Đường thẳng \[y = b\] là tiệm cận ngang của \[[C]\] nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
\[\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f[x] = b \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f[x] = b \cr} \]
Chú ý
- Đồ thị hàm đa thức không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, do đó trong các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức, ta không cần tìm các tiệm cận này.
3. Tiệm cận xiên:
Đường thẳng \[y = ax + b\left[ {a \ne 0} \right]\] được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \[\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left[ x \right] - \left[ {ax + b} \right]} \right] = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left[ x \right] - \left[ {ax + b} \right]} \right] = 0\end{array} \right.\] , trong đó:
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{f\left[ x \right]}}{x}\\b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left[ x \right] - ax} \right]\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{f\left[ x \right]}}{x}\\b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left[ x \right] - ax} \right]\end{array} \right.\]
Chỉ có khái niệm “Tiệm cận của đồ thị hàm số”, KHÔNG có “Tiệm cận của hàm số”.
- Trả lời câu hỏi 1 trang 27 SGK Giải tích 12 Nêu nhận xét về khoảng cách từ điểm M[x; y] ∈ [C] tới đường thẳng y = -1 khi |x| → +∞....
- Trả lời câu hỏi 2 trang 29 SGK Giải tích 12 Tính...
- Giải bài 1 trang 30 SGK Giải tích 12 Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
- Giải bài 2 trang 30 SGK Giải tích 12 Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
\>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc. \[\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = - \infty \end{array} \right.\]
- Tiệm cận ngang:
Đường thẳng \[y = {y_0}\] được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \[\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\]
- Tiệm cận xiên:
Đường thẳng \[y = ax + b\left[ {a \ne 0} \right]\] được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \[\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left[ x \right] - \left[ {ax + b} \right]} \right] = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left[ x \right] - \left[ {ax + b} \right]} \right] = 0\end{array} \right.\] , trong đó:
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{f\left[ x \right]}}{x}\\b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left[ x \right] - ax} \right]\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{f\left[ x \right]}}{x}\\b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left[ x \right] - ax} \right]\end{array} \right.\]
Chỉ có khái niệm “Tiệm cận của đồ thị hàm số”, KHÔNG có “Tiệm cận của hàm số”.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính cả hai giới hạn\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y\].
- Bước 2: Kết luận:
Đường thẳng \[y = {y_0}\] được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \[\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\]
Hàm phân thức có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của đa thức tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc của đa thức mẫu.
Dạng 2: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm các điểm mà tại đó hàm số không xác định.
- Bước 2: Tính cả 2 giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y\].
- Bước 3: Kết luận:
Nếu xảy ra một trong 4 trường hợp \[\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = - \infty \end{array} \right.\] thì \[x = {x_0}\] là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+ Ta chỉ cần 1 trong 4 điều kiện trên thỏa mãn là kết luận được.
+ Riêng đối với hàm phân thức thì \[{x_0}\] thường là nghiệm của mẫu thức nhưng không là nghiệm của tử thức.
Dạng 3: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính cả hai giới hạn \[a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{f\left[ x \right]}}{x}\] và \[a' = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{f\left[ x \right]}}{x}\].
- Bước 2: Nếu \[\left[ \begin{array}{l}a \ne 0; \pm \infty \\a' \ne 0; \pm \infty \end{array} \right.\] thì tính \[\left[ \begin{array}{l}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left[ x \right] - ax} \right]\\b' = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left[ x \right] - a'x} \right]\end{array} \right.\]
- Bước 3: Kết luận: Nếu các giới hạn trên là hữu hạn thì \[y = ax + b\] và \[y = a'x + b'\] là các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm phân thức có tiệm cận xiên khi và chỉ khi bậc của đa thức tử lớn hơn bậc của đa thức mẫu là \[1\].
Khi đó, để tìm tiệm cận xiên ta chỉ cần chia tử cho mẫu được đa thức thương \[ax + b \Rightarrow y = ax + b\] là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số phân thức có tiệm cận đứng.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điều kiện để mẫu thức có nghiệm [nếu cần] và tính các nghiệm \[{x_1},{x_2},...,{x_n}\] của mẫu thức.
- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm phân thức có tiệm cận đứng:
Hàm số có một [hai, ba,…] tiệm cận đứng nếu mẫu thức có một [hai, ba,…] nghiệm không là nghiệm của tử thức.
- Bước 3: Thay các nghiệm \[{x_1},{x_2},...,{x_n}\] lên tử thức và biện luận dựa trên yêu cầu đề bài về số tiệm cận đứng.
Nếu bài chỉ yêu cầu có tiệm cận đứng thì ta chỉ cần một nghiệm của mẫu không phải nghiệm của tử là đủ.
Tiệm cận đúng có khi nào?
* Hàm số có tiệm cận đứng khi nào Hàm số y=f[x] muốn có đường tiệm cận đứng thì cần phải thỏa mãn đủ các điều kiện sau: Có các điểm mà hàm số KXĐ [không xác định]. Đồng thời tồn tại lân cận phải hoặc trái của điểm đó là tập con của TXĐ [tập xác định] của hàm số f[x].
Khi nào có tiệm cận ngang?
Tiệm cận ngang của một đồ thị hàm số y = f[x] xác định trên [a, +∞] là: Nếu limx→+∞y=b lim x → + ∞ y = b thì y = b là đường tιệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f[x]. Nếu limx→−∞y=b lim x → − ∞ y = b thì y = b là đường tιệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f[x] xác định trên [a,−∞ ].
Hàm số không có tiệm cận đúng khi nào?
Đồ thị không có đường tiệm cận đứng khi m = –3. D. Khi m = 0 thì đồ thị không có tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận dung và ngang?
- Đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận ngang.