Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song lớp 12

Câu hỏi 7 trang 80 SGK Hình học 12. Lời giải chi tiết Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng [α] và [β] cho bởi các phương trình sau đây: [α]: x – 2 = 0; [β]: x – 8 = 0.

– Chứng minh hai mặt phẳng song song.

– Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \[d\left[ {\left[ \alpha  \right],\left[ \beta  \right]} \right] = d\left[ {M,\left[ \beta  \right]} \right] \] ở đó tọa điểm \[M\] chọn trước thuộc \[[\alpha ]\].

– Công thức khoảng cách: \[d\left[ {{M_0},\left[ P \right]} \right] = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\] 

Quảng cáo

Ta thấy: \[\left[ \alpha  \right]\] và \[\left[ \beta  \right]\] cùng có VTPT \[\overrightarrow n  = \left[ {1;0;0} \right]\].

Dễ thấy điểm \[M\left[ {2;0;0} \right] \in \left[ \alpha  \right]\] nhưng \[M\left[ {2;0;0} \right] \notin \left[ \beta  \right]\] nên \[\left[ \alpha  \right]//\left[ \beta  \right]\].

Từ đó \[d\left[ {\left[ \alpha  \right],\left[ \beta  \right]} \right] = d\left[ {M,\left[ \beta  \right]} \right] = \dfrac{{\left| {2 – 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 6\]

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng \[6\].

Mặt phẳng \[\left[ P \right]:ax + by + cz + d = 0\] có một VTPT là:

Mặt phẳng \[\left[ P \right]:ax - by - cz - d = 0\] có một VTPT là:

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. PHƯƠNG PHÁP: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng [d] song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng [d]. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 7% một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kết luận: Việc tính khoảng cách giữa đường song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đều quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng đã đề cập ở dạng toán 2 phía trên. Do đó, việc cần làm là chọn điểm trên đường hoặc trên mặt sao cho việc xác định khoảng cách là đơn giản nhất.

MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA. Bài toán 1: Cho hình lăng trụ ABC có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Hình chiếu vuông góc của A trên với trung điểm của B’C’. Tính khoảng cách từ AA’ đến mặt bên BCC’B’. b] Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ. Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a và SAI[ABCD]. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng [SAD] bằng. Bài toán 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a3. Khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng [SAB] bằng.

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Quảng cáo

Cho hai mặt phẳng [P] và [Q] song song với nhau. Để tính khoảng cách giữa [P] và [Q] ta thực hiện các bước:

   + Bước 1: Chọn một điểm A trên [P] sao cho khoảng cách từ A đến [Q] có thể được xác định dễ nhất.

   + Bước 2: Kết luận: d[[P]; [Q]] = d[A; [Q]].

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng[MNP] và [ACC’].

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AD và CD nên MN là đường trung bình của tam giác ADC.

⇒ MN // AC    [1]

+ Do M; P lần lượt là trung điểm của AD và A’D’ nên MP // AA’ // DD'

Lại có: CC’ // AA’ nên MP // CC’   [2]

Từ [1] và [2] suy ra: [ MNP] // [ACC’]

+ Gọi O là giao điểm của A’C’ và B’D’. Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác đều nên D'O ⊥ [AA'C'C] và d[D’; [ACC’]] = D’O.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60°, đáy ABC là tam giác đều và A’ cách đều A, B; C. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

Hướng dẫn giải

Chọn A

+ Vì tam giác ABC đều và AA’ = BA’ = CA’ [giả thiết] nên A’.ABC là hình chóp đều.

Gọi A’H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm tam giác ABC

Lăng trụ ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy góc 60° nên ∠A'AH = 60°.

+ Xét tam giác AHA’ có: A'H = AH.tan60° = [[a√3]/3].√3 = a

+ lại có; [ABC] // [A’B’C’] [ định nghĩa hình lăng trụ] nên d[[ABC], [A’B’C’]] = d[ A’, [ABC]] = A’H = a

Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60°. Hình chiếu vuông góc của A’lên mặt phẳng [ABC] là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A’H ⊥ [ABC]. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy là 60° nên ∠A'AH = 60°

+ Xét tam giác A’HA vuông tại H ta có: A’H = AA’.sin60° = [a√3]/2.

+ Do [ABC] // [ A’B’C’] [định nghĩa hình lăng trụ] nên d[[ABC]; [A’B’C’]] = d[A’; [ABC]] = A’H = [a√3]/2

Chọn đáp án A

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.AB’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30°. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng [A’B’C’] thuộc đường thẳng B’C’. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là:

Hướng dẫn giải

+ Do hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a nên AB’ = AC’.

