Giải toán 8 bài 4 bất phương trình một ẩn

§4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT Ẩn A. Kiến thức cần nhó ; * Bất phương trình bậc nhất mọt ấn là bát phương trình có dạng Ị ax + b 0. ax + b 0] trong đó a, b là hai số dã cho, a* 0. * Hai quy tắc biến đối bất phương trình: Khi chuyển một hạng tú' của bất phương trình từ vế này sang vế kia phai đổi dâu hạng tứ đó. Khi nhãn cả hai vế của một bất phương trình với một số khác 0, ta phủi: + Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu sô’ đó dương; + Đổi chiều bất phương trình nêu sô’ đó ám. B. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. Giai các bất phương trình sau : 3x - 5 > 0 ; 3 4x-4 4x - 2 . a] 3x - 5 > 0 3x > 5 X > . Tập nghiệm của bất phương trình là 5/ X > - 5 b] -5x-3 5x >- Tập nghiệm của bất phương trình là s = 2 3 _ 2 3 9 c] — X — — x< — . 3 5 35 10 8/2 X e Rịx > 5 [ , , 9Ì Tập nghiệm cúa bất phương trình là s = ; d] —2x + 6 > 4x — 2 6x X < . 4 + 6 > 4x - 2 6x < 8 X < — . n 5 ập ng hiệm cua bất phương trình là s = 3 X > 5 + 3 X > 8 . Tập nghiệm của bất phương trình là s = {x e ]R|x > 8}. X - 2x x-2x + 2xx 2 X > 2. Tập nghiệm cua bất phương trình là s = |x e.K|x > 2 ị. cl]8x + 28x + 2-7xxx 0.6 0.3x.—!— > 0,6.—!— X > 2. 0,3 0,3 Tập nghiệm cua bất phương trình là s = Ịx e R|x > 2}. -4x -4x.f--] > 12.f-- |ox>-3. 4j { 4J Tập nghiệm cúa bất phương trình là s = |x e K|x > -3}. -X >4 [-x].[-l] X -9 l,5x.-!—>-9,—!- X >-6. 1.5 1,5 Tập nghiệm cứa bất phương trình là S = {xeR|x> -6j. Gicíi: a] Cùng tập nghiệm s = |x |x > 4 j . b] Cùng tập nghiệm s - Ịx|x >-2|. Giiii: a] 1,2x X X < -5 . 1.2 2x > -4 + 3 x > tW/////////////////[ -1 0 3 , . '4 4 Đáp sô : a] X > — ; b]x —; d] X < 3 3 Gidi : a] 2x -1 > 5 2x > 1 + 5 2x > 6 X > 3. Tập nghiệm của bất phương trình là s = ịx £ ỊR|x > 3} . 3x - 2 3x X < 2 . Tập nghiệm của bất phương trình là s = |x e R|x < 2} t-j I Ch 2-5x2-17-15x>-3. Bài 25. Bài 26. Bài 27. Bài 28. Bài 29. Tập nghiệm của bất phương trình là s = |x e IR|x > -3}. 3-4x > 19 3-19 > 4x «-16 > 4x X -6 x.-| > [-6] .^ X > -9 . 3 2 2 Tập nghiệm của bất phương trình là s = |x e R|x > -9}. -|x20.[-|}«x>-24. Tập nghiệm của bất phương trình là s = Ịx e lR|x > -24}. 3--x>2«3-2> — X 1 > — X X < 4. 4 4 Tập nghiệm của bất phương trình là S = }xeK|x 2 5-2 > - X 3 > - X c=> X < 9. '3 3 Tập nghiệm của bất phương trình là s = }x e R|x < 9}. Gidi: a] X < 12; 2x < 24; X - 5 < 7. b] X > 8; 3x > 24; 2x - 1 > 15. Hướng dẫn : Rút gọn bất phương trình đưa về dạng đơn giản rồi kiểm tra. a] Có; b] Không. Hướng dẫn : Tập nghiệm của bất phương trình này là s = Ị X I X * 0}. Giải : a] 2x - 5 > 0 2x > 5 X > Ậ. / 2 Giá trị của X cần tìm là s = 5' X X > — > 2J b] -3x -3x + 7x4xx< — 4 X 5 X < — 4 Giá trị của X cấn tìm là Bài 30. Bài 31. Bài 32. Bài 33. Bài 34. Giúi : Gọi sô' tờ giấy bạc loại 5000 đồng là X ỉx e N ] thì sò tờ giấy bạc loại 2000 đồng là 15 - X. Theo bài ta có bất phương trình: 2000[15-x] + 5000x .sơ ; a] X -4; c] X 5x -2x + 6 8x + 3x-5x + 2x > 6-3 8x > 3 o X > -. 8 Tập nghiệm của bất phương trình là b] 2x[6x-l] > [3x-2][4x+ 3] o 12x2 -2x > 12x2 +9x-8x -6 12x2 -2x-12x2 -9x + 8x >-6 «- -3x > -6 X < 2. Tập nghiệm của bất phương trình là s = |x e K| X < 2|. Hướng ílần : Gọi điếm thi môn Toán là X, ta có bất phương trình : [2x +2.8 + 7 + 10] : 6 > 8. Đá]] số: X > 7,5. Giiii: a] Sai tại bước -2x > 23 23 + 2 [nhầm -2 là hạng tử], b] Sai tại bước đầu tiên, nhân với sô' âm mà không đổi chiều bất đẳng thức. D. Bài tập luyện thêm 1. Giai các bát phương trình sau: a]-2x + 70; c] — X + — > — 3: ■ n s 6 5 Giai các bất phương trình sau: d] 5x - 3 > -2x + 7 . 3x-l x + 5 5' 7 . -2x + 5 l-5x x-7 ' n 4 3 8 , X - 2 X — 3 X — 4 X - 5 d] — —— 3 3 / y 2 3 4 5 3. Tun m dế hai bất phương trình sau có đúng một nghiệm chung : 2 2 X - 3 > — và 4-m + 3x -6 X > - —. 2 xelR |x>--[ V 1 2; 5 2, 102 c] -—X + — > -3 -25x + 12 > -90 -25x > -102 X < . AS 25 ình là s = |x e s| X < ị 1 6 5 Tập nghiệm cua bất phương trình là d] 5x-3 >-2x + 7 5x + 2x > ' > 10 X > 10 7[3x -l]-5[x + 5] 21x -7-5x -25 < 0 16x X < 2. Tập nghiệm cứa bất phương trình là s = {x e R| X < 2]; -2x + 5 l-5x x-7 -——— + — —— > 0 3 8 6[-2x + 5]+ 8[l-5x]-3[x-7] > 0 -12x+ 30 + 8-40x-3x+ 21 >0« -55x >-59» X 45[2x + l]-35[2x-2] o -21 Ox + 525 - 63x + 189 > 90x + 45 - 70x + 70 -210x-63x-90x + 70x >-525-189 + 45 + 70 599 o-293x >-599 0.

