Bàn thắng:
- phát triển khả năng xem xét các cách tiếp cận khác nhau để giải quyết vấn đề và phân tích “hiệu quả” của việc áp dụng các phương pháp giải quyết này;
- phát triển khả năng của học sinh trong việc lựa chọn phương pháp giải quyết vấn đề phù hợp với sở thích toán học của họ, dựa trên kiến thức vững chắc hơn và kỹ năng tự tin;
- phát triển khả năng vạch ra một kế hoạch của các giai đoạn kế tiếp nhau để đạt được kết quả;
- phát triển khả năng biện minh cho tất cả các bước và tính toán được thực hiện;
- lặp lại và sửa chữa các chủ đề khác nhau và các vấn đề về lập thể và phép đối xứng, các cấu trúc lập thể điển hình liên quan đến việc giải quyết các vấn đề hiện tại;
- phát triển tư duy không gian.
- phân tích Các phương pháp khác nhau giải bài tập: phương pháp vectơ tọa độ, ứng dụng của định lý côsin, ứng dụng của định lý ba góc vuông;
- so sánh ưu nhược điểm của từng phương pháp;
- nhắc lại các tính chất của hình lập phương, hình lăng trụ tam giác, hình lục giác đều;
- chuẩn bị cho việc vượt qua kỳ thi;
- phát triển tính độc lập trong việc ra quyết định.
Đề cương bài học
Lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh 1 điểm O - tâm mặt A B C D.
a] góc giữa các đường A 1 D và BO;
b] khoảng cách từ điểm Bđến giữa vết cắt A 1 D.
Điểm quyết định a].
Hãy đặt khối lập phương của chúng ta vào hệ thống hình chữ nhật tọa độ như trong hình, các đỉnh A 1 [1; 0; 1], D [1; 1; 0], B 1 [0; 0; 1], O [½; ½; 0].
Vectơ hướng của đường A 1 D và B1O:
[0; 1; -1] và [½; ½; -1];
góc φ mong muốn giữa chúng được tìm theo công thức:
cos∠φ =
khi đó ∠φ = 30 °.
2 cách. Chúng ta sử dụng định lý côsin.
1] Vẽ một đường thẳng Ở 1 C song song với một đường thẳng A 1 D. Mũi tiêm CB1O sẽ được mong muốn.
2] Từ một tam giác vuông BB 1 O theo định lý Pitago:
3] Theo định luật côsin từ một tam giác CB1O tính toán góc CB1O:
cos CB 1 O =
Nhận xét. Khi giải bài theo cách 2, có thể thấy rằng, theo định lý ba góc vuông COB 1 = 90 °, do đó từ hình chữ nhật ∆ CB1O cũng dễ dàng tính được cosin của góc mong muốn.
Điểm quyết định b].
1 chiều. Hãy sử dụng công thức cho khoảng cách giữa hai điểm
Hãy để ý E- ở giữa A 1 D, sau đó là tọa độ E [1; 1/2; ½], B [0; 0; 0].
B.E. =
2 cách. Theo định lý Pitago
Từ hình chữ nhật ∆ CƯNG với trực tiếp CƯNG tìm thấy LÀ = .
Ở bên phải lăng kính tam giác ABCA 1 B 1 C 1 tất cả các cạnh đều bằng nhau một. Tìm góc giữa các đường AB và A 1 C.
1 chiều. Phương pháp vectơ tọa độ
Tọa độ các đỉnh của lăng trụ trong một hệ hình chữ nhật khi lăng trụ nằm trong hình: A [0; 0; 0], B [a;; 0], A 1 [0; 0; a], C [0; a; 0].
Vectơ hướng của đường A 1 C và AB:
[0; a; -a] và [một; ; 0} ;
cos φ =
2 cách. Chúng tôi sử dụng định luật cosin
Ta coi ∆ A 1 B 1 C, trong đó A 1 B 1 || AB. Chúng ta có
cos φ =
[Trích tuyển tập Đề thi Thống Nhất-2012. Môn Toán: tiêu biểu lựa chọn kỳ thi ed. A.L. Semenova, I.V. Yashchenko]
Trong lăng trụ lục giác đều ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, tất cả các cạnh của chúng đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm E Thẳng B 1 C 1.
1 chiều. Phương pháp vectơ tọa độ
1] Đặt lăng trụ trong một hệ trục tọa độ hình chữ nhật, đặt các trục tọa độ như hình vẽ bên. SS 1, SW và CEđều vuông góc với nhau, vì vậy các trục tọa độ có thể hướng dọc theo chúng. Chúng tôi nhận được tọa độ:
C 1 [0; 0; 1], E [; 0; 0], B 1 [0; 1; 1].
2] Tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của các đường thẳng Từ 1 đến 1 và C 1 E:
[0;1;0], [;0;-1].
3] Tìm cosin của góc giữa Từ 1 đến 1 và C 1 E sử dụng sản phẩm vô hướng vectơ và:
cos β = = 0 => β = 90 ° => C 1 E là khoảng cách mong muốn.
4]C 1 E \ u003d \ u003d 2.
Kết luận: kiến thức phương pháp tiếp cận khác nhauđể giải các bài toán lập thể cho phép bạn chọn phương pháp ưa thích cho bất kỳ học sinh nào, tức là một điều mà học sinh tự tin, giúp tránh sai lầm, dẫn đến giải thành công vấn đề và đạt điểm cao trong kỳ thi. phương pháp tọa độ có lợi thế hơn các phương pháp khác ở chỗ nó đòi hỏi ít cân nhắc về hình học và tầm nhìn hơn, và dựa trên việc sử dụng các công thức có nhiều phép loại suy đại số và planimetric quen thuộc hơn với học sinh.
Hình thức của bài là sự kết hợp giữa lời giải thích của giáo viên với phần làm việc chung trước mắt của học sinh.
Các hình đa diện đang được xem xét được hiển thị trên màn hình bằng máy chiếu video, giúp bạn có thể so sánh nhiều cách khác nhau các giải pháp.
Bài tập về nhà: giải bài toán 3 theo một cách khác, ví dụ, sử dụng định lý ba góc vuông .
Văn chương
1. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Độc lập và giấy kiểm tra trong hình học lớp 11. - M .: ILEKSA, - 2010. - 208 tr.
2. Hình học, 10-11: sách giáo khoa cho cơ sở giáo dục: cấp độ cơ bản và hồ sơ / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev và những người khác - M .: Giáo dục, 2007. - 256 tr.
3. SỬ DỤNG-2012. Toán học: lựa chọn kiểm tra điển hình: 10 lựa chọn / biên tập. A.L. Semenova, I.V. Yashchenko. - M.: giáo dục quốc dân, 2011. - 112 tr. - [SỬ DỤNG-2012. FIPI - trường học].
