Đã gửi 25-04-2017 - 18:10
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt cầu $[S_1]:x^2+y^2+z^2+4x+2y+z=0$ và $[S_2]: x^2+y^2+z^2-2x-y-z=0$ cắt nhau theo một đường tròn $[C]$ và ba điểm $A[1;0;0]$, $B[0;2;0]$ và $C[0;0;3]$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên đường tròn $[C]$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $AB,AC,BC$?
A. 1
B. 2
C. 4
D. Vô số
Dễ thấy rằng đường tròn $[C]$ phải nằm trong mặt phẳng $\alpha :6x+3y+2z=0$
Gọi $\beta$ là mặt phẳng $[ABC]$ thì $\beta :6x+3y+2z-6=0$
Nhận xét $\alpha //\beta$
Gọi 3 tiếp điểm là $T_1,T_2,T_3$ [$T_1,T_2,T_3$ không thẳng hàng, thuộc $\beta$]
Câu hỏi trở thành : Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên đường tròn $[C]$ thuộc $\alpha$ và đi qua 3 điểm $T_1,T_2,T_3$ không thẳng hàng thuộc $\beta$ [$\alpha //\beta$]
Dễ dàng có câu trả lời là : KHÔNG QUÁ $1$ mặt cầu thỏa mãn điều kiện nói trên.
Vì đây là câu hỏi trắc nghiệm nên có thể chọn đáp án A [$1$ mặt cầu] để tiết kiệm thời gian.Nhưng ta thử kiểm tra xem đáp án đó có đúng không [mặc dù việc kiểm tra này khá vất vả]
Mặt cầu $[S_1]$ có tâm $O_1\left [ -2;-1;-\frac{1}{2} \right ]$, bán kính $R_1=\frac{\sqrt{21}}{2}$
Mặt cầu $[S_2]$ có tâm $O_2\left [ 1;\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right ]$, bán kính $R_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$
Đường tròn $[C]$ có tâm $O'$, bán kính $r$ [nằm trong mặt phẳng $\alpha$]
$O_1O'=d[O_1,\alpha ]=\frac{\left | 6.[-2]+3.[-1]+2.\left [ -\frac{1}{2} \right ] \right |}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}=\frac{16}{7}$
$r=\sqrt{R_1^2-O_1O'^2}=\frac{\sqrt{5}}{14}$
$O_1O'\perp \alpha \Rightarrow$ tọa độ của $O'$ có dạng $\left [ 6t-2;3t-1;2t-\frac{1}{2} \right ]$
$O'\in \alpha \Rightarrow O'\left [ -\frac{2}{49};-\frac{1}{49};\frac{15}{98} \right ]$
Gọi $AM,BN$ là 2 đường phân giác của $\Delta ABC$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của nó [$M\in BC$ ; $N\in AC$]
$y_M=y_C+[y_B-y_C].\frac{AC}{AB+AC}=\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{10}}=4-2\sqrt{2}$
$z_M=z_B+[z_C-z_B].\frac{AB}{AB+AC}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{10}}=3\sqrt{2}-3$
$\Rightarrow y_I=[4-2\sqrt{2}]t$ ; $z_I=[3\sqrt{2}-3]t$ [$t$ là tham số]
$y_N=0$ ; $z_N=z_A+[z_C-z_A].\frac{AB}{AB+AC}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{13}}$
$\Rightarrow y_I=y_B+[y_N-y_B]m=2-2m$ ; $z_I=z_B+[z_N-z_B]m=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{13}}\ m$ [$m$ là tham số cần tìm]
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}[4-2\sqrt{2}]t=2-2m\\[3\sqrt{2}-3]t=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{13}}\ m \end{matrix}\right.\Rightarrow m=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{5}}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}}$
$\Rightarrow I\left [ \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}};\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}};\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}} \right ]$
Gọi $I'$ là hình chiếu của $I$ trên $\alpha$
Tọa độ của $I'$ có dạng $\left [ \frac{\sqrt{13}+6p}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}};\frac{2\sqrt{10}+3p}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}};\frac{3\sqrt{5}+2p}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}} \right ]$
$I'\in \alpha \Rightarrow I'\left [ \frac{13\sqrt{13}-36\sqrt{10}-36\sqrt{5}}{49[\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}]};\frac{80\sqrt{10}-18\sqrt{13}-18\sqrt{5}}{49[\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}]};\frac{135\sqrt{5}-12\sqrt{13}-12\sqrt{10}}{49[\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}]} \right ]$
Nếu $O'I'=r$ thì $I'\in [C]$, suy ra đáp án là có $1$ mặt cầu.
Còn nếu $O'I'\neq r\Rightarrow$ đáp án là không có mặt cầu nào thỏa mãn.
Với một máy tính cầm tay, dễ dàng tính được $O'I'\neq r\Rightarrow$ KHÔNG CÓ mặt cầu nào thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 5 trang 51 SGK Hình học 12: Ôn tập chương II – Mặt nón mặt trụ mặt cầu. Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:
Bài 5. Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:
[A] 0 ; [B] 1 ;
[C] 2 ; [D] vô số.
Chọn [D] vô số.
Mã câu hỏi: 114435
Loại bài: Bài tập
Chủ đề :
Môn học: Toán Học
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
Trong không gian có bao nhiêu mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước?
Trong không gian có bao nhiêu mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước?
A. Vô số.
B. 0.
C. 1.
D. 2.
VietJack
Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.