Lời giải

– Bất phương trình a], c] là các bất phương trình bậc nhất một ẩn.

– Bất phương trình b] có a = 0 không thỏa mãn điều kiện a ≠ 0 nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

– Bất phương trình d] có mũ ở ẩn x là 2 nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

a] x + 12 > 21;

b] -2x > -3x – 5.

Lời giải

a] x + 12 > 21 ⇔ x > 21 – 12 ⇔ x > 9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x + 12 > 21 là {x|x > 9}

b] -2x > -3x – 5 ⇔ -2x + 3x > -5 ⇔ x > -5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình -2x > -3x – 5 là {x|x > -5}

a] 2x < 24;

b] -3x < 27.

Lời giải

a] 2x < 24 ⇔ 2x.

< 24. ⇔ x < 12

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x < 24 là {x|x < 12}

b] -3x < 27 ⇔ -3x.

> 27. ⇔ x > -9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x < 27 là {x|x > -9}

a] x + 3 < 7 ⇔ x – 2 < 2;

b] 2x < – 4 ⇔ -3x > 6.

Lời giải

a] x + 3 < 7 ⇔ x + 3 – 5 < 7-5 ⇔ x – 2 < 2

b] 2x < -4 ⇔ 2x.

> -4. ⇔ -3x > 6

Lời giải

-4x – 8 < 0 ⇔ -4x < 8 ⇔ x > -2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình -4x – 8 < 0 là {x|x > -2}

Biểu diễn trên trục số

Lời giải

-0,2x – 0,2 > 0,4x – 2

⇔ 0,4x – 2 < -0,2x – 0,2

⇔ 0,4x + 0,2x < -0,2 + 2

⇔ 0,6x < 1,8

⇔ x < 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình -0,2x – 0,2 > 0,4x – 2 là {x|x < 3}

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

a] x – 5 > 3

b] x – 2x < -2x + 4

c] -3x > -4x + 2

d] 8x + 2 < 7x – 1

Lời giải:

[Áp dụng quy tắc: chuyển vế – đổi dấu]

a] x – 5 > 3

⇔ x > 3 + 5 [chuyển -5 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành 5]

⇔ x > 8.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 8.

b] x – 2x < -2x + 4

⇔ x – 2x + 2x < 4

⇔ x < 4

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 4.

c] -3x > -4x + 2

⇔ -3x + 4x > 2

⇔ x > 2

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 2.

d] 8x + 2 < 7x – 1

⇔ 8x – 7x < -1 – 2

⇔ x < -3

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -3.

