Đề bài
Câu 1 [1,0 điểm]. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a] \[2{x^2} - 3x - 2 = 0\]
b] \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 12\\3x + y = 7\end{array} \right.\]
Câu 2 [1,0 điểm].
a] Rút gọn biểu thức \[A = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } + \dfrac{1}{{\sqrt 5 - 2}}\]
b] Vẽ đồ thị của hàm số \[y = \dfrac{3}{4}{x^2}.\]
Câu 3 [1,5 điểm]:
a] Khi thực hiện xây dựng trường điển hình đổi mới năm 2017, hai trường trung học cơ sở A và B có tất cả 760 học sinh đăng ký tham gia nội dung hoạt động trải nghiệm. Đến khi tổng kết, số học sinh tham gia đạt tỷ lệ 85% so với số đã đăng ký. Nếu tính riêng thì tỷ lệ học sinh tham gia của trường A và trường B lần lượt là 80% và 89,5%. Tính số học sinh ban đầu đăng ký tham gia của mỗi trường.
b] Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] sao cho phương trình \[2{x^2} - \left[ {m + 5} \right]x - 3{m^2} + 10m - 3 = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},\;\;{x_2}\] thỏa mãn \[x_1^2 + x_2^2 - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right] + {x_1}{x_2} = 4.\]
Câu 4 [2,5 điểm]:
Cho đường tròn tâm O và điểm P nằm ngoài [O]. Vẽ tiếp tuyến PC của [O] [C là tiếp điểm] và cát tuyến PAB [PA < PB] sao cho các điểm A, B, C nằm cùng phía so với đường thẳng PO. Gọi M là trung điểm của đoạn AB và CD là đường kính của [O].
a] Chứng minh tứ giác PCMO là tứ giác nội tiếp.
b] Gọi E là giao điểm của đường thẳng PO với đường thẳng BD. Chứng minh AM.DE = AC.DO.
c] Chứng minh đường thẳng CE vuông góc với đường thẳng CA.
Lời giải chi tiết
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM
1.D |
2.C |
3.B |
4.B |
5.D |
11.A |
12.A |
13.C |
14.B |
15.D |
6.C |
7.C |
8.B |
9.C |
10.A |
16.D |
17.D |
18.C |
19.B |
20.A |
PHẦN 2: TỰ LUẬN
Câu 1
a] \[2{x^2} - 3x - 2 = 0\]
Ta có: \[\Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4.2.\left[ { - 2} \right] = 25 > 0\]
Nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: \[\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{3 - 5}}{{2.2}} = \dfrac{{ - 1}}{2}\\{x_2} = \dfrac{{3 + 5}}{{2.2}} = 2\end{array} \right.\]
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \[S = \left\{ { - \dfrac{1}{2};2} \right\}\] .
b] \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 12\\3x + y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 12\\9x + 3y = 21\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 33\\y = 7 - 3x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 7 - 3.3\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 2\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất là: \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {3; - 2} \right]\]
Câu 2
a] Rút gọn biểu thức \[A = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } + \dfrac{1}{{\sqrt 5 - 2}}\]
\[\begin{array}{l}A = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } + \dfrac{1}{{\sqrt 5 - 2}}\\ = \sqrt {{2^2} - 2.2.\sqrt 5 + {{\left[ {\sqrt 5 } \right]}^2}} + \dfrac{{\sqrt 5 + 2}}{{\left[ {\sqrt 5 - 2} \right]\left[ {\sqrt 5 + 2} \right]}}\\ = \sqrt {{{\left[ {2 - \sqrt 5 } \right]}^2}} + \dfrac{{\sqrt 5 + 2}}{{5 - 4}}\\ = \left| {2 - \sqrt 5 } \right| + \sqrt 5 + 2\\ = \sqrt 5 - 2 + \sqrt 5 + 2\left[ {\,Do\,\,\,2 - \sqrt 5 < 0} \right]\\ = 2\sqrt 5 \end{array}\]
b] Vẽ đồ thị của hàm số \[y = \dfrac{3}{4}{x^2}.\]
Bảng giá trị
x |
\[ - 4\] |
\[ - 2\] |
0 |
2 |
4 |
y |
12 |
3 |
0 |
3 |
12 |
Khi đó đồ thị hàm số đã cho là 1 đường cong và đi qua các điểm \[A\left[ {2;3} \right];B\left[ {4;12} \right];C\left[ { - 2;3} \right];D\left[ { - 4;12} \right];O\left[ {0;0} \right]\]
Câu 3
a] Khi thực hiện xây dựng trường điển hình đổi mới năm 2017, hai trường trung học cơ sở A và B có tất cả 760 học sinh đăng ký tham gia nội dung hoạt động trải nghiệm. Đến khi tổng kết, số học sinh tham gia đạt tỷ lệ 85% so với số đã đăng ký. Nếu tính riêng thì tỷ lệ học sinh tham gia của trường A và trường B lần lượt là 80% và 89,5%. Tính số học sinh ban đầu đăng ký tham gia của mỗi trường.
