Đề bài
Đường trung trực \[d\]của đoạn thẳng\[AB\]chia mặt phẳng thành hai phần [không kể đường thẳng\[d]:\] phần chứa điểm\[A\]ký hiệu là \[{P_A}\], phần chứa điểm\[B\]ký hiệu là \[{P_B}\][h.21]
a] Gọi\[M\]là một điểm của \[{P_A}\]. Chứng minh rằng\[MA < MB.\]
b] Gọi\[N\]là một điểm của \[{P_B}\]. Chứng minh rằng\[NB < NA.\]
c] Gọi\[K\]là một điểm sao cho\[KA < KB.\]Hỏi rằng\[K\]nằm ở đâu trong \[{P_A}\],\[{P_B}\] hay trên\[d?\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+] Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
+] Trong một tam giác, tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại.
Lời giải chi tiết
a] Nối\[MA, MB.\]Gọi\[C\]là giao điểm của MB với đường thẳng\[d,\]nối\[CA.\]
Ta có:\[MB = MC + CB\]
Mà\[CA = CB\][tính chất đường trung trực]
Suy ra:\[MB = MC + CA\][1]
Trong\[ MAC\]ta có:
\[MA < MC + CA\][bất đẳng thức tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra:\[MA < MB\]
b] Nối\[NA, NB.\]Gọi\[D\]là giao điểm của\[NA\]với đường thẳng\[d,\]nối\[DB.\]
Ta có:\[NA = ND + DB\]
Mà:\[DA = DB\][tính chất đường trung trực]
Suy ra:\[NA = ND + DB\] [3]
Trong\[NDB\]ta có:
\[NB < ND + DB\][bất đẳng thức tam giác] [4]
Từ [3] và [4] suy ra:\[NA > NB\]
c] Nếu \[K\]nằm trong \[{P_B}\]thì theo câu \[b\] ta có \[KB < KA,\]trái với đề bài.
Nếu \[K\]nằm trên \[d\]thì \[KA = KB\][tính chất đường trung trực], trái với đề bài.
Nếu \[K\]nằm trong \[{P_A}\]thì theo câu \[a\] ta có \[KA < KB,\]thỏa mãn đề bài.
Vậy \[K\]nằm trong\[{P_A}\].