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

a] 0,3x > 0,6 ;     b] -4x < 12

c] -x > 4 ;     d] 1,5x > -9

Lời giải:

a] 0,3x > 0,6

⇔

[Nhân cả 2 vế với , BĐT không đổi chiều].

⇔ x > 2.

Vậy BPT có tập nghiệm x > 2.

b] -4x < 12

⇔

[Nhân cả 2 vế với , BĐT đổi chiều].

⇔ x > -3.

Vậy BPT có tập nghiệm x > -3.

c] –x > 4

⇔ [-x].[-1] < 4.[-1] [Nhân cả hai vế với -1 < 0, BĐT đổi chiều].

⇔ x < -4.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm x < -4.

d] 1,5x > -9

⇔

[Nhân cả hai vế với , BĐT không đổi chiều].

⇔ x > -6

Vậy bất phương trình có tập nghiệm x > -6

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

a] x – 3 > 1 ⇔ x + 3 > 7

b] -x < 2 ⇔ 3x > -6

Lời giải:

a] x – 3 > 1

⇔ x – 3 + 6 > 1 + 6 [Cộng 6 vào cả hai vế].

Hay x + 3 > 7..

Vậy hai bpt trên tương đương.

b] –x < 2

⇔ [-x].[-3] < 2.[-3] [Nhân cả hai vế với -3 < 0, BPT đổi dấu]

⇔ 3x < -6.

Vậy hai BPT trên tương đương.

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

a] 1,2x < -6 ;     b] 3x + 4 > 2x + 3

Lời giải:

a] 1,2x < -6

⇔1,2 x : 1,2 < -6 : 1,2

⇔ x < – 5

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -5.

b] 3x + 4 > 2x + 3

⇔ 3x – 2x > 3 – 4 [chuyển vế 2x và 4, đổi dấu hạng tử].

⇔ x > -1

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > -1.

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

a] 2x – 3 > 0 ;     b] 3x + 4 < 0

c] 4 – 3x ≤ 0 ;     d] 5 – 2x ≥ 0

Lời giải:

a] 2x – 3 > 0

⇔ 2x > 3 [Chuyển vế -3].

⇔

[Chia cả hai vế cho 2 > 0, BĐT không đổi chiều].

Vậy BPT có nghiệm

b] 3x + 4 < 0

⇔ 3x < -4 [chuyển vế 4].

⇔

[Chia cả hai vế cho 3 > 0].

Vậy BPT có tập nghiệm

c] 4 – 3x ≤ 0

⇔ -3x ≤ -4 [Chuyển vế hạng tử 4].

⇔

[Chia cả hai vế cho -3 < 0, BPT đổi chiều].

Vậy BPT có tập nghiệm

d] 5 – 2x ≥ 0

⇔ -2x ≥ -5 [Chuyển vế hạng tử 5].

⇔

[Chia cả hai vế cho -2 < 0, BĐT đổi chiều].

Vậy BPT có nghiệm

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

a] 2x – 1 > 5 ;     b] 3x – 2 < 4

c] 2 – 5x ≤ 17 ;     d] 3 – 4x ≥ 19

Lời giải:

a] 2x – 1 > 5

⇔ 2x > 1 + 5 [Chuyển vế và đổi dấu hạng tử -1]

⇔ 2x > 6

⇔ x > 3 [Chia cả hai vế cho 3 > 0, BPT không đổi chiều].

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 3.

b] 3x – 2 < 4

⇔ 3x < 4 + 2 [Chuyển vế và đổi dấu hạng tử -2]

⇔ 3x < 6

⇔ x < 2 [Chia cả hai vế cho 3 > 0, BPT không đổi chiều].

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2.

c] 2 – 5x ≤ 17

⇔ -5x ≤ 17 – 2 [Chuyển vế và đổi dấu hạng tử 2]

⇔ -5x ≤ 15

⇔ x ≥ -3 [Chia cả hai vế cho -5 < 0, BPT đổi chiều].