Gọi số học sinh trường A đăng ký hoạt động là \[x\] [học sinh], \[\left[ {x < 760,\;x \in {N^*}} \right].\]
Gọi số học sinh trường B đăng ký hoạt động là \[y\] [học sinh], \[\left[ {y < 760,\;y \in {N^*}} \right].\]
Khi đó tổng số học sinh hai trường đăng kí là: \[x + y = 760.\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]
Số học sinh hai trường tham gia là: \[760.\dfrac{{85}}{{100}} = 646\] [học sinh].
Số học sinh trường A tham gia là: \[80\% x = \dfrac{4}{5}x\] [học sinh].
Số học sinh trường B tham gia là: \[89,5\% y = \dfrac{{179}}{{200}}y\] [học sinh].
Theo đề bài ta có phương trình: \[\dfrac{4}{5}x + \dfrac{{179}}{{200}}y = 646\;\;\;\left[ 2 \right].\]
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 760\\\dfrac{4}{5}x + \dfrac{{179}}{{200}}y = 646\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 760\\160x + 179y = 129200\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}160x + 160y = 121600\\160x + 179y = 129200\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}19y = 7600\\x = 760 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 400\;\;\;\left[ {tm} \right]\\x = 360\;\;\left[ {tm} \right]\end{array} \right..\end{array}\]
Vậy ban đầu trường A có 360 học sinh đăng ký, trường B có 400 học sinh đăng ký.
b] Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] sao cho phương trình \[2{x^2} - \left[ {m + 5} \right]x - 3{m^2} + 10m - 3 = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},\;\;{x_2}\] thỏa mãn \[x_1^2 + x_2^2 - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right] + {x_1}{x_2} = 4.\]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},\;{x_2} \Leftrightarrow \Delta > 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {m + 5} \right]^2} - 4.2\left[ { - 3{m^2} + 10m - 3} \right] > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 10m + 25 + 24{m^2} - 80m + 24 > 0\\ \Leftrightarrow 25{m^2} - 70m + 49 > 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {5m - 7} \right]^2} > 0\\ \Leftrightarrow m \ne \dfrac{7}{5}\end{array}\]
Với \[m \ne \dfrac{7}{5}\] thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},\;{x_2}.\]
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m + 5}}{2}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{ - 3{m^2} + 10m - 3}}{2}\end{array} \right..\]
Theo đề bài ta có: \[x_1^2 + x_2^2 - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right] + {x_1}{x_2} = 4\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 2{x_1}{x_2} - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right] + {x_1}{x_2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right] - {x_1}{x_2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{{m + 5}}{2}} \right]^2} - \left[ {\dfrac{{m + 5}}{2}} \right] - \dfrac{{ - 3{m^2} + 10m - 3}}{2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left[ {m + 5} \right]^2} - 2\left[ {m + 5} \right] + 2\left[ {3{m^2} - 10m + 3} \right] = 16\\ \Leftrightarrow 7{m^2} - 12m + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {7m - 5} \right]\left[ {m - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7m - 5 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{5}{7}\;\;\left[ {tm} \right]\\m = 1\;\;\;\;\left[ {tm} \right]\end{array} \right..\end{array}\]
Vậy \[m = \dfrac{5}{7}\] hoặc \[m = 1\] thỏa mãn bài toán.
Câu 4
Cho đường tròn tâm O và điểm P nằm ngoài [O]. Vẽ tiếp tuyến PC của [O] [C là tiếp điểm] và cát tuyến PAB [PA < PB] sao cho các điểm A, B, C nằm cùng phía so với đường thẳng PO. Gọi M là trung điểm của đoạn AB và CD là đường kính của [O].
a] Chứng minh tứ giác PCMO là tứ giác nội tiếp.
Ta có \[M\] là trung điểm của \[AB\;\left[ {gt} \right] \Rightarrow OM \bot AB\] [tính chất đường kính và dây cung]
\[ \Rightarrow \widehat {AMO} = \widehat {PMO} = {90^0}.\]
Có \[PC\] là tiếp tuyến của [O] tại C \[ \Rightarrow \widehat {PCO} = {90^0}.\]
Xét tứ giác \[PCMO\] ta có: \[\widehat {PMO} = \widehat {PCO} = {90^0}\;\;\left[ {cmt} \right]\]
Mà C và M là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh PC dưới 1 góc vuông\[ \Rightarrow PCMO\] là tứ giác nội tiếp [dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp].
b] Gọi E là giao điểm của đường thẳng PO với đường thẳng BD. Chứng minh AM.DE = AC.DO.
Vì tứ giác \[PCMO\] là tứ giác nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {POC} = \widehat {PMC}\] [cùng chắn cung \[PC\]]
Mà \[\widehat {DOE} = \widehat {POC}\] [hai góc đối đỉnh]
\[ \Rightarrow \widehat {DOE} = \widehat {AMC}\;\;\left[ { = \widehat {POC}} \right].\]
Xét tam giác: \[\Delta ACM\] và \[\Delta DEO\] ta có:
\[\widehat {DOE} = \widehat {AMC}\;\left[ {cmt} \right]\]
\[\widehat {ODE} = \widehat {CAM}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[BC\] của đường tròn [O]]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ACM \sim \Delta DEO\;\left[ {g - g} \right]\\ \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{DE}} = \dfrac{{AM}}{{DO}}\\ \Rightarrow AC.DO = AM.DE\;\;\left[ {dpcm} \right].\end{array}\]
c] Chứng minh đường thẳng CE vuông góc với đường thẳng CA.
Ta có: \[\Delta ACM \sim \Delta DEO\;\left[ {cmt} \right]\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{AC}} = \dfrac{{OD}}{{AM}} = \dfrac{{2OD}}{{2AM}} = \dfrac{{CD}}{{AB}}.\]
Xét \[\Delta DEC\] và ta có:
\[\dfrac{{DE}}{{AC}} = \dfrac{{DC}}{{AB}}\;\;\left[ {cmt} \right]\]
\[\widehat {EDC} = \widehat {BAC}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[BC\]]
\[ \Rightarrow \Delta DEC \sim \Delta ACB\;\left[ {c - g - c} \right].\]
\[ \Rightarrow \widehat {DCE} = \widehat {CBA}\] [hai góc tương ứng].
Lại có: \[\widehat {CBA} = \widehat {PCA}\] [góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \[CA\]]
\[ \Rightarrow \widehat {DCE} = \widehat {PCA}\;\;\left[ { = \widehat {CBA}} \right].\]
Mặt khác: \[\widehat {PCA} + \widehat {ACO} = {90^0}\;\;\left[ {gt} \right]\] [PC là tiếp tuyến của đường tròn tại C]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {DCE} + \widehat {ACO} = {90^0}\\hay\;\;\widehat {ACE} = {90^0}.\\ \Rightarrow AC \bot CE\;\;\left[ {dpcm} \right].\end{array}\]