Bài nói về tìm góc giữa các mặt phẳng. Sau khi mang lại định nghĩa, chúng tôi sẽ thiết lập một hình ảnh minh họa đồ họa, xem xét dài dòng tìm theo phương pháp tọa độ. Chúng tôi nhận được một công thức cho các mặt phẳng giao nhau, bao gồm các tọa độ vectơ bình thường.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Tài liệu sẽ sử dụng các dữ liệu và khái niệm đã được nghiên cứu trước đó trong các bài viết về mặt phẳng và đường thẳng trong không gian. Để bắt đầu, cần chuyển sang lập luận cho phép người ta có một cách tiếp cận nhất định để xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.
Hai mặt phẳng cắt nhau γ 1 và γ 2 đã cho. Giao điểm của chúng sẽ lấy ký hiệu c. Cấu tạo của mặt phẳng χ được nối với giao tuyến của các mặt phẳng này. Mặt phẳng χ đi qua điểm M là đường thẳng c. Các mặt phẳng γ 1 và γ 2 sẽ được cắt nhau bằng cách sử dụng mặt phẳng χ. Chúng tôi chấp nhận các ký hiệu của đường thẳng giao nhau γ 1 và χ đối với đường thẳng a, và giao điểm γ 2 và χ đối với đường thẳng b. Ta nhận được rằng giao điểm của hai đường thẳng a và b là điểm M.
Vị trí của điểm M không ảnh hưởng đến góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, và điểm M nằm trên đường thẳng c mà mặt phẳng χ đi qua.
Cần dựng mặt phẳng χ 1 vuông góc với đường thẳng c và khác mặt phẳng χ. Giao tuyến của hai mặt phẳng γ 1 và γ 2 với sự trợ giúp của χ 1 sẽ là ký hiệu của các đường a 1 và b 1.
Có thể thấy rằng khi dựng χ và χ 1, các đường thẳng a, b vuông góc với đường thẳng c thì a 1, b 1 vuông góc với đường thẳng c. Tìm các đường thẳng a và a 1 trong mặt phẳng γ 1 vuông góc với đường thẳng c thì có thể coi chúng là song song. Theo cách tương tự, vị trí của b và b 1 trong mặt phẳng γ 2 với tính vuông góc của đường thẳng c cho biết độ song song của chúng. Điều này có nghĩa là cần phải thực hiện phép chuyển song song mặt phẳng χ 1 thành χ, tại đây ta được hai đường thẳng trùng nhau a và a 1, b và b 1. Ta nhận được rằng góc giữa hai đường thẳng giao nhau a và b 1 bằng góc các đường thẳng cắt nhau a và b.
Hãy xem xét hình bên dưới.
Nhận định này được chứng minh rằng giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b có một góc không phụ thuộc vào vị trí của điểm M, tức là giao điểm. Các đường thẳng này nằm trong các mặt phẳng γ 1 và γ 2. Trong thực tế, góc kết quả có thể được coi là góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.
Hãy chuyển sang việc xác định góc giữa hai mặt phẳng giao nhau hiện có γ 1 và γ 2.
Định nghĩa 1
Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau γ 1 và γ 2 gọi góc tạo bởi giao điểm của hai đường thẳng a và b, trong đó hai mặt phẳng γ 1 và γ 2 cắt với mặt phẳng χ vuông góc với đường thẳng c.
Hãy xem xét hình bên dưới.
Định nghĩa có thể được gửi dưới dạng khác. Tại giao tuyến của hai mặt phẳng γ 1 và γ 2, trong đó c là đường thẳng cắt nhau, lấy điểm M, qua đó kẻ các đường thẳng a, b vuông góc với đường thẳng c và nằm trong hai mặt phẳng γ 1 và γ 2 , khi đó góc giữa hai đường thẳng a và b sẽ là góc giữa hai mặt phẳng. Trong thực tế, điều này được áp dụng để xây dựng một góc giữa các mặt phẳng.
Tại giao điểm, một góc được tạo thành có giá trị nhỏ hơn 90 độ, nghĩa là thước đo độ góc có giá trị trên một khoảng có dạng này [0, 90]. Đồng thời, các mặt phẳng này được gọi là vuông góc nếu một góc vuông tạo thành tại giao tuyến. Góc giữa các mặt phẳng song song được coi là bằng không.
Cách thông thường để tìm góc giữa các mặt phẳng giao nhau là thực hiện thêm các phép dựng hình khác. Điều này giúp xác định nó một cách chính xác và điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các dấu hiệu bằng hoặc đồng dạng của tam giác, sin, cosin của góc.
Xem xét giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng một ví dụ từ SỬ DỤNG các tác vụ khối C 2.
ví dụ 1
Yêu cầu hình khối A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, trong đó cạnh A B \ u003d 2, A D \ u003d 3, A A 1 \ u003d 7, điểm E phân cách cạnh A A 1 theo tỷ lệ 4: 3. Tìm góc giữa hai mặt phẳng A B C và B E D 1.
Quyết định
Để rõ ràng, bạn cần phải thực hiện một bản vẽ. Chúng tôi nhận được điều đó
Cần phải có hình ảnh để làm việc với góc giữa các mặt phẳng thuận tiện hơn.
Chúng ta đưa ra định nghĩa về một đường thẳng mà các mặt phẳng A B C và B E D 1 cắt nhau. Điểm B là điểm chung. Gotta tìm một cái khác điểm chung Giao lộ. Xét các đường thẳng D A và D 1 E nằm trong cùng một mặt phẳng A D D 1. Vị trí của chúng không chỉ ra sự song song, có nghĩa là chúng có một giao điểm chung.
Tuy nhiên, đường thẳng D A nằm trong mặt phẳng A B C và D 1 E nằm trong B E D 1. Do đó, chúng tôi nhận được rằng các dòng D A và D 1 E có giao điểm chung, giao điểm chung của hai mặt phẳng A B C và B E D 1. Cho biết giao điểm của các đường D A và D 1 E chữ F. Từ đây ta được B F là đường thẳng mà các mặt phẳng A B C và B E D 1 cắt nhau.
Hãy xem xét hình bên dưới.
Để có đáp số, cần dựng các đường thẳng nằm trong mặt phẳng A B C và B E D 1 với điểm đi qua một điểm nằm trên đường thẳng B F và vuông góc với nó. Khi đó góc kết quả giữa các đường này được coi là góc mong muốn giữa hai mặt phẳng A B C và B E D 1.
Từ đó có thể thấy rằng điểm A là hình chiếu của điểm E lên mặt phẳng A B C. Cần vẽ đường thẳng cắt đường thẳng B F một góc vuông tại điểm M. Có thể thấy rằng đường A M là hình chiếu của đường thẳng E M lên mặt phẳng A B C, dựa vào định lí về các đường vuông góc A M ⊥ B F. Hãy xem xét hình bên dưới.
