Hôm nay chúng ta tìm hiểu về dạng 3 của bài toán Công suất, đó là Thay đổi một trong các đại lượng để Pmax , đây cũng là một trong những dạng bài quan trọng của chương Điện xoay chiều. Sau khi học xong bài này các em sẽ thấy có nhiều vấn đề liên quan đến cộng hưởng điện.
* Thay đổi L, C, \[\omega\] để Pmax
Ta có: \[P = RI^2 = R. \frac{U^2}{R^2 + [Z_L - Z_C]^2}\] Khi L, C, \[\omega\] thay đổi ⇒ \[[Z_L - Z_C]^2\] thay đổi \[\Rightarrow P_{max} \Leftrightarrow Z_L - Z_C = 0 \Leftrightarrow Z_L = Z_C\]: Xảy ra cộng hưởng điện
Lúc này: \[\left\{\begin{matrix} P_{max} = UI_{max} = RI_{max}^{2} = \frac{U^2}{R}\\ [\cos \varphi ]_{max} = 1 \hspace{2,6cm} \end{matrix}\right.\]
* Thay đổi R để Pmax Ta có: \[P = R.\frac{U^2}{R^2 + [Z_L - Z_C]^2} = \frac{U^2}{\frac{R^2 + [Z_L - Z_C]^2}{R}}\] \[\Leftrightarrow P = \frac{U^2}{R + \frac{[Z_L - Z_C]^2}{R}}\] Do U không đổi \[\Rightarrow P_{max} \Leftrightarrow \left [ R + \frac{[Z_L - Z_C]^2}{R} \right ]_{min}\] Mà: \[R + \frac{[Z_L - Z_C]^2}{R} \geq 2|Z_L - Z_C|\] Dấu "=" xảy ra khi \[R = \frac{[Z_L - Z_C]^2}{R} \Rightarrow R = |Z_L - Z_C|\]
Vậy thay đổi R để Pmax thì:
\[\left\{\begin{matrix} R = |Z_L - Z_C| \hspace{3,8cm} \\ P_{max} = \frac{U^2}{2R} = \frac{U^2}{R}\cos ^2 \varphi \Rightarrow \cos ^2 \varphi = \frac{1}{2}\\ \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0,707 \hspace{3cm} \end{matrix}\right.\]
* Cuộn dây có điện trở r
\[\\ \cdot \ Z_d = \sqrt{r^2 + Z_{L}^{2}} \Rightarrow U_d= \sqrt{U_{r}^{2} + U_{L}^{2}} \\ \cdot \tan \varphi _d = \frac{Z_L}{r}'\ \cos \varphi _d = \frac{r}{Z_d} = \frac{r}{\sqrt{r^2 + Z_{L}^{2}}} \\ \cdot P_{cd} = rI^2 = r\frac{U^2}{[R + r]^2 + [Z_L - Z_C]^2}\]
* Thay đổi R để [Pmạch]max
⇒ [Pmạch]max khi \[\left\{\begin{matrix} R_b= |Z_L - Z_C| \ \ \\ [P_{mach}]_{max} = \frac{U^2}{2R_b} \end{matrix}\right.\]
Nếu \[r \geq |Z_L - Z_C| \Rightarrow R_b = r\] [Lúc này R = 0]
* Thay đổi R để [PR]max Ta có: \[P_R = R.I^2 = R.\frac{U^2}{[R+r]^2 + [Z_L - Z_C]^2} = \frac{U^2}{R + \frac{r^2 + [Z_L - Z_C]^2}{R}+2r}\] Do U không đổi \[\Rightarrow [P_R]_{max} \Leftrightarrow \left [ R + \frac{r^2 + [Z_L - Z_C]^2}{R} \right ]_{min}\] Mà: \[R + \frac{r^2 + [Z_L - Z_C]^2}{R}\geq 2.\sqrt{r^2 + [Z_L - Z_C]^2}\] Dấu "=" xảy ra khi: \[R = \sqrt{r^2 + [Z_L - Z_C]^2}\]
Lúc này: \[[P_R]_{max} = \frac{U^2}{2[R+r]}\]
VD1: Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi và tần số góc thay đổi được vào hai đầu mạch RLC ghép nối tiếp khi f = f1 thì Pmax = 200 W. Khi f = f2 thì điện áp hai đầu đoạn mạch lệch pha nhau \[\frac{\pi }{6}\] so với điện áp hai đầu tụ C. Tìm P lúc này?
Giải: \[f = f_1 \Rightarrow P_{max} = 200 = \frac{U^2}{R}\] [CHĐ]
f = f2 ⇒ u lệch pha \[\frac{\pi }{6}\] so với uC
Vậy: \[P = 200.\cos ^2 \left [ -\frac{\pi }{3} \right ] = 50\ V\]
VD2: Đặ điện áp \[u = 200\sqrt{2}\cos [100 \pi t - \frac{\pi }{4}]\] [V] vào hai đầu đoạn mạch RLC ghép nối tiếp gồm \[R = 60 \ \Omega,\ L = \frac{6}{5 \pi } \ H,\ C = \frac{10^{-4}}{2 \pi }F\] thì công suất tiêu thụ của mạch là P1. Thay R bằng R' thì công suất tiêu thụ mạch cực đại và bằng P2. Tìm \[\frac{P_2}{P_1}\]?
