BÀI TẬP 3: MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1ìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phần phụ đại số:
3 1 ] 5 2
a A
Ta có : A 3 [ 1].5 11 0
Ma trận A khả nghịch
Ma trận nghịch đảo của ma trận A là :
1 1 1 2 1 .. .. 11 5 3
d b A ad bc c a
1 2 1
]B 2 4 5
3 2 2
b
2 2 1 2 3 3 1 3
1 2 1 1 2 1
2 4 5 0 8 3
3 2 2 0 8 1
h h h B h h h
Xét cột 1 ta có:
1 1 8 3
- 32 0 8 1
B
Ma trận B khả nghịch
1 1 11
4 5
[ 1]. 2
2 2
B
,
1 2 12
2 5
[ 1]. 11
3 2
B
1 3 13
2 4
[ 1]. 8
3 2
B
2 1 21
2 1
[ 1]. 6
2 2
B
,
2 2 22
1 1
[ 1]. 1
3 2
B
2 3 23
1 2
[ 1]. 8
3 2
B
3 1 31
2 1
[ 1]. 14
4 5
B
,
3 2 32
1 1
[ 1]. 3
2 5
B
,
3 3 33
1 2
[ 1]. 8
2 4
B
2 11 8 2 6 14
6 1 8 11 1 3
14 3 8 8 8 8
T C C
1
1 3 7
16 16 16 2 6 14 1 11 1 3 . 11 1 3 32 32 32 32 8 8 8 1 1 1
4 4 4
B
2ìm ma trận nghịch đảo của ma trận ở câu 1b bằng phương pháp khử
Gauss
1 2 1
2 4 5
3 2 2
A
Ta có :
2 2 1 2 3 3 1 3
1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0
2 4 5 0 1 0 0 8 3 2 1 0
3 2 2 0 0 1 0 8 1 3 0 1
h h h h h h
[ 1] 3. 2 3 5
3 2 4 1
5 5 10
0
3 3 3
0 0 0 0
h h h
r A 2
3 2 4 1
3 4 2 1
b,B 1 7 2 8
4 6 1 5
3 2 4 1
2 1 2 0 -6 -2 -
[ 1] 23 2 23
3. 1 3 0 -
3 3 3 3
4 10 19 19
4 1 4 0
3 3 3 3
h h h
h h h
h h h
[ 23] [ 5] 3. 2 3 4. 2 4 18 9
3 2 4 1 3 2 4 1
0 6 2 2 0 6 2 2
29 92 29 92
0 0 0 0
9 9 9 9
10 19 19 67 67
0 0 0
3 3 3 9 9
h h h h h h
67 4. 3 4 29
3 2 4 1
0 6 2 2
29 92
0 0
9 9
469
0 0 0
29
h h h
r B [ ] 4
Cùng với định thức, ma trận [đặc biệt là hạng của ma trận] là các công cụ cơ bản để giải quyết các bài toán về hệ phương trình tuyến tính nói riêng và đại số tuyến tính nói chung. Bài viết này sẽ giới thiệu định nghĩa, các tính chất cơ bản của hạng ma trận, và hai phương pháp cơ bản để tính hạng của ma trận.