∠ A M E là góc mong muốn tạo bởi các mặt phẳng A B C và B E D 1. Từ kết quả của tam giác A E M, chúng ta có thể tìm được sin, côsin hoặc tiếp tuyến của góc, sau đó chính góc đó, chỉ với hai cạnh đã biết của nó. Theo điều kiện, chúng ta có độ dài của A E được tìm thấy theo cách này: đoạn thẳng A A 1 chia cho điểm E theo tỷ lệ 4: 3, nghĩa là tổng độ dài của đoạn thẳng là 7 phần, thì A E \ u003d 4 phần. Chúng tôi tìm thấy A.M.
Cần phải xem xét tam giác vuông A B F. Ta có góc vuông A với đường cao A M. Từ điều kiện A B \ u003d 2, ta có thể tìm được độ dài A F bằng sự đồng dạng của các tam giác D D 1 F và A E F. Ta nhận được rằng A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4
Cần tìm độ dài cạnh B F từ tam giác A B F bằng cách sử dụng định lý Pitago. Ta được B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5. Tính độ dài cạnh A M qua diện tích tam giác A B F. Ta có diện tích có thể bằng cả S A B C = 1 2 · A B · A F và S A B C = 1 2 · B F · A M.
Ta nhận được rằng A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5
Sau đó, chúng ta có thể tìm giá trị của tiếp tuyến của góc của tam giác A E M. Ta nhận được:
t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5
Góc mong muốn thu được bởi giao tuyến của hai mặt phẳng A B C và B E D 1 bằng a r c t g 5, sau đó, khi đơn giản hóa, ta nhận được a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.
Trả lời: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.
Một số trường hợp tìm góc giữa các đường thẳng cắt nhau được đưa ra bằng cách sử dụng mặt phẳng tọa độ Về x y z và phương pháp tọa độ. Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn.
Nếu một bài toán được đưa ra trong đó cần tìm góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau γ 1 và γ 2, chúng ta ký hiệu góc mong muốn bằng α.
sau đó hệ thống nhất định tọa độ cho thấy ta có tọa độ của vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau là γ 1 và γ 2. Khi đó chúng ta ký hiệu rằng n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng γ 1 và n 2 → = [n 2 x, n 2 y, n 2 z] - với mặt phẳng γ 2. Hãy xem xét một kết quả chi tiết của góc nằm giữa các mặt phẳng này theo tọa độ của các vectơ.
Cần chỉ rõ đường thẳng mà các mặt phẳng γ 1 và γ 2 cắt nhau bằng chữ c. Trên đường thẳng với ta có điểm M, qua đó ta vẽ mặt phẳng χ, vuông góc với c. Mặt phẳng χ dọc theo các đường thẳng a và b cắt các mặt phẳng γ 1 và γ 2 tại điểm M. Từ đó định nghĩa rằng góc giữa hai mặt phẳng giao nhau γ 1 và γ 2 lần lượt bằng góc của hai đường thẳng chéo nhau a và b thuộc hai mặt phẳng này.
Trong mặt phẳng χ, chúng ta dành các vectơ pháp tuyến từ điểm M và ký hiệu chúng là n 1 → và n 2 →. Vectơ n 1 → nằm trên đường vuông góc với đường thẳng a và vectơ n 2 → nằm trên đường vuông góc với đường thẳng b. Do đó chúng tôi nhận được điều đó máy bay đã choχ có vectơ pháp tuyến của đường thẳng a bằng n 1 → và đối với đường thẳng b bằng n 2 →. Hãy xem xét hình bên dưới.
Từ đây, chúng ta có được một công thức mà chúng ta có thể tính sin của góc của các đường giao nhau bằng cách sử dụng tọa độ của các vectơ. Ta nhận thấy rằng côsin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng côsin giữa hai mặt phẳng cắt nhau γ 1 và γ 2 được suy ra từ công thức cosα = cos n 1 →, n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, trong đó ta có n 1 → = [n 1 x, n 1 y, n 1 z] và n 2 → = [n 2 x, n 2 y, n 2 z] là tọa độ của vectơ của các mặt phẳng được biểu diễn.
Góc giữa các đường giao nhau được tính bằng công thức
α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2
Ví dụ 2
Theo điều kiện, một cặp song song А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 được cho , trong đó A B \ u003d 2, A D \ u003d 3, A A 1 \ u003d 7 và điểm E ngăn cách cạnh A A 1 4: 3. Tìm góc giữa hai mặt phẳng A B C và B E D 1.
Quyết định
Có thể thấy điều kiện là các mặt của nó vuông góc với nhau. Điều này có nghĩa là cần giới thiệu một hệ trục tọa độ O x y z có đỉnh tại điểm C và các trục tọa độ O x, O y, O z. Cần phải đặt hướng về các phía thích hợp. Hãy xem xét hình bên dưới.
Máy bay giao nhau A B C và B E D 1 tạo thành một góc, có thể tìm được bằng công thức 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, trong đó n 1 → = [n 1 x, n 1 y, n 1 z] và n 2 → = [n 2 x, n 2 y, n 2 z] là các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng này. Nó là cần thiết để xác định các tọa độ. Từ hình vẽ chúng ta thấy rằng trục tọa độ Khoảng x y trùng trong mặt phẳng A B C tức là tọa độ của vectơ pháp tuyến k → bằng giá trị n 1 → = k → = [0, 0, 1].
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng B E D 1 là tích vectơ của B E → và B D 1 →, trong đó tọa độ của chúng được tìm bởi tọa độ điểm cực đoan B, E, D 1, được xác định dựa trên điều kiện của bài toán.
Ta nhận được rằng B [0, 3, 0], D 1 [2, 0, 7]. Vì A E E A 1 = 4 3 nên từ tọa độ các điểm A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 ta tìm được E 2, 3, 4. Ta nhận được rằng B E → = [2, 0, 4], B D 1 → = 2, - 3, 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = [12, - 6, - 6]
Cần thay tọa độ tìm được vào công thức tính góc qua cung cosin. Chúng tôi nhận được
α = a r c cos 0 12 + 0 [- 6] + 1 [- 6] 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + [- 6] 2 + [- 6] 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6
Phương pháp tọa độ cho một kết quả tương tự.
Trả lời: a r c cos 6 6.
Bài toán cuối cùng được xem xét để tìm góc giữa hai mặt phẳng giao nhau với phương trình đã biết có sẵn của các mặt phẳng.
Ví dụ 3
Tính sin, côsin của góc và giá trị của góc tạo bởi hai đường thẳng chéo nhau xác định trong hệ tọa độ O x y z và cho bởi phương trình 2 x - 4 y + z + 1 = 0 và 3 y - z - 1 = 0.