Giải: \[Z_L = L\omega = 120\ \Omega ; \ Z_C = \frac{1}{C\omega } = 200 \ \Omega\] Ta có: \[P_1 = R.\frac{U^2}{R^2 + [Z_L - Z_C]^2} = 60.\frac{200^2}{60^2 + [120 - 200]^2} = 240\ [W]\] Thay R = R' thì \[P_{max} = \left\{\begin{matrix} R' = |Z_L - Z_C| = 80\ \Omega \\ P_{max} = P_2 = \frac{U^2}{2R'} \hspace{1,3cm} \end{matrix}\right.\] \[\Rightarrow P_2 = \frac{200^2}{2.80} = \frac{200^2}{160} = 250\ [W]\]
\[\Rightarrow \frac{P_2}{P_1} = \frac{250}{240} = \frac{25}{24}\]
VD3: Cho mạch điện
\[u_{AB} = 100\sqrt{2}\cos 100 \pi t \ [V];\ r = 30\ \Omega ;\ L = 318\ mH;\ C = \frac{10^{-3}}{6 \pi }F\]. Khi R = R1 thì [PR]max. Khi R = R2 thì [PAB]max. Tìm tỉ số R1 và R2
?
Giải: \[\\Z_L = L\omega = 318.10^{-3}.100\pi = 100\ \Omega \\ Z_C = \frac{1}{C\omega } = \frac{1}{\frac{10^{-3}}{6\pi }.100 \pi } = 60\ \Omega \\ \cdot \ R = R_1 \Rightarrow [P_R]_{max} \Rightarrow R_1 = \sqrt{r^2 + [Z_L - Z_C]^2}\\ \Rightarrow R_1 = \sqrt{30^2 + [100-60]^2} = 50\ \Omega \\ \cdot \ R = R_2 \Rightarrow [P_{AB}]_{max} \Rightarrow R_2 + r = |Z_L - Z_C| \\ \Rightarrow R_2 + 30 = |100-60| = 40 \Rightarrow R_2 = 10\ \Omega\]
Vậy: \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{50}{10}= 5\]
Bài tập 1: Cho đoạn mạch như hình vẽ:
UAB = U = hằng số, R1 = b và biến trở R.
a. Xác định R để công suất trên điện trở R1 đạt giá trị cực đại. Xác định giá trị cực đại.
b. Xác định R để công suất trên điện trở R đạt giá trị cực đại. Xác định giá trị cực đại.
c. Xác định R để công suất toàn mạch đạt giá trị cực đại. Xác định giá trị cực đại.
Phương pháp giải:
Trong toán học, nếu nhắc đến việc tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất thì ta không thể không nhắc đến bất đẳng thức cơ bản để tìm là bất đẳng thức Cô-si.
Bất đẳng thức Cô-si cho hai số a, b dương:
\[a+b\geq 2\sqrt{ab}\]
Dấu “=” xảy ta khi a = b
Hay ta nói \[[a+b]_{min}=2\sqrt{ab}\]
Hoặc có thể là:
\[\left [ \frac{1}{a+b} \right ]_{max}=\frac{1}{2\sqrt{ab}}\]
Ở một số trường hợp ta sẽ gặp biểu thức cần tìm GTLN, GTNN ở bậc 2 thì ta sẽ áp dụng tính chất của một tam thức bậc 2 có dạng f[x] = a2 + bx + c [a>0].
Khi đó ta sẽ luôn có:
\[f[x]_{min}=\frac{-\Delta}{4a}\]
Khi \[x_1=x_2=\frac{-b}{2a}\]
Lời giải:
a. Ta có:
RAB = R1 +R
Công suất trên điện trở R1 là:
\[P_1=I^2R_1=\left [\frac{U}{R_{AB}} \right ]^2R_1=\frac{U^2R_1}{\left [R_1+R \right ]^2}\leq \frac{U^2R_1}{4R_1R}=\frac{U^2}{4R_1}\]Vậy P1 đạt giá trị cực đại là \[\frac{U^2}{4R_1}\] khi R = R1
b. Tương tự như trên ta cũng có công suất trên R là:
\[P_R=I^R=\frac{U^2R}{\left [R_1+R \right ]^2}\leq \frac{U^2R}{4R_1R}=\frac{U^2}{4R}\]
Vậy PR đạt giá trị cực đại là \[\frac{U^2}{4R_1}\] khi R = R1
c. Công suất toàn mạch là:
\[P=I^2[R+R_1]=\frac{U^2[R+R_1]}{\left [R_1+R \right ]^2}=\frac{U^2}{R+R_1}\leq \frac{U^2}{2\sqrt{R.R_1}}\]
Vậy P đạt giá trị cực đại là \[\frac{U^2}{2\sqrt{R.R_1}}\] khi R = R1
Bài tập 2: Cho mạch điện như hình vẽ:
Biết E = 2 V, r = 0,7 Ω, R1 = 0,3 Ω, R2 = 2 Ω. Xác định R để công suất đạt cực đại.