1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Trước hết, cần nhớ lại khái niệm định thức con cấp k của một ma trận. Cho A là ma trận cấp m×n; k là số tự nhiên 1 ≤ k ≤ min{m, n}. Chọn ra k dòng, k cột bất kỳ của A. Các phần tử thuộc giao của k dòng, k cột này tạo thành ma trận vuông cấp k, gọi là ma trận con cấp k của ma trận A. Định thức của ma trận con cấp k này gọi là một định thức con cấp k của A
Bạn đang xem tài liệu "Bài 4: Hạng của ma trận", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Giải bài tập hạng của ma trận ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHGIẢI BÀI TẬP HẠNG CỦA MA TRẬNPhiên bản đã chỉnh sửaPGS TS Mỵ Vinh QuangNgày 3 tháng 12 năm 200413] Tìm hạng của ma trận:A =4 3 −5 2 38 6 −7 4 24 3 −8 2 78 6 −1 4 −6Giải:Ad2→[−2]d1+d2−−−−−−−−→d3→−d1+d3d4→[−2]d1+d44 3 −5 2 30 0 3 0 −40 0 −3 0 40 0 9 0 −12d3→−d2+d3−−−−−−−→d4→[−3]d2+d44 3 −5 2 30 0 3 0 −40 0 0 0 00 0 0 0 0Vậy rank A = 3 .14] Tìm hạng của ma trận:A =3 −1 3 2 55 −3 2 3 41 −3 5 0 77 −5 1 4 1Giải:Ađổi dòng−−−−−→1 −3 5 0 73 −1 3 2 55 −3 2 3 47 −5 1 4 1d2→ - 3d1 + d2−−−−−−−−−→d3→−5d1+d3d4→−2d1+d41 −3 5 0 70 8 −12 2 −160 12 −23 3 −310 16 −34 4 −48d3→−32d2 + d3−−−−−−−−−→d4→−7d1+d41 −3 5 0 70 8 −12 2 −160 0 −5 0 −70 0 −10 0 −16d4→−2d3+d4−−−−−−−→1 −3 5 0 70 8 −12 2 −160 0 −5 0 −70 16 0 0 −2Vậy rank A = 4 .115] Tìm hạng của ma trận:A =2 1 2 1 2 11 2 1 2 1 23 4 3 4 3 45 5 6 7 5 5GiảiAd1↔d2−−−−→1 2 1 2 1 22 1 2 1 2 13 4 3 4 3 45 5 6 7 5 5d2→−2d1+d2−−−−−−−→d3→−3d1+d3d4→−5d1+d41 2 1 2 1 20 −3 0 −3 0 −30 −2 0 −2 0 −20 −5 1 −3 0 −5d2↔−13d2−−−−−→1 2 1 2 1 20 1 0 1 0 10 −2 0 −2 0 −20 −5 1 −3 0 −5d3→2d2+d3−−−−−−→d4→5d2+d41 2 1 2 1 20 1 0 1 0 10 0 0 0 0 00 0 1 2 0 0d3↔d4−−−−→1 2 1 2 1 20 1 0 1 0 10 0 1 2 0 00 0 0 0 0 0Vậy rank A = 3 .16] Tìm hạng của ma trận:A =2 1 1 11 3 1 11 1 4 11 1 1 51 2 3 41 1 1 1Giải:Ađổi dòng−−−−−→1 1 1 12 1 1 11 3 1 11 1 4 11 1 1 51 2 3 4d2→−2d1+d2d3→−d1+d4−−−−−−−→d4→−d1+d4d5→−d1+d5d6→−d1+d61 1 1 10 −1 −1 −10 2 0 00 0 3 00 0 0 40 1 2 3d3→2d2+d3−−−−−−→d6→d2+d61 1 1 10 −1 −1 −10 0 −2 −20 0 3 00 0 0 40 0 1 2d3↔d6−−−−→1 1 1 10 −1 −1 −10 0 1 20 0 3 00 0 0 40 0 −2 −22d4→−3d3+d4−−−−−−−→d6→2d3+d61 1 1 10 −1 −1 −10 0 1 20 0 0 −60 0 0 40 0 0 2d5→23d4+d5−−−−−−−→d6→13d4+d61 1 1 10 −1 −1 −10 0 1 20 0 0 −60 0 0 00 0 0 0Vậy rank A = 4 .17] Tìm hạng của ma trận :A =3 1 1 4a 4 10 11 7 17 32 2 4 3Giải:Ađổi cột−−−−→1 1 4 34 10 1 a7 17 3 12 4 3 2d2→−4d1+d2−−−−−−−→d3→−7d1+d3d4→−2d1+d41 1 4 30 6 0 a − 120 10 −25 −200 2 −5 −4đổi dòng−−−−−→1 1 4 30 2 −5 −40 6 0 a − 120 10 −15 −20d3→−3d2+d3−−−−−−−→d4→−5d2+d41 1 4 30 2 −5 −40 0 15 a0 0 0 0Vậy rank A = 3. Với mọi a.18] Tìm hạng của ma trận:A =−1 2 1 −1 1a −1 1 −1 −11 a 0 1 11 2 2 −1 1Giải:Ađổi cột−−−−→1 −1 1 −1 2−1 −1 1 a −11 1 0 1 a1 −1 2 1 2d2→d1+d2d3→−d1+d3−−−−−−−→d4→−d1+d41 −1 1 −1 20 −2 2 a − 1 10 2 −1 2 a − 20 0 1 2 0d3→d2+d3−−−−−−→1 −1 1 −1 20 −2 2 a − 1 10 0 1 a + 1 a − 10 0 1 2 0d4→−d3+d4−−−−−−−→1 −1 1 −1 20 −2 2 a − 1 10 0 1 a + 1 a − 10 0 0 a − 1 1 − aVậy : nếu a = 1 thì rank A = 4 .3. nếu a = 1 thì rank A = 3 .19] Tìm hạng của ma trận:A =1 + a a . . . aa 1 + a . . . a. . . . . . . . . . . .a a . . . 1 + aGiải:Ac1→c1+c2+ .+cn−−−−−−−−−−→1 + na a . . . a1 + na 1 + a . . . a. . . . . . . . . . . .1 + na a . . . 1 + ad2→−d1+d2−−−−−−−→ .dn→−d1+dn1 + na a . . . a0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1Nếu a = −1n. Khi đó 1 + na = 0 và rank A = n .Nếu a = −1n. Khi đó 1 + na = 0 và rank A = n − 1 vì có định thức con cấp n − 1 gồm n − 1dòng cuối, cột cuối .Dn−11 0 . . . 01 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1= 1 = 0Còn định thức cấp n bằng 0 .20] Tìm hạng của ma trận [n ≥ 2 ]A =0 1 1 . . . 11 0 x . . . x1 x 0 . . . x. . . . . . . . . . . . . . .1 x x . . . 0Giải:Nếu x = 0 :Ac1→xc1−−−−→d1→xd10 x x . . . xx 0 x . . . xx x 0 . . . x. . . . . . . . . . . . . . .x x x . . . 0c1→c1+c2+ .+cn−−−−−−−−−−→[n − 1]x x x . . . x[n − 1]x 0 x . . . x[n − 1]x x 0 . . . x. . . . . . . . . . . . . . .[n − 1]x x x . . . 0d2→−d1+d2−−−−−−−→d3→−d1+d3 .dn→−d1+dn[n − 1]x x x . . . x0 −x 0 . . . 00 0 −x . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . −xVậy rank A = n4Nếu x = 0A =0 1 1 . . . 11 0 0 . . . 01 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .1 0 0 . . . 0d3→−d2+d3−−−−−−−→ .dn→−d2+dn0 1 1 . . . 11 0 0 . . . 00 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 0rankA = 2.VậyrankA = n nếu x = 0rankA = 2 nếu x = 021] Tìm hạng của ma trận vuông cấp n:A =a b b . . . bb a b . . . bb b a . . . b. . . . . . . . . . . . . . .b b b . . . aGiải:Ac1→c1+c2+ .+cn−−−−−−−−−−→a + [n − 1]b b b . . . ba + [n − 1]b a b . . . b. . . . . . . . . . . . . . .a + [n − 1]b b b . . . ad2→−d1+d2d3→−d1+d3−−−−−−−→ .dn→−d1+dna + [n − 1]b b b . . . b0 a − b 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 01. Nếu a = [1 − n]b, a = b thì rankA = n2. a = b = 0 thì rankA = 1a = b = 0 thì rankA = 03. a = [n − 1]b = 0 thì rankA = n − 1Vì có định thức con cấp n − 1 [bỏ dòng đầu, cột đầu]a − b 0 . . . 00 a − b . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . a − b= [a − b]n−1= 0Còn định thức cấp n bằng 0.5 . ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHGIẢI BÀI TẬP HẠNG CỦA MA TRẬNPhiên bản đã chỉnh sửaPGS TS Mỵ Vinh QuangNgày 3 tháng 12 năm 200413] Tìm hạng của ma trận: A =4 3 −5. 0 0 00 0 0 0 0Vậy rank A = 3 .14] Tìm hạng của ma trận: A =3 −1 3 2 55 −3 2 3 41 −3 5 0 77 −5 1 4 1 Giải: Ađổi dòng−−−−−→1 −3 5 0 73 −1 3 2