Quyết định
Khi nghiên cứu một chủ đề phương trình tổng quát dòng có dạng A x + B y + C z + D = 0 cho thấy A, B, C là các hệ số bằng tọa độ của vectơ pháp tuyến. Do đó, n 1 → = 2, - 4, 1 và n 2 → = 0, 3, - 1 là các vectơ pháp tuyến của các đường thẳng đã cho.
Cần thay toạ độ của vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng vào công thức tính góc của các mặt phẳng cắt nhau mong muốn. Sau đó, chúng tôi nhận được điều đó
α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 [- 1] 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210
Do đó ta có cosin của góc có dạng cos α = 13 210. Khi đó góc của các đường thẳng cắt nhau là góc không tù. Thay thế trong nhận dạng lượng giác, chúng ta nhận được rằng giá trị của sin của góc bằng biểu thức. Chúng tôi tính toán và nhận được điều đó
sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210
Trả lời: sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210.
Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter
Trong nhiệm vụ C2 về toán học, thông thường bạn cần giải quyết một vấn đề mà bạn cần xác định:
- Khoảng cách giữa hai điểm
- Khoảng cách từ điểm đến dòng
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
- Khoảng cách giữa các đường giao nhau
- Góc giữa hai đường
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Góc giữa các mặt phẳng
Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang các thuật toán.
1. Để xác định khoảng cách giữa hai điểm A và B, ta sử dụng một trong hai phương pháp:
- Ta gộp AB vào một tam giác nào đó và tìm độ dài của nó là cạnh của tam giác
- Theo công thức
Hơn nữa, phương pháp tọa độ, theo tôi là đơn giản nhất, chỉ cần xác định chính xác tọa độ của từng điểm là được.
2. Để xác định khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng, hãy tính
- là độ dài của một đoạn vuông góc, nếu có thể đưa đoạn này vào một hình tam giác nào đó làm một trong các chiều cao
3. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng là
- độ dài của vuông góc thả từ điểm này xuống mặt phẳng. Để làm điều này, hãy cẩn thận xây dựng một phần vuông góc với mặt phẳng và đi qua điểm đã cho. Khoảng cách mong muốn sẽ bằng chiều cao của hình đa diện mới thu được.
- Sử dụng phương pháp tọa độ
Phương trình được tìm thấy bằng cách thay vào tọa độ của ba điểm thuộc mặt phẳng này
- Sử dụng phương pháp vectơ
- Theo phương pháp thể tích, nếu có hình chóp ABCM thì khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng chứa tam giác ABC được tính bằng công thức
- Bằng phương pháp tham khảo các bài toán, có thể xem
4.1. Phương pháp tính toán từng bước:
- dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và tìm độ dài của nó;
- dựng một mặt phẳng chứa một trong các đường thẳng và song song với đường thẳng kia. Khi đó khoảng cách mong muốn sẽ bằng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng dựng trong mặt phẳng;
- xếp các đường thẳng đã cho trong các mặt phẳng song song đi qua các đường xiên đã cho, tìm khoảng cách giữa các mặt phẳng này
- dựng một mặt phẳng vuông góc với một trong những đường thẳng này và dựng một hình chiếu trực giao của đường thẳng thứ hai
4.2. Phương pháp tọa độ vectơ
- Tìm tọa độ hai đầu đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
- Tìm khoảng cách giữa hai điểm
Ta rút gọn bài toán thành xác định độ dài của một vectơ thuộc một đường vuông góc là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳngđược xác định bằng cách đưa nó vào tam giác vuông dưới dạng một trong các góc nhọn hoặc bằng phương pháp điều phối véc tơ
Hoặc
Góc giữa hai mặt phẳng được xác định như thế nào sẽ được xét ở bài sau. Những thuật toán để giải C2 này góp phần vào sự hiểu biết toàn diện về phương pháp giải bài toán. "Để giúp tạp chí sinh viên cho sinh viên và phụ huynh của họ." Đọc thêm: //education-club.ru/#ixzz2IXf5GOJU
7. Góc giữa các mặt phẳng[phương pháp hình học]
- 1. Tìm đường thẳng mà các mặt phẳng cắt nhau.
- 2. Chọn một điểm trên đường thẳng này và vẽ hai đường vuông góc với nó, nằm trong các mặt phẳng này. Hoặc vẽ mặt phẳng vuông góc với đường giao tuyến của các mặt phẳng.
- 3. Tìm hàm lượng giác của góc tạo bởi đường vuông góc với đường giao tuyến của các mặt phẳng. Theo quy tắc, chúng tôi thực hiện điều này thông qua một hình tam giác, bao gồm góc mong muốn.
- 4. Trong câu trả lời, hãy ghi giá trị của góc hoặc hàm lượng giác góc.
Góc giữa các mặt phẳng. phương pháp tọa độ. Nhiệm vụ C2
Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành hai cặp góc nhị diện bằng nhau:
Giá trị của góc nhị diện được đo bằng giá trị của góc pháp tuyến tương ứng.
Để dựng được đường thẳng của góc nhị diện, bạn cần tính theo đường giao tuyến của các mặt phẳng. điểm tùy ý, và trong mỗi mặt phẳng, vẽ một tia tới điểm này vuông góc với đường giao tuyến của các mặt phẳng. Góc tạo bởi các tia này là góc pháp tuyến của góc nhị diện:
Cho các mặt phẳng của chúng tôi và được cho bởi các phương trình:
Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng được tìm theo công thức sau:
Trong câu trả lời, chúng tôi viết, vì giá trị của góc giữa hai mặt phẳng là giá trị của góc nhị diện nhỏ hơn.
Trong lăng trụ tứ giác đều
Hãy vẽ một bức tranh. Vì chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ nên chúng tôi sẽ giới thiệu ngay về hệ tọa độ:
Bây giờ chúng ta phải đối mặt với nhiệm vụ viết phương trình của mặt phẳng và mặt phẳng.
Tôi đã mô tả một thuật toán chi tiết để tìm phương trình của một mặt phẳng bằng cách sử dụng ba điểm.
Sau khi tìm được các hệ số trong phương trình mặt phẳng và mặt phẳng, ta thay chúng vào công thức tìm côsin của góc giữa hai mặt phẳng và tìm góc.
Tôi khuyên bạn nên xem một giải pháp video chi tiết cho vấn đề này:
Một nhiệm vụ khác của Inna Vladimirovna Feldman
Video bài học "Phương pháp tọa độ giải bài c-2"
Bài 2 //youtu.be/dKQWG8OZRGo bài 3 //youtu.be/ddgr0PnbFno bài 4 //youtu.be/n6yx2pQC0Lo bài 5 //youtu.be/JkWbxAw1YLI bài 6 //youtu.be/gybIqCMKBiI bài 7 //youtu.be/_LpARpYxp5g
bài 8 //youtu.be/XJhyZQoofD8
Góc giữa hai mặt phẳng khác nhau có thể được xác định cho bất kỳ vị trí tương đối máy bay.