Lời giải:
Điện trở tương đương của toàn mạch là:
\[R_{td}=R_1+\frac{R.R_2}{R+R_2}=0,3+\frac{2R}{R+2} \: [\Omega ]\]
Dòng điện mạch chính là:
\[I=\frac{E}{R_{td}+r}=\frac{E}{0,3+\frac{2R}{R+2}+0,7}=\frac{E}{1+\frac{2R}{R+2}}\]
Công suất trên điện trở R là:
\[P_R=\frac{U_{R}^2}{R}=\frac{[I.\frac{2R}{R+2}]^2}{R}=\frac{\left [ \frac{2}{1+\frac{2R}{R+2}} \right .\frac{2R}{R+2}]^2}{R}=\frac{16R}{\left [ 3R+2 \right ]^2}\leq \frac{16R}{4.3R.2}=\frac{2}{3}\]
Dấu “=” xảy ra khi 3R = 2 hay R = 2/3 Ω
Vậy R = 2/3 Ω thì công suất của R đạt cực đại
Bài tập 3: Cho mạch điện như hình vẽ:
Biết R = 4 Ω, Đèn: 6 V – 3 W, UAB = 9 V không đổi, Rx là biến trở. Điện trở của đèn không đổi. Xác định giá trị của Rx để:
a. Đèn sáng bình thường.
b. Công suất tiêu thụ trên biến trở là lớn nhất. Tính công suất đó.
Lời giải:
a. Đèn sáng bình thường nên Ux = Uđm = 6 V
\[I_{dm}=\frac{P_{dm}}{U_{dm}}=\frac{3}{6}=0,5\: A\] \[\Rightarrow I=\frac{U_{AD}}{R}=\frac{U_{AB}-U_x}{R}=\frac{9-6}{4}=0,75\: A\]
Giá trị biến trở Rx là:
\[R_x=\frac{U_x}{I_x}=\frac{U_x}{I-I_{dm}}=\frac{6}{0,75-0,5}=24\: \Omega\]
b. Điện trở của đèn là:
\[R_D=\frac{U_D^2}{P_D}=\frac{6^2}{3}=12\: \Omega\]
Điện trở tương đương của mạch là:
\[R_{td}=R+\frac{R_DR_x}{R_D+R_x}=4+\frac{12R_x}{R_x+12}=\frac{16R_x+48}{R_x+12}\]
Hiệu điện thế của biến trở là:
\[U_{x}=U-U_{AD}=U-IR=U-\frac{UR}{R_{td}}=9-\frac{9.4}{\frac{16R_x+48}{R_x+12}}=\frac{27R_x}{4[R_x+3]}\]
Công suất tiêu thụ trên biến trở là:
\[P_x=\frac{U_x^2}{R_x}=\frac{\left [ \frac{27R_x}{4[R_x+3]} \right ]^2}{R_x}=\frac{729R_x}{16[R_x+3]^2}=\frac{729}{16[\sqrt{R_x}+\frac{3}{\sqrt{R_x}}]^2}\] \[P_{xmax}\Leftrightarrow \left [ \sqrt{R_x}+\frac{3}{\sqrt{R_x}} \right ]_{min}\]
Mà ta có:
\[\sqrt{R_x}+\frac{3}{\sqrt{R_x}}\geq 2\sqrt{\sqrt{R_x}.\frac{3}{\sqrt{R_x}}}=2\sqrt{3}\]
Vậy \[P_{xmax}=\frac{729}{12.[2\sqrt{3}]^2}=\frac{243}{64}\approx 3,8\: W\] khi \[\sqrt{R_x}=\frac{3}{\sqrt{R_x}}\Leftrightarrow R_x=3\]
Bài tập 1: Cho mạch điện như hình vẽ:
Biết E = 6 V, r = 1 Ω, R2 = 2 Ω
a. Tìm R1 để công suất toả nhiệt trên R1 max. Tính P1max
b. Tìm R1 để công suất toả nhiệt toàn mạch max. Tính Pmax
c. Tìm R1 để công suất toả nhiệt trên nguồn max. Tính Pngmax
Bài tập 2: Cho mạch điện như hình vẽ:
Biết E = 12 V, r = 2 Ω, R1 = 4 Ω, R2 = 2 Ω. Tìm R3 để:
a. Công suất mạch ngoài lớn nhất. Tính giá trị này.
b. Công suất tiêu thụ trên R3 bằng 4,5 W.
c. Công suất tiêu thụ trên R3 là lớn nhất. Tính công suất này.
Bài tập 3: Cho mạch điện như hình vẽ:
U = 12 V, r = 3 Ω, R2 là biến trở.
a. Điều chỉnh R2 để công suất trên nó là lớn nhất, khi đó công suất trên R2 bằng 3 lần công suất trên R1. Tìm R1.
b. Thay R2 bằng một bóng đèn thì đèn sáng bình thường, khi đó công suất trên đoạn mạch AB là lớn nhất. Tính công suất và hiệu điện thế định mức của đèn.