⇒ tam giác AB’C’ là tam giác cân có AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến [do AH ⊥ [A'B'C']

⇒ HB’ = HC’ và A’H = AC.sin60° = [a√3]/2

+ Do góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30° và có AH ⊥ [A’B’C’] nên ∠AA'H = 30°

Xét tam giác AA’H vuông tại H có:

AH = A’H.tan[AA'H] = [a√3]/2.tan30° = a/2

Chọn đáp án C

Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D; cạnh a. Khoảng cách giữa [AB’C] và [A’DC’] bằng :

Hướng dẫn giải

+ Xét hai mp[AB’C] và [A’DC’] có:

+ Gọi O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’. Gọi I là hình chiếu của D’ trên O’D suy ra I là hình chiếu của D’ trên [A’DC’]

ta có: B’D’ = a√2 và O’D’ = [1/2]B'D' = [a√2]/2

+ xét tam giác O’D’D vuông tại D’ có:

Vậy d[[AB’C] ; [A’DC’]] = [a√3]/3

Chọn đáp án D

Quảng cáo

Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng [MNP] và [ACC’]

Hiển thị lời giải

Nhận xét [ACC'] ≡ [ACC'A']

Gọi O = AC ∩ BD, I = MN ∩ BD

+ Ta có M và N lần lượt là trung điểm của AD và DC nên MN là đường trung bình của tam giác ADC và MN // AC    [1]

+ Tương tự: M, P lần lượt là trung điểm của AD và A’D’ nên MP là đường trung bình của hình thang A’D’DA

⇒ MP // AA’ // PP’    [2] .

Từ [1] và [2] suy ra: [MNP] // [ACC’]

Mà O thuộc mp[ ACC’] nên d[[MNP]; [ACC’] ] = d[O; [ACC’]]

+ Ta có: OI ⊥ AC và OI ⊥ AA’ [vì AA’ ⊥ [ABCD] và OI ⊂ [ABCD]]

⇒ OI ⊥ [ACC’A’] nên d[O; [ACC’]] = OI

Suy ra

Chọn đáp án B

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng [CB’D’] và [BDA’] bằng

Hiển thị lời giải

+ Ta có: BD // B’D’ và A’D // B’C

⇒ [A'BD] // [B'CD'] nên ta có:

d[[A’BD]; [CB’D’]] = d[B’; [A’BD]] = d[A; [A’BD]]

+ Vì AB = AD = AA’ = a và A'B = A'D = BD = a√2

⇒ Hình chóp A.A’BD là hình chóp tam giác đều.

+ Gọi I là trung điểm A’B và G là trọng tâm tam giác A’BD.

⇒ AG ⊥ [A’BD]

Khi đó ta có: d[A ; [A’BD]] = AG

+ Vì tam giác A’BD đều cạnh a√2 nên

Theo tính chất trọng tâm ta có:

Trong tam giác vuông AGD có:

Chọn B

Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa [ACB’] và [DA’C’] bằng

Hiển thị lời giải

+ Ta có : AC // A’C’ và B’C // A’D

=> [ACB'] // [DA'C']

Lại có: D ∈ mp[DA'C'] nên d[[ACB'], [DA'C']] = d[D, [ACB']] = d[B, [ACB']]

+ Vì BA = BB’ = BC = a và nên hình chóp B.ACB’ là hình chóp tam giác đều

+ Gọi I là trung điểm AC và G là trọng tâm tam giác ACB’.

⇒ BG ⊥ [ACB’]

Khi đó ta có: d[B, [ACB']] = BG

+ Vì tam giác ACB’ đều cạnh a√2 nên

Theo tính chất trọng tâm ta có:

Trong tam giác vuông BGB’ có:

Chọn C

Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 4; AD = 3. Mặt phẳng [ACD’] tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.

Hiển thị lời giải

+ Gọi O là hình chiếu của D lên AC.

+ Khoảng cách giữa hai mặt đáy là:

Chọn đáp án B

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và DC. Gọi J là trung điểm SA và H là giao điểm của CN và DM, biết SH vuông góc [ABCD], SH = a√3. Khoảng cách từ [MDJ] đến mặt phẳng [SBP] tính theo a bằng

Hiển thị lời giải

+ Ta có: MJ // SB [vì MJ là đường trung bình của tam giác SAB]. Và MD // BP

⇒ [DMJ] //[ SBP]

⇒ d[[DMJ]; [SBP]] = d[H, [SBP]].

+ Ta chứng minh: NC ⊥ MD

Chọn C

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.