Trường hợp nhỏ là nếu các mặt phẳng song song. Khi đó góc giữa chúng được coi là bằng không.
Trường hợp không tầm thường nếu các mặt phẳng cắt nhau. Trường hợp này là chủ đề của cuộc thảo luận thêm. Đầu tiên chúng ta cần khái niệm về góc nhị diện.
9.1 Góc nhị diện
Góc nhị diện là hai nửa mặt phẳng có chung một đường thẳng [gọi là cạnh của góc nhị diện]. Trên hình. 50 cho thấy một góc nhị diện tạo bởi các nửa mặt phẳng và; cạnh của góc nhị diện này là đường thẳng chung của nửa mặt phẳng đã cho.
Cơm. 50. Góc nhị diện
Góc nhị diện có thể được đo bằng độ hoặc radian trong một từ, nhập giá trị góc của góc nhị diện. Điều này được thực hiện theo cách sau.
Trên cạnh của góc nhị diện tạo bởi các nửa mặt phẳng và, ta lấy một điểm M. tùy ý hãy vẽ các tia MA và MB lần lượt nằm trong các nửa mặt phẳng này và vuông góc với cạnh [Hình 51].
Cơm. 51. Góc thẳng góc nhị diện
Góc tạo thành AMB là góc pháp tuyến của góc nhị diện. Góc "= \ AMB chính xác là giá trị góc của góc nhị diện.
Sự định nghĩa. Độ lớn góc của một góc nhị diện là độ lớn của góc pháp tuyến của một góc nhị diện cho trước.
Tất cả các góc pháp tuyến của một góc nhị diện đều bằng nhau [suy cho cùng thì chúng bằng nhau bởi một phép dời hình song song]. Cho nên định nghĩa nàyđúng: giá trị "không phụ thuộc vào sự lựa chọn cụ thểđiểm M trên cạnh của góc nhị diện.
9.2 Xác định góc giữa các mặt phẳng
Khi hai mặt phẳng cắt nhau ta được bốn góc tứ diện. Nếu tất cả đều có cùng một giá trị[bằng 90], khi đó các mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau; Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là 90.
Nếu không phải tất cả các góc nhị diện đều giống nhau [nghĩa là có hai góc nhọn và hai góc tù], thì góc giữa các mặt phẳng là giá trị của góc nhị diện nhọn [Hình 52].
Cơm. 52. Góc giữa các mặt phẳng
9.3 Ví dụ về giải quyết vấn đề
Chúng ta hãy xem xét ba nhiệm vụ. Đầu tiên là đơn giản, thứ hai và thứ ba xấp xỉ ở trình độ C2 trong kỳ thi môn toán.
Nhiệm vụ 1. Tìm góc giữa hai mặt của tứ diện đều.
Quyết định. Cho tứ diện đều ABCD. Hãy vẽ trung tuyến AM và DM của các mặt tương ứng, cũng như chiều cao của tứ diện DH [Hình 53].
Cơm. 53. Đến vấn đề 1
Là trung tuyến, AM và DM cũng là các đường cao của các cạnh bằng nhau tam giác ABC và DBC. Do đó, góc "= \ AMD là góc pháp tuyến của góc nhị diện tạo bởi các mặt ABC và DBC. Từ tam giác DHM ta tìm được:
Trả lời: arccos 1 3.
Bài 2. Trong hình chóp tứ giác đều SABCD [có đỉnh S], cạnh bên bằng cạnh bên. Điểm K là trung điểm của cạnh SA. Tìm góc giữa các mặt phẳng
Quyết định. Đường thẳng BC song song với AD và do đó song song với mặt phẳng ADS. Do đó, mặt phẳng KBC cắt mặt phẳng ADS dọc theo đường thẳng KL song song với BC [Hình 54].
Cơm. 54. Đến vấn đề 2
Trong trường hợp này, KL cũng sẽ song song với đường thẳng AD; do đó KL đường giữa tam giác ADS, và điểm L là trung điểm của DS.
Vẽ đường cao của hình chóp SO. Gọi N là trung điểm của DO. Khi đó LN là đường trung trực của tam giác DOS, và do đó LN k SO. Vậy LN vuông góc với mặt phẳng ABC.
Từ điểm N ta thả NM vuông góc với đường thẳng BC. Đường thẳng NM sẽ là hình chiếu của đường xiên LM lên mặt phẳng ABC. Sau đó, từ định lý ba góc vuông góc mà LM cũng vuông góc với BC.
Do đó, góc "= \ LMN là một góc pháp tuyến của góc nhị diện tạo bởi các nửa mặt phẳng KBC và ABC. Ta sẽ tìm góc này từ tam giác vuông LMN.
Cho cạnh của hình chóp là a. Đầu tiên, hãy tìm chiều cao của kim tự tháp:
Quyết định. Gọi L là giao điểm của các đường A1 K và AB. Khi đó mặt phẳng A1 KC cắt mặt phẳng ABC dọc theo đường thẳng CL [Hình 5.5].
Một
Cơm. 55. Bài toán 3
Các tam giác A1 B1 K và KBL bằng nhau về chân và góc nhọn. Do đó, các chân còn lại cũng bằng nhau: A1 B1 = BL.
Xét tam giác ACL. Trong đó BA = BC = BL. Góc CBL là 120; vì vậy \ BCL = 30. Ngoài ra, \ BCA = 60. Do đó \ ACL = \ BCA + \ BCL = 90.
Vậy LC? AC. Nhưng đường thẳng AC là hình chiếu của đường thẳng A1 C lên mặt phẳng ABC. Theo định lý ba góc vuông góc, ta kết luận LC? A1C.
Như vậy, góc A1 CA là góc pháp tuyến của góc nhị diện tạo bởi các nửa mặt phẳng A1 KC và ABC. Đây là góc bắt buộc. Từ tam giác vuông cân A1 AC ta thấy nó bằng 45.
\ [\ blacktriangleright \] Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng và đường thẳng \ [a \], là biên chung của chúng.
