Hãy xác định các giá trị của \[x\] trên đoạn \[\left[ { - \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right]\] để hàm số \[y = tanx\] ;
- Nhận giá trị bằng \[0\] ;
- Nhận giá trị bằng \[1\] ;
- Nhận giá trị dương ;
- Nhận giá trị âm.
Đáp án :
- trục hoành cắt đoạn đồ thị \[y = tanx\] [ứng với \[x \in\] \[\left[ { - \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right]\]] tại ba điểm có hoành độ - π ; 0 ; π. Do đó trên đoạn \[\left[ { - \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right]\] chỉ có ba giá trị của \[x\] để hàm số \[y = tanx\] nhận giá trị bằng \[0\], đó là \[x = - π; x = 0 ; x = π\].
- Đường thẳng \[y = 1\] cắt đoạn đồ thị \[y = tanx\] [ứng với \[x\in\]\[\left[ { - \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right]\]] tại ba điểm có hoành độ \[{\pi \over 4};{\pi \over 4} \pm \pi \] . Do đó trên đoạn \[\left[ { - \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right]\] chỉ có ba giá trị của \[x\] để hàm số \[y = tanx\] nhận giá trị bằng \[1\], đó là \[x = - {{3\pi } \over 4};\,\,x = {\pi \over 4};\,\,x = {{5\pi } \over 4}\].
- Phần phía trên trục hoành của đoạn đồ thị \[y = tanx\] [ứng với \[x \in\] \[\left[ { - \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right]\]] gồm các điểm của đồ thị có hoành độ truộc một trong các khoảng \[\left[ { - \pi ; - {\pi \over 2}} \right]\]; \[\left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]; \[\left[ {\pi ;{{3\pi } \over 2}} \right]\]. Vậy trên đoạn \[\left[ { - \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right]\] , các giá trị của \[x\] để hàm số \[y = tanx\] nhận giá trị dương là \[x \in \left[ { - \pi ; - {\pi \over 2}} \right] \cup \left[ {0;{\pi \over 2}} \right] \cup \left[ {\pi ;{{3\pi } \over 2}} \right]\].
- Phần phía dưới trục hoành của đoạn đồ thị \[y = tanx\] [ứng với \[x \in\] \[\left[ { - \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right]\]] gồm các điểm của đồ thị có hoành độ thuộc một trong các khoảng \[\left[ { - {\pi \over 2};0} \right],\left[ {{\pi \over 2};\pi } \right]\]. Vậy trên đoạn \[\left[ { - \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right]\] , các giá trị của \[x\] để hàm số \[y = tanx\] nhận giá trị âm là \[x \in \left[ { - {\pi \over 2};0} \right],\left[ {{\pi \over 2};\pi } \right]\]
Bài 2 trang 17 sgk giải tích 11
Tìm tập xác định của các hàm số:
- \[y=\frac{1+cosx}{sinx}\] ;
- \[y=\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}\] ;
- \[y=tan[x-\frac{\pi }{3}]\] ;
- \[ y=cot[x+\frac{\pi }{6}]\] .
Giải:
Câu a:
Hàm số \[y=\frac{1+cosx}{sinx}\] xác định khi \[sinx\neq 0\Leftrightarrow x \neq k \pi,k\in \mathbb{Z}\]
Vậy tập xác định của hàm số là \[D=\mathbb{R} \setminus \left \{ k \pi,k\in \mathbb{Z} \right \}\]
Câu b:
Hàm số \[y=\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}\] xác định khi \[\left\{\begin{matrix} \frac{1+cosx}{1-cosx}\geq 0\\ \\ 1-cosx\neq 0 \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow 1-cosx> 0[do \ \ 1+cosx\geq 0]\]
\[\Leftrightarrow cosx\neq 1 \Leftrightarrow x \neq k2 \pi,k\in \mathbb{Z}\]
Vậy tập xác định của hàm số là \[D=\mathbb{R} \setminus \left \{ k 2 \pi,k\in \mathbb{Z} \right \}\]
Câu c:
Hàm số xác định khi \[cos\left [ x-\frac{\pi }{3} \right ]\neq 0\] xác định khi:\[x-\frac{\pi }{3}\neq \frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x\neq \frac{5\pi }{6}+k\pi [k\in Z]\]
Vậy tập xác định của hàm số \[D=\mathbb{R} \setminus \left \{ \frac{5\pi }{6}+k \pi ,k\in Z \right \}\]
Câu d:
Hàm số xác định khi \[sin \left [ x+\frac{\pi }{6} \right ]\neq 0\] xác định khi \[x+\frac{\pi }{6}\neq k\pi \Leftrightarrow x\neq -\frac{\pi }{6}+k\pi,k\in Z\]
Vậy tập xác định của hàm số là \[D=\mathbb{R} \setminus \left \{ \frac{\pi }{6}+k \pi ,k\in Z \right \}\]
Bài 3 trang 17 sgk giải tích 11
Dựa vào đồ thị hàm số \[y = sinx\], hãy vẽ đồ thị của hàm số \[y = |sinx|\].
Giải
Ta có
\[\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right| = \left\{ \matrix{ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \ge {\rm{0}} \hfill \cr {\rm{ - sinx}},{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \le 0 \hfill \cr} \right.\]
Mà \[sinx < 0\] \[⇔ x ∈ [π + k2π , 2π + k2π], k ∈ Z\] nên lấy đối xứng qua trục \[Ox\] phần đồ thị của hàm số \[y = sinx\] trên các khoảng này còn giữ nguyên phần đồ thị hàm số \[y = sinx\] trên các đoạn còn lại ta được đồ thị của hàm số \[y = |sinx|\]
Bài 4 trang 17 sgk giải tích 11
Chứng minh rằng \[sin2[x + kπ] = sin 2x\] với mọi số nguyên \[k\]. Từ đó vẽ đồ thị hàm số \[y = sin2x\].
Đáp án :
Do \[sin [t + k2π]\] = \[sint\], \[\forall k \in Z\] [tính tuần hoàn của hàm số f\[[t] = sint]\], từ đó
\[sin[2π + k2π] = sin2x \Rightarrow sin2[tx+ kπ] = sin2x\], \[∀k ∈ Z\].
Do tính chất trên, để vẽ đồ thị của hàm số \[y = sin2x\], chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên một đoạn có độ dài \[π\] [đoạn \[\left[ { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right]\] Chẳng hạn], rồi lại tịnh tiến dọc theo trục hoành sang bên phải và bên trái từng đoạn có độ dài \[π\] .
Với mỗi \[x_0 \in\] \[\left[ { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right]\] thì \[x = 2x_0\in [-π ; π]\], điểm \[M[x ; y = sinx]\] thuộc đoạn đồ thị \[[C]\] của hàm số \[y = sinx\], \[[x ∈ [-π ; π]]\] và điểm \[M’[x_0 ; y_0 = sin2x_0]\] thuộc đoạn đồ thị \[[C’]\] của hàm số \[y = sin2x\], [ \[x ∈\] \[\left[ { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right]\]] [h.5].
Chú ý rằng, \[x = 2x_0 \Rightarrow sinx = sin2x_0\] do đó hai điểm \[M’\] , \[M\] có tung độ bằng nhau nhưng hoành độ của \[M’\] bằng một nửa hoành độ của \[M\]. Từ đó ta thấy có thể suy ra \[[C’]\] từ \[[C]\] bằng cách “co” \[[C]\] dọc theo trục hoành như sau :
- Với mỗi \[M[x ; y] ∈ [C]\] , gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[M\] xuống trục \[Oy\] và \[M’\] là trung điểm của đoạn \[HM\] thì \[M’\] \[\left[ {{x \over 2};y} \right]\] \[∈ [C’]\] [khi \[M\] vạch trên \[[C]\] thì \[M’\] vạch trên \[[C’]]\]. Trong thực hành, ta chỉ cần nối các điểm đặc biệt của \[[C’]\] [các điểm \[M’\] ứng với các điểm \[M\] của \[[C]\] với hoành độ \[\in \left\{ {0;\,\, \pm {\pi \over 6};\,\, \pm {\pi \over 4};\,\, \pm {\pi \over 3};\,\, \pm {\pi \over 2}} \right\}\] ].