
Ta có: \[y'=\frac{2-m}{{{\left[ x+1 \right]}^{2}}}.\]
TH1: m=2. Khi đó \[y=2\] nên m=1 không thỏa mãn bài toán.
TH2: m>2.
Khi đó hàm số nghịch biến trên \[\left[ -4;-2 \right].\]
Suy ra: \[\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y\left[ -4 \right]=\frac{-8+m}{-3}=\frac{8-m}{3}.\]
Do đó: \[\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }}\,y\le 1\Leftrightarrow 4-m\le 1\Leftrightarrow m\ge 3.\]
Chọn A.
TXĐ: D=R
Ta có: y'=3x2-6x+3m
Để hàm số đã cho nghịch biến trên 1;2
thì y'≤0, ∀x∈1;2và bằng 0 tại hữu hạn điểm
Hàm số y=x-12 đồng biến trên 1;+∞ nên cũng đồng biến trên 1;2
Lại có m∈-10;10 và m∈Z nên m∈-10;-9;..;0
Vậy có 11 giá trị của m