\ [\ blacktriangleright \] Để tìm góc giữa hai mặt phẳng \ [\ xi \] và \ [\ pi \], bạn cần tìm góc tuyến tính vị cay hoặc thẳng] của góc nhị diện tạo bởi các mặt phẳng \ [\ xi \] và \ [\ pi \]:
Bước 1: let \ [\ xi \ cap \ pi = a \] [đường giao tuyến của các mặt phẳng]. Trong mặt phẳng \ [\ xi \], chúng ta đánh dấu một điểm tùy ý \ [F \] và vẽ \ [FA \ perp a \];
Bước 2: vẽ \ [FG \ perp \ pi \];
Bước 3: theo TTP [\ [FG \] - vuông góc, \ [FA \] - xiên, \ [AG \] - chiếu] ta có: \ [AG \ perp a \];
Bước 4: Góc \ [\ angle FAG \] được gọi là góc pháp tuyến của góc nhị diện tạo bởi các mặt phẳng \ [\ xi \] và \ [\ pi \].
Lưu ý rằng tam giác \ [AG \] là tam giác vuông.
Cũng lưu ý rằng mặt phẳng \ [AFG \] được xây dựng theo cách này vuông góc với cả hai mặt phẳng \ [\ xi \] và \ [\ pi \]. Do đó, có thể nói theo cách khác: góc giữa các mặt phẳng\ [\ xi \] và \ [\ pi \] là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau \ [c \ in \ xi \] và \ [b \ in \ pi \], tạo thành một mặt phẳng vuông góc với \ [\ xi \ ] và \ [\ pi \].
Nhiệm vụ 1 # 2875
Mức độ nhiệm vụ: Khó hơn đề thi
Dana kim tự tháp tứ giác, tất cả các cạnh của chúng đều bằng nhau và cơ sở là một hình vuông. Tìm \ [6 \ cos \ alpha \], trong đó \ [\ alpha \] là góc giữa các mặt bên liền kề của nó.
Cho \ [SABCD \] là một hình chóp đã cho [\ [S \] là một đỉnh] có các cạnh bằng \ [a \]. Do đó, tất cả mặt bên là các tam giác đều. Tìm góc giữa các mặt \ [SAD \] và \ [SCD \].
Hãy vẽ \ [CH \ perp SD \]. Như \ [\ tam giác SAD = \ tam giác SCD \], thì \ [AH \] cũng sẽ là chiều cao của \ [\ tam giác SAD \]. Do đó, theo định nghĩa, \ [\ angle AHC = \ alpha \] là góc nhị diện tuyến tính giữa các mặt \ [SAD \] và \ [SCD \].
Vì cơ sở là một hình vuông nên \ [AC = a \ sqrt2 \]. Cũng lưu ý rằng \ [CH = AH \] là chiều cao Tam giác đều với bên \ [a \], do đó \ [CH = AH = \ frac [\ sqrt3] 2a \].
Sau đó theo định lý côsin từ \ [\ tam giác AHC \]: \ [\ cos \ alpha = \ dfrac [CH ^ 2 + AH ^ 2-AC ^ 2] [2CH \ cdot AH] = - \ dfrac13 \ quad \ Rightarrow \ quad 6 \ cos \ alpha = -2. \]
Trả lời: -2
Nhiệm vụ 2 # 2876
Mức độ nhiệm vụ: Khó hơn đề thi
Các mặt phẳng \ [\ pi_1 \] và \ [\ pi_2 \] cắt nhau theo một góc có cosin bằng \ [0,2 \]. Các mặt phẳng \ [\ pi_2 \] và \ [\ pi_3 \] cắt nhau ở một góc vuông và đường giao tuyến của các mặt phẳng \ [\ pi_1 \] và \ [\ pi_2 \] song song với đường giao tuyến của các mặt phẳng \ [\ pi_2 \] và \ [\ pi_3 \]. Tìm sin của góc giữa hai mặt phẳng \ [\ pi_1 \] và \ [\ pi_3 \].
Gọi đường giao nhau của \ [\ pi_1 \] và \ [\ pi_2 \] là đường \ [a \], đường giao nhau của \ [\ pi_2 \] và \ [\ pi_3 \] là đường \ [b \] và đường giao nhau \ [\ pi_3 \] và \ [\ pi_1 \] là đường thẳng \ [c \]. Vì \ [a \ song song b \], thì \ [c \ song song a \ song song b \] [theo định lý từ phần tham khảo lý thuyết “Hình học trong không gian” \ [\ rightarrow \] “Giới thiệu về hình học lập thể, song song ”].
Đánh dấu các điểm \ [A \ in a, B \ in b \] sao cho \ [AB \ perp a, AB \ perp b \] [điều này có thể thực hiện được vì \ [a \ song song b \]]. Lưu ý \ [C \ in c \] để \ [BC \ perp c \], do đó \ [BC \ perp b \]. Sau đó là \ [AC \ perp c \] và \ [AC \ perp a \].
Thật vậy, vì \ [AB \ perp b, BC \ perp b \] nên \ [b \] vuông góc với mặt phẳng \ [ABC \]. Vì \ [c \ song song a \ song song b \] nên các đường thẳng \ [a \] và \ [c \] cũng vuông góc với mặt phẳng \ [ABC \], và do đó, bất kỳ đường thẳng nào từ mặt phẳng này, cụ thể là dòng \ [AC \].
Do đó nó theo sau đó \ [\ angle BAC = \ angle [\ pi_1, \ pi_2] \], \ [\ angle ABC = \ angle [\ pi_2, \ pi_3] = 90 ^ \ circle \], \ [\ angle BCA = \ angle [\ pi_3, \ pi_1] \]. Nó chỉ ra rằng \ [\ tam giác ABC \] là hình chữ nhật, có nghĩa là \ [\ sin \ angle BCA = \ cos \ angle BAC = 0,2. \]
Trả lời: 0,2
Nhiệm vụ 3 # 2877
Mức độ nhiệm vụ: Khó hơn đề thi
Cho các đường \ [a, b, c \] cắt nhau tại một điểm và góc giữa hai đường thẳng bất kỳ bằng \ [60 ^ \ circle \]. Tìm \ [\ cos ^ [- 1] \ alpha \], trong đó \ [\ alpha \] là góc giữa mặt phẳng tạo bởi các đường \ [a \] và \ [c \] và mặt phẳng tạo bởi các đường \ [b \] và \ [c \]. Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
Để các đường thẳng cắt nhau tại điểm \ [O \]. Vì góc giữa hai góc bất kỳ bằng \ [60 ^ \ circle \] nên cả ba đường thẳng không thể nằm trong cùng một mặt phẳng. Hãy để chúng tôi đánh dấu một điểm \ [A \] trên đường \ [a \] và vẽ \ [AB \ perp b \] và \ [AC \ perp c \]. sau đó \ [\ tam giác AOB = \ tam giác AOC \] như hình chữ nhật ở cạnh huyền và góc nhọn. Do đó \ [OB = OC \] và \ [AB = AC \].
Hãy làm \ [AH \ perp [BOC] \]. Sau đó bằng định lý ba góc vuông góc \ [HC \ perp c \], \ [HB \ perp b \]. Vì \ [AB = AC \], nên \ [\ tam giác AHB = \ tam giác AHC \] như hình chữ nhật dọc theo cạnh huyền và chân. Do đó, \ [HB = HC \]. Do đó, \ [OH \] là tia phân giác của góc \ [BOC \] [vì điểm \ [H \] cách đều các cạnh của góc].
Lưu ý rằng theo cách này, chúng ta cũng đã xây dựng góc pháp tuyến của góc nhị diện tạo bởi mặt phẳng tạo bởi các đường \ [a \] và \ [c \] và mặt phẳng tạo bởi các đường \ [b \] và \ [ c\] . Đây là góc \ [ACH \].
Cùng tìm góc này nhé. Vì chúng ta đã chọn điểm \ [A \] một cách tùy ý, nên chúng ta hãy chọn nó sao cho \ [OA = 2 \]. Sau đó, trong hình chữ nhật \ [\ tam giác AOC \]: \ [\ sin 60 ^ \ circle = \ dfrac [AC] [OA] \ quad \ Rightarrow \ quad AC = \ sqrt3 \ quad \ Rightarrow \ quad OC = \ sqrt [OA ^ 2-AC ^ 2] = 1. \ ] Vì \ [OH \] là một tia phân giác nên \ [\ angle HOC = 30 ^ \ circle \], do đó, trong một hình chữ nhật \ [\ tam giác HOC \]: \ [\ mathrm [tg] \, 30 ^ \ circle = \ dfrac [HC] [OC] \ quad \ Rightarrow \ quad HC = \ dfrac1 [\ sqrt3]. \] Sau đó từ hình chữ nhật \ [\ tam giác ACH \]: \ [\ cos \ angle \ alpha = \ cos \ angle ACH = \ dfrac [HC] [AC] = \ dfrac13 \ quad \ Rightarrow \ quad \ cos ^ [- 1] \ alpha = 3. \]
Trả lời: 3
Nhiệm vụ 4 # 2910
Mức độ nhiệm vụ: Khó hơn đề thi
Các mặt phẳng \ [\ pi_1 \] và \ [\ pi_2 \] cắt nhau dọc theo đường \ [l \], chứa các điểm \ [M \] và \ [N \]. Các đoạn \ [MA \] và \ [MB \] vuông góc với đường thẳng \ [l \] và nằm trong các mặt phẳng \ [\ pi_1 \] và \ [\ pi_2 \], và \ [MN = 15 \], \ [AN = 39 \], \ [BN = 17 \], \ [AB = 40 \]. Tìm \ [3 \ cos \ alpha \], trong đó \ [\ alpha \] là góc giữa các mặt phẳng \ [\ pi_1 \] và \ [\ pi_2 \].
Tam giác \ [AMN \] là góc vuông, \ [AN ^ 2 = AM ^ 2 + MN ^ 2 \], khi đó \ Tam giác \ [BMN \] là góc vuông, \ [BN ^ 2 = BM ^ 2 + MN ^ 2 \], khi đó \ Chúng ta viết định lý cosin cho tam giác \ [AMB \]: \ sau đó \ Vì góc \ [\ alpha \] giữa các mặt phẳng là góc nhọn và \ [\ angle AMB \] là góc tù thì \ [\ cos \ alpha = \ dfrac5 [12] \]. sau đó \
Trả lời: 1,25
Nhiệm vụ 5 # 2911
Mức độ nhiệm vụ: Khó hơn đề thi
\ [ABCDA_1B_1C_1D_1 \] là một hình bình hành, \ [ABCD \] là một hình vuông có cạnh \ [a \], điểm \ [M \] là đáy của hình vuông góc thả từ điểm \ [A_1 \] xuống mặt phẳng \ [[ABCD] \], hơn nữa, \ [M \] là giao điểm của các đường chéo của hình vuông \ [ABCD \]. Được biết rằng \ [A_1M = \ dfrac [\ sqrt [3]] [2] a \]. Tìm góc giữa hai mặt phẳng \ [[ABCD] \] và \ [[AA_1B_1B] \]. Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
Ta dựng \ [MN \] vuông góc với \ [AB \] như trong hình.
Vì \ [ABCD \] là một hình vuông có cạnh \ [a \] và \ [MN \ perp AB \] và \ [BC \ perp AB \] nên \ [MN \ song song BC \]. Vì \ [M \] là giao điểm của các đường chéo của hình vuông nên \ [M \] là trung điểm của \ [AC \], do đó, \ [MN \] là đường trung trực và \ [MN = \ frac12BC = \ frac [1] [2] a \].\ [MN \] là hình chiếu của \ [A_1N \] lên mặt phẳng \ [[ABCD] \] và \ [MN \] vuông góc với \ [AB \], do đó, theo định lý ba góc vuông, \ [ A_1N \] vuông góc với \ [AB \] và góc giữa hai mặt phẳng \ [[ABCD] \] và \ [[AA_1B_1B] \] là \ [\ góc A_1NM \].
\ [\ mathrm [tg] \, \ angle A_1NM = \ dfrac [A_1M] [NM] = \ dfrac [\ frac [\ sqrt [3]] [2] a] [\ frac [1] [2] a] = \ sqrt [3] \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ angle A_1NM = 60 ^ [\ circle] \]
Trả lời: 60
Nhiệm vụ 6 # 1854
Mức độ nhiệm vụ: Khó hơn đề thi
Trong hình vuông \ [ABCD \]: \ [O \] là giao điểm của các đường chéo; \ [S \] không nằm trong mặt phẳng của hình vuông, \ [SO \ perp ABC \]. Tìm góc giữa hai mặt phẳng \ [ASD \] và \ [ABC \] nếu \ [SO = 5 \] và \ [AB = 10 \].
Các tam giác vuông \ [\ tam giác SAO \] và \ [\ tam giác SDO \] có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng [\ [SO \ perp ABC \] \ [\ Rightarrow \] \ [\ angle SOA = \ angle SOD = 90 ^ \ circle \]; \ [AO = DO \], bởi vì \ [O \] là giao điểm của các đường chéo của hình vuông, \ [SO \] là mặt chung] \ [\ Rightarrow \] \ [AS = SD \] \ [\ Rightarrow \] \ [\ tam giác ASD \] là cân. Điểm \ [K \] là trung điểm của \ [AD \], sau đó \ [SK \] là chiều cao trong tam giác \ [\ tam giác ASD \] và \ [OK \] là chiều cao trong tam giác \ [AOD \] \ [\ Rightarrow \] mặt phẳng \ [SOK \] vuông góc với các mặt phẳng \ [ASD \] và \ [ABC \] \ [\ Rightarrow \] \ [\ angle SKO \] là một góc tuyến tính bằng đến góc nhị diện cần thiết.