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ – 3

d] 3 – 4x ≥ 19

⇔ -4x ≥ 19 – 3 [Chuyển vế và đổi dấu hạng tử 3]

⇔ -4x ≥ 16

⇔ x ≤ -4 [Chia cả hai vế cho -4 < 0, BPT đổi chiều].

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≤ -4

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lời giải:

[Nhân cả hai vế với

, BPT không đổi chiều]

Vậy bất phương trình có nghiệm x > -9.

[Nhân cả hai vế với

, BPT đổi chiều].

⇔ x > -24

Vậy bất phương trình có nghiệm x > -24.

[Chuyển vế và đổi dấu hạng tử 3].

[Nhân cả hai vế với -4 < 0, BPT đổi chiều].

⇔ x < 4.

Vậy BPT có nghiệm x < 4.

[Chuyển vế và đổi dấu hạng tử 5].

[Nhân cả hai vế với -3 < 0, BPT đổi chiều]

⇔ x < 9.

Vậy BPT có nghiệm x < 9.

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lời giải:

a] Hình a] biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình:

x ≤ 12 hoặc x + 4 ≤ 16 hoặc 2x + 1 ≤ 25

b] Hình biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình:

x ≥ 8 hoặc x + 3 ≥ 11 hoặc 3 – 2x ≤ -13.

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

a] x + 2x2 – 3x3 + 4x4 – 5 < 2x2 – 3x3 + 4x4 – 6;

b] [-0,001]x > 0,003.

Lời giải:

a] x + 2x2 – 3x3 + 4x4 – 5 < 2x2 – 3x3 + 4x4 – 6

⇔ x < 2x2 – 3x3 + 4x4 – 6 – 2x2 + 3x3 – 4x4 + 5 [chuyển vế – đổi dấu]

⇔ x < -1 [*]

Vì -2 < -1 nên -2 là nghiệm của phương trình

Vậy x = -2 là nghiệm của bất phương trình.

b] [-0,001]x > 0,003

⇔ x < -3 [chia cả hai vế cho -0,001]

Vì -2 > -3 nên -2 không phải nghiệm của bất phương trình

Vậy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình.

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Luyện tập [trang 48-49 sgk Toán 8 Tập 2]

a] Chứng tỏ x = 2, x = -3 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b] Có phải mọi giá trị của ẩn x đều là nghiệm của bất phương trình đã cho hay không?

Lời giải:

a] Thay x = 2 vào bất phương trình ta được: x2 = 22 = 4 > 0

Vậy x = 2 là một nghiệm của bất phương trình x2 > 0.

Thay x = -3 vào bất phương trình ta được x2 = [-3]2 = 9 > 0

Vậy x = -3 là một nghiệm của bất phương trình x2 > 0.

b] Với x = 0 ta có x2 = 02 = 0

⇒ x = 0 không phải nghiệm của bất phương trình x > 0.

Vậy không phải mọi giá trị của ẩn x đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Luyện tập [trang 48-49 sgk Toán 8 Tập 2]

a] Giá trị của biểu thức 2x – 5 không âm.

b] Giá trị của biểu thức -3x không lớn hơn giá trị của biểu thức -7x + 5.

Lưu ý:

– không âm tức là ≥ 0

– không lớn hơn tức là ≤

Lời giải:

a] 2x – 5 không âm

⇔ 2x – 5 ≥ 0.

⇔ 2x ≥ 5 [Chuyển vế và đổi dấu hạng tử -5].

⇔

[Chia cả hai vế cho 2 > 0, BPT không đổi chiều].

Vậy với

thì giá trị biểu thức 2x – 5 không âm.

b] -3x không lớn hơn -7x + 5

⇔ -3x ≤ -7x + 5 [Chuyển vế và đổi dấu hạng tử 7x]

⇔ -3x + 7x ≤ 5

⇔ 4x ≤ 5

⇔

Vậy với

thì giá trị biểu thức -3x không lớn hơn -7x + 5.

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Luyện tập [trang 48-49 sgk Toán 8 Tập 2]

Lời giải:

Gọi x là số tờ giấy bạc loại 5 000 đồng người đó có [x > 0, x ∈ N].

Vì tổng số tờ 2 000 đồng và 5 000 đồng là 15 tờ nên ta có điều kiện x < 15

và số tờ 2 000 đồng người đó có là: 15 – x [tờ]

⇒ Tổng số tiền người đó có là: 5.x + 2.[15 – x] [nghìn đồng].

