Đề bài
Cho nửa đường tròn đường kính \[AB\] và một dây \[CD\]. Qua \[C\] vẽ đường thẳng vuông góc với \[CD\], cắt \[AB\] tại \[I\]. Các tiếp tuyến tại \[A\] và \[B\] của nửa đường tròn cắt đường thẳng \[CD\] theo thứ tự tại \[E\] và \[F\]. Chứng minh rằng:
a] Các tứ giác \[AECI\] và \[BFCI\] nội tiếp được;
b] Tam giác \[IEF\] vuông.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng \[180^o\]thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
-Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
- Hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a]
Tứ giác\[AECI\] có \[\widehat {EAI} + \widehat {ECI} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\] do đó tứ giác\[AECI\] nội tiếp được.
Tứ giác \[BFCI\] có \[\widehat {FCI} + \widehat {IBF} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\]do đó tứ giác\[BFCI\]nội tiếp được.
b] Xét\[\Delta IEF \] và \[\Delta CAB\] có:
\[\widehat {{E_1}} = \widehat {{A_1}}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[CI\] của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \[AECI\]]
\[\widehat {{F_1}} = \widehat {{B_1}}\][hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[CI\] của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \[BFCI\]]
\[ \Rightarrow \Delta IEF \backsim \Delta CAB\] [g.g].
\[ \Rightarrow \widehat {EIF} = \widehat {ACB}\] [hai góc tương ứng].
Ta lại có\[\widehat {ACB} = {90^o}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn].
\[\Rightarrow \widehat {EIF} = {90^o}\].
Vậy tam giác \[IEF\] vuông tại \[I\].