Trong \ [\ tam giác SKO \]: \ [OK = \ frac [1] [2] \ cdot AB = \ frac [1] [2] \ cdot 10 = 5 = SO \]\ [\ Rightarrow \] \ [\ tam giác SOK \] là một tam giác vuông cân \ [\ Rightarrow \] \ [\ angle SKO = 45 ^ \ circle \].
Trả lời: 45
Nhiệm vụ 7 # 1855
Mức độ nhiệm vụ: Khó hơn đề thi
Trong hình vuông \ [ABCD \]: \ [O \] là giao điểm của các đường chéo; \ [S \] không nằm trong mặt phẳng của hình vuông, \ [SO \ perp ABC \]. Tìm góc giữa hai mặt phẳng \ [ASD \] và \ [BSC \] nếu \ [SO = 5 \] và \ [AB = 10 \].
Các tam giác vuông \ [\ tam giác SAO \], \ [\ tam giác SDO \], \ [\ tam giác SOB \] và \ [\ tam giác SOC \] có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng [\ [SO \ perp ABC \] \ [\ Rightarrow \] \ [\ angle SOA = \ angle SOD = \ angle SOB = \ angle SOC = 90 ^ \ circle \]; \ [AO = OD = OB = OC \], bởi vì \ [O \] là giao điểm của các đường chéo của hình vuông, \ [SO \] là cạnh chung] \ [\ Rightarrow \] \ [AS = DS = BS = CS \] \ [\ Rightarrow \] \ [\ tam giác ASD \] và \ [\ tam giác BSC \] là các khối cân. Điểm \ [K \] là trung điểm của \ [AD \], sau đó \ [SK \] là chiều cao trong tam giác \ [\ tam giác ASD \] và \ [OK \] là chiều cao trong tam giác \ [AOD \] \ [\ Rightarrow \] mặt phẳng \ [SOK \] vuông góc với mặt phẳng \ [ASD \]. Điểm \ [L \] là trung điểm của \ [BC \], sau đó \ [SL \] là chiều cao trong tam giác \ [\ tam giác BSC \] và \ [OL \] là chiều cao trong tam giác \ [BOC \] \ [\ Mũi tên phải \] mặt phẳng \ [SOL \] [hay còn gọi là mặt phẳng \ [SOK \]] vuông góc với mặt phẳng \ [BSC \]. Do đó, chúng ta thu được \ [\ angle KSL \] là một góc tuyến tính bằng góc nhị diện mong muốn.
\ [KL = KO + OL = 2 \ cdot OL = AB = 10 \]\ [\ Rightarrow \] \ [OL = 5 \]; \ [SK = SL \] - chiều cao bằng nhau tam giác cân, có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng định lý Pitago: \ [SL ^ 2 = SO ^ 2 + OL ^ 2 = 5 ^ 2 + 5 ^ 2 = 50 \]. Có thể thấy rằng \ [SK ^ 2 + SL ^ 2 = 50 + 50 = 100 = KL ^ 2 \]\ [\ Rightarrow \] cho tam giác \ [\ tam giác KSL \] định lý converse Pitago \ [\ Rightarrow \] \ [\ tam giác KSL \] - tam giác vuông \ [\ Rightarrow \] \ [\ angle KSL = 90 ^ \ circle \].
Trả lời: 90
Theo quy luật, việc chuẩn bị cho học sinh cho kỳ thi toán học bắt đầu bằng việc lặp lại các công thức cơ bản, bao gồm cả những công thức cho phép bạn xác định góc giữa các mặt phẳng. Mặc dù thực tế là phần hình học này được đề cập đầy đủ chi tiết trong khuôn khổ của chương trình giáo dục, nhiều sinh viên tốt nghiệp cần phải học lại các tài liệu cơ bản. Nắm được cách tìm góc giữa hai mặt phẳng, các em học sinh THPT sẽ có thể nhanh chóng tính được đáp án chính xác trong quá trình giải bài và tính điểm khá trên cơ sở đề thi thống nhất của nhà nước.
Sắc thái chính
Để câu hỏi làm thế nào để tìm góc nhị diện không gây khó khăn, chúng tôi khuyên bạn nên làm theo thuật toán giải sẽ giúp bạn đối phó với nhiệm vụ của kỳ thi.
Đầu tiên, bạn cần xác định đường thẳng mà các mặt phẳng cắt nhau.
Sau đó, trên dòng này, bạn cần chọn một điểm và vẽ hai đường vuông góc với nó.
Bước tiếp theo là tìm hàm lượng giác của góc nhị diện, được tạo thành bởi các đường vuông góc. Cách thuận tiện nhất để thực hiện việc này với sự trợ giúp của hình tam giác, trong đó góc là một phần.
Câu trả lời sẽ là giá trị của góc hoặc hàm lượng giác của nó.
Chuẩn bị cho bài kiểm tra cùng với Shkolkovo là chìa khóa thành công của bạn
Trong giờ học ngày hôm trước vượt qua kỳ thi nhiều học sinh phải đối mặt với vấn đề tìm định nghĩa và công thức cho phép bạn tính góc giữa 2 mặt phẳng. Sách giáo khoa học đường không phải lúc nào cũng có sẵn chính xác khi cần thiết. Và để tìm công thức cần thiết và các ví dụ về ứng dụng chính xác của chúng, bao gồm cả việc tìm góc giữa các mặt phẳng trên Internet trực tuyến, đôi khi mất rất nhiều thời gian.
Cổng toán học "Shkolkovo" cung cấp cách tiếp cận mớiđể chuẩn bị cho kỳ thi cấp bang. Các lớp học trên trang web của chúng tôi sẽ giúp học sinh xác định được những phần khó nhất đối với bản thân và lấp đầy những khoảng trống trong kiến thức.
Chúng tôi đã chuẩn bị và trình bày rõ ràng tất cả các tài liệu cần thiết. Định nghĩa cơ bản và các công thức được trình bày trong phần "Tham khảo lý thuyết".
Để đồng hoá tài liệu tốt hơn, chúng tôi cũng gợi ý các bạn luyện tập các bài tập tương ứng. Nhiều lựa chọn nhiệm vụ mức độ khác nhauđộ phức tạp, ví dụ, trên, được trình bày trong phần "Danh mục". Tất cả các nhiệm vụ đều chứa một thuật toán chi tiết để tìm ra câu trả lời chính xác. Danh sách bài tập trên trang được bổ sung và cập nhật liên tục.
Thực hành giải các bài toán về tìm góc giữa hai mặt phẳng, học sinh có cơ hội lưu bất kỳ bài tập nào trên mạng vào mục "Yêu thích". Nhờ đó, họ sẽ có thể trở lại với anh ta. khối lượng bắt buộc thời gian và thảo luận về quá trình quyết định của nó với giáo viên trường học hoặc một gia sư.