Theo bài ra, người đó có số tiền không quá 70 nghìn đồng nên ta có bất phương trình:

Kết hợp với x ∈ N nên x có thể nhận một trong các giá trị {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Luyện tập [trang 48-49 sgk Toán 8 Tập 2]

Lời giải:

⇔ 15 – 6x > 15 [Nhân cả hai vế với 3 > 0, BPT không đổi chiều]

⇔ -6x > 15 – 15 [Chuyển vế và đổi dấu hạng tử 15]

⇔ -6x > 0

⇔ x < 0 [Chia cả hai vế với -6 < 0, BPT đổi chiều]

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 0.

⇔ 8 – 11x < 13.4 [Nhân cả hai vế với 4 > 0, BPT không đổi chiều]

⇔ 8 – 11x < 52

⇔ -11x < 52 – 8 [Chuyển vế và đổi dấu hạng tử 8]

⇔ -11x < 44

⇔ x > 44 : [-11] [Chia cả hai vế cho -11 < 0, BPT đổi chiều

⇔ x > -4.

Vậy bất phương trình có nghiệm x > -4.

⇔ 3[x – 1] < 2[x – 4] [Nhân cả hai vế với 12 > 0, BPT không đổi chiều]

⇔ 3x – 3 < 2x – 8

⇔ 3x – 2x < -8 + 3 [Chuyển vế và đổi dấu 2x và -3]

⇔ x < -5

Vậy bất phương trình có tập nghiệm x < -5.

⇔ 5[2 – x] < 3[3 – 2x] [Nhân cả hai vế với 15 > 0, BPT không đổi chiều]

⇔ 10 – 5x < 9 – 6x

⇔ 6x – 5x < 9 – 10 [Chuyển vế và đổi dấu -6x và 10]

⇔ x < -1.

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Luyện tập [trang 48-49 sgk Toán 8 Tập 2]

a] 8x + 3[x + 1] > 5x – [2x – 6]

b] 2x[6x – 1] > [3x – 2][4x + 3]

Lời giải:

a] 8x + 3[x + 1] > 5x – [2x – 6]

⇔ 8x + 3x + 3 > 5x – 2x + 6

⇔ 8x + 3x – 5x + 2x > 6 – 3 [Chuyển vế, đổi dấu]

⇔ 8x > 3

⇔

[Chia cả hai vế cho 8 > 0, BPT không đổi chiều]

Vậy bất phương trình có nghiệm

b] 2x[6x – 1] > [3x – 2][4x + 3]

⇔ 12x2 – 2x > 12x2 – 8x + 9x – 6

⇔ 12x2 – 2x – 12x2 + 8x – 9x > -6 [Chuyển vế, đổi dấu]

⇔ -3x > -6

⇔ x < 2 [Chia cả hai vế cho -3 < 0, BPT đổi chiều]

Vậy bất phương trình có nghiệm x < 2.

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Luyện tập [trang 48-49 sgk Toán 8 Tập 2]

Kỳ thi quy định muốn đạt loại giỏi phải có điểm trung bình các môn thi là 8 trở lên và không có môn nào bị điểm dưới 6. Biết môn Văn và Toán được tính hệ số 2. Hãy cho biết, để đạt loại giỏi bạn Chiến phải có điểm thi môn Toán ít nhất là bao nhiêu điểm?

Lời giải:

Gọi x là điểm thi môn Toán [x ≤ 10].

Vì môn Văn và Toán được tính hệ số 2 nên ta có điểm trung bình của Chiến là:

Theo đề bài, để đạt loại Giỏi thì điểm môn Toán của Chiến phải thỏa mãn điều kiện: x ≥ 6 [1] và

[2].

Xét [2]:

⇔ 2x + 33 ≥ 48 ⇔ 2x ≥ 15 ⇔ x ≥ 7,5.

Kết hợp với [1] ta được: x ≥ 7,5.

Vậy để đạt được loại giỏi thì bạn Chiến phải có điểm thi môn Toán thấp nhất là 7,5 điểm.

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Luyện tập [trang 48-49 sgk Toán 8 Tập 2]

a] Giải bất phương trình -2x > 23. Ta có:

-2x > 23 ⇔ x > 23 + 2 ⇔ x > 25.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 25.

b] Giải bất phương trình

. Ta có:

Lời giải:

a] Sai lầm là coi -2 là hạng từ và chuyển vế hạng tử này trong khi -2 là một nhân tử.

Lời giải đúng:

-2x > 23

⇔ x < 23 : [-2] [chia cho số âm nên đổi chiều]

⇔ x < 11,5

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 11,5

b] Sai lầm là nhân hai vế của bất phương trình với

mà không đổi chiều bất phương trình.

Lời giải đúng:

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -28