Bài viết này, Boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn các công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng hoặc trong không gian, các trường hợp tính cụ thể, kèm bài tập ví dụ chi tiết.
Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
Tính dựa vào vector chỉ phương
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 vector chỉ phương của 2 đường thẳng đó.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường đường thẳng d1,d2.
lần lượt là vector chỉ phương của d1;d2
Khi đó, cos của góc giữa 2 đường thẳng được xác định bằng công thức:
Góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng bằng góc giữa 2 vector pháp tuyến của 2 đường thẳng đó.
Cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian bằng góc giữa 2 vector chỉ phương của 2 đường thẳng đó.
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường đường thẳng d1,d2.
Lưu ý: góc giữa 2 đường thẳng trong không gian không được tính bằng vector pháp tuyến như trong mặt phẳng.
Một số ví dụ minh họa
Trên đây là những chia sẻ về góc giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian. Nếu có bất kỳ thắc mắc gì về phần kiến thức này, hãy comment bên dưới bài viết này nhé
39
00:27:49 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
40
00:40:44 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
45
00:18:23 Bài 7: Ứng dụng tích có hướng tính diện tích
46
00:22:03 Bài 8: Ứng dụng tích có hướng tính thể tích
48
00:32:07 Bài 9: Bài toán viết phương trình mặt phẳng
51
00:19:42 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
57
00:14:57 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
58
00:15:13 Bài 18: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
61
00:19:21 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
66
00:37:14 Bài 24: Ôn tập, nâng cao
Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian bằng véctơ
Hai đường thẳng trong không gian có 4 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau.
- Trong trường hợp 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc của chúng bằng 0°.
- Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau sẽ tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh [4 góc]. Ta chọn góc không tù là góc giữa hai đường thẳng.
Trong trường hợp 2 đường thẳng chéo nhau. Ta chọn một điểm bất kỳ trong không gian. Sau đó dựng lần lượt 2 đường thẳng song song với hai đường thẳng đã cho. Hai đường thẳng mới này cắt nhau. Và góc của chúng chính là góc giữa 2 đường thẳng đã cho. Lưu ý việc chọn điểm không ảnh hưởng tới số đo của góc.
2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng a và b
- Cách 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Từ 1 điểm trên đường thẳng a, ta kẻ a’ song song với b thì góc giữa a và b là góc nhọn giữa a’ và b.
- Cách 2: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, từ điểm I bất kì ta kẻ a’ // a, b’// b thì góc giữa a’ và b’ cũng là góc giữa a và b.
3. Cách tính góc giữa hai đường thẳng
α là góc giữa hai đường thẳng a, b
– Nếu α ≤ 90º thì kết luận góc giữa a và b là α
– Nếu α > 90º thì kết luận góc giữa a và b là 180º - α
Cách 1: Ta dựng tam giác chứa góc và sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác để tính.
Cách 2: Ứng dụng tích vô hướng để tính góc giữa a và b
Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng a và b. Giả sử véctơ u1, u2 lần lượt là 2 vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Để tính góc của 2 đường thẳng trong không gian Oxyz, chúng ta so sánh góc của chúng với 2 vectơ chỉ phương của chúng. Ta có thể dễ dàng thấy góc giữa 2 đường thẳng bằng hoặc bù so với góc giữa hai vectơ chỉ phương. Do đó nếu gọi φ là góc giữa 2 đường thẳng. Thì ta có công thức tính giữa hai đường thẳng như sau:
Ví dụ 1:
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
Tính góc giữa hai đường thẳng đó.
Lời giải:
4. Bài tập có lời giải chi tiết
Bài tập 1:
Bài tập 2.
Bài tập 3. Phương trình của hai đường thẳng có dạng