Khoảng cách từ điểm đến đồ thị

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

+ Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M [ x0; y0]. Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d[M; d] =

+ Cho điểm A[ xA; yA] và điểm B[ xB; yB] . Khoảng cách hai điểm này là :

AB =

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

Ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M[ 1; -1] đến đường thẳng [ a] : 3x - 4y - 21 = 0 là:

A. 1 B. 2 C. D.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng [ a] là:

d[M;a] = =

Chọn D.

Ví dụ 2: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: = 1 là:

A. 4,8 B. C. 1 D. 6

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d: = 1 8x + 6y - 48 = 0

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là :

d[ O; d] = = 4,8

Chọn A.

Ví dụ 3: Khoảng cách từ điểm M[2; 0] đến đường thẳng là:

A. 2 B. C. D.

Hướng dẫn giải

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

[d] :

Phương trình [ d] : 4[ x - 1] 3[ y - 2] = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0

+ Khoảng cách từ điểm M đến d là:

d[ M; d] =

= 2

Chọn A.

Ví dụ 4. Đường tròn [C] có tâm là gốc tọa độ O[0; 0] và tiếp xúc với đường thẳng
[d]: 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn [C] bằng:

A. R = 4 B. R = 6 C. R = 8 D. R = 10

Lời giải

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn [ C] nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d chính là bán kính R của đường tròn

R= d[O; d] =

= 10

Chọn D.

Ví dụ 5 . Khoảng cách từ điểm M[ -1; 1] đến đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 bằng:

A. B. 1 C. D.

Lời giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

d[ M; d] =

=

Chọn A.

Ví dụ 6. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng [a]: x - 3y + 4 = 0 và
[b]: 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng : 3x + y + 16 = 0 bằng:

A. 210 B. C. D. 2

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng [ a] và [ b] tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

A[ -1; 1]

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng là :

d[ A; ] = =

Chọn C

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A[ 1; 2] ; B[0; 3] và C[4; 0] . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

A. B. 3 C. D.

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

[ BC] : 3[x - 0] + 4[ y - 3] = 0 hay 3x + 4y - 12 = 0

chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d[ A; BC] = =

Chọn A.

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[3; -4]; B[1; 5] và C[3;1] . Tính diện tích tam giác ABC.

A. 10 B. 5 C. 26 D. 25

Lời giải

+ Phương trình BC:

Phương trình BC: 2[ x - 1] + 1[ y - 5] = 0 hay 2x + y - 7 = 0

d[ A;BC] =

= 5

+ BC = = 25

diện tích tam giác ABC là: S = .d[ A; BC].BC = .5.25 = 5

Chọn B.

Ví dụ 9: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1 : 4x - 3y + 5 = 0 và
d2: 3x + 4y 5 = 0, đỉnh A[ 2; 1]. Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1. B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A[2; 1] đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

S =

= 2 .

Chọn B.

Câu 1: Khoảng cách từ điểm M[ 2;0] đến đường thẳng là:

A. 2 B. C. D.

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

[d] :

=> Phương trình [d] : 4[ x - 1] 3[ y - 2] = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0.

+ Khi đó khoảng cách từ M đến d là:

d[M, d]= = 2

Câu 2: Đường tròn [ C] có tâm I [ -2; -2] và tiếp xúc với đường thẳng
d: 5x + 12y - 10 = 0. Bán kính R của đường tròn [ C] bằng:

A. R = B. R = C. R = 44 D. R =

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn [ C] nên khoảng cách từ tâm đường tròn [ C] đến đường thẳng d chính là bán kính đường tròn.

=> R = d[I; d] = =

Câu 3: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng [a] : 4x - 3y + 5 = 0 và
[b] : 3x + 4y - 5 = 0. Biết hình chữ nhật có đỉnh A[ 2 ;1]. Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Ta thấy: điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A đến hai đường thẳng trên.

Độ dài 2 cạnh là: d[ A; a] = = 2; d[A; b] = = 1

do đó diện tích hình chữ nhật bằng : S = 2.1 = 2

Câu 4: Cho hai điểm A[ 2; -1] và B[ 0; 100] ; C[ 2; -4] .Tính diện tích tam giác ABC ?

A. 3 B. C. D. 147

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng AC:

=> Phương trình AC: 1[ x - 2] + 0.[y + 1] = 0 hay x - 2= 0..

+ Độ dài AC = = 3 và khoảng cách từ B đến AC là:

d[B; AC] = = 2

=> Diện tích tam giác ABC là : S = AC.d[ B;AC] = .3.2 = 3 .

Câu 5: Khoảng cách từ A[3; 1] đến đường thẳng gần với số nào sau đây ?

A. 0, 85 B. 0,9 C. 0,95 D. 1

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

[d]:

=> [ d]: 2[x - 1] + 1[ y - 3] = 0 hay 2x + y - 5 = 0

=> d[A, d] =

0,894

Câu 6: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 và
3x + 4y + 5 = 0 đỉnh A[2; 1] . Diện tích của hình chữ nhật là

A. 6 B. 2 C. 3 D. 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Khoảng cách từ đỉnh A[2; 1] đến đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 là = 2

+ Khoảng cách từ đỉnh A[2; 1] đến đường thẳng 3x + 4y + 5 = 0 là = 3

=> Diện tích hình chữ nhật bằng 2.3 = 6

Câu 7: Tính diện tích hình bình hành ABCD biết A[ 1; -2] ; B[ 2; 0] và D[ -1; 3]

A. 6 B. 4,5 C. 3 D. 9

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

+ Đường thẳng AB:

=> Phương trình AB: 2[x - 1] 1[y + 2] = 0 hay 2x y - 4 = 0

+ độ dài đoạn AB: AB = = 5

Khoảng cách từ D đến AB: d[ D; AB]= =

=> Diện tích hình chữ nhật ABCD là S = AB.d[ D; AB] = 5. = 9

Câu 8: Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳn [d] : x + y - 2 = 0 và
[ ] : 2x + 3y - 5 = 0 đến đường thẳng [d] : 3x - 4y + 11 = 0

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

+ Giao điểm A của hai đường thẳng d và là nghiệm hệ phương trình

=> A[ 1; 1]

+ Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng [d] là :

d[ A; d] = = 2

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi