Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
1. Phương pháp tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, bài toán quan trọng nhất là phải dựng được hình chiếu vuông góc của điểm đó lên mặt phẳng.
Đang xem: Công thức tính nhanh khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Nếu như ở bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta đã biết trước mục tiêu cần hướng đến, thì ở bài toán dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chúng ta phải tự tìm ra đường thẳng [tự dựng hình] và chứng minh đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đã cho, tức là mức độ sẽ khó hơn bài toán chứng minh rất nhiều.
Tuy nhiên, phương pháp xác định hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng sẽ trở nên dễ dàng hơn nếu chúng ta nắm chắc hai kết quả sau đây.
Bài toán 1. Dựng hình chiếu vuông góc từ chân đường cao tới một mặt phẳng.
Cho hình chóp $ S.ABC $ cho có $ SA $ vuông góc với mặt đáy $ [ABC] $. Hãy xác định hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $[SBC]$.
Phương pháp. Để dựng hình chiếu của điểm $ A $ lên mặt phẳng $ [SBC] $, ta chỉ việc kẻ vuông góc hai lần như sau:
Trong mặt phẳng đáy $ [ABC] $, kẻ $ AH $ vuông góc với $ BC, H $ thuộc $ BC. $Trong mặt phẳng $ [SAH] $, kẻ $ AK $ vuông góc với $ SH, K $ thuộc $ SH. $
Hướng dẫn. Hai mặt phẳng $ [SAB],[SAD] $ cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến của chúng, là đường thẳng [ SA ] cũng vuông góc với mặt phẳng đáy [ [ABCD] ].
Nhặc lại định lý quan trọng, hai mặt phẳng vuông góc cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng [nếu có] cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
Lúc này, góc giữa đường thẳng [ SD ] và đáy chính là góc [ widehat{SDA} ] và góc này bằng [ 45^circ ]. Suy ra, tam giác [ SAD ] vuông cân tại [ A ] và [ SA=AD=a ].
Xem thêm: đồ án sản xuất socola
Tam giác [ SAB ] vuông cân có [ AK ] là đường cao và cũng là trung tuyến ứng với cạnh huyền, nên [ AK=frac{1}{2}SB=frac{asqrt{2}}{2} ].
Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ [SBC],$ chúng ta cố gắng nhìn ra mô hình giống như trong bài toán 1. Bằng việc kẻ vuông góc hai lần, lần thứ nhất, trong mặt phẳng [ [ABCD] ] ta hạ đường vuông góc từ [ A ] tới [ BC ], chính là điểm [ B ] có sẵn luôn. Kẻ vuông góc lần thứ hai, trong mặt phẳng [ [SAB] ] ta hạ đường vuông góc từ [ A ] xuống [ SB ], gọi là [ AK ] thì độ dài đoạn [ AK ] chính là khoảng cách cần tìm.
Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $[SBD] $ ta vẫn tiếp tục làm như kỹ thuật trong bài toán 1. Chúng ta kẻ vuông góc hai lần, lần thứ nhất từ [ A ] kẻ vuông góc xuống [ BC ], chính là tâm [ O ] của hình vuông luôn [vì hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau]. Nối [ S ] với [ O ] và từ [ A ] tiếp tục hạ đường vuông góc xuống [ SO ], gọi là [AH ] thì chứng minh được [ H ] là hình chiếu vuông góc của [ A ] lên mặt phẳng [ [SBD] ]. Chúng ta có ngay
$$ frac{1}{AH^2}=frac{1}{AS^2}+frac{1}{AB^2}+frac{1}{AD^2}=frac{3}{a^2} $$
Từ đó tìm được $AH=frac{asqrt{3}}{3}$ và khoảng cách cần tìm là $ d[A,[SBD]=AH=frac{asqrt{3}}{3}$.
Ví dụ 3. Cho hình tứ diện $ ABCD $ có cạnh $ AD $ vuông góc với mặt phẳng $ [ABC] $, ngoài ra $ AD = AC = 4 $ cm; $ AB = 3 $ cm; $ BC = 5 $ cm. Tìm khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ [BCD]. $
Ví dụ 4. Cho hai mặt phẳng $ [P],[Q] $vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến $ Delta. $ Lấy $ A , B $ thuộc $ Delta $ và đặt $ AB=a $. Lấy $ C , D $ lần lượt thuộc hai mặt phẳng $ [P],[Q] $ sao cho $ AC , BD $ vuông góc với $ Delta $ và $ AC=BD=a. $ Tính khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ [BCD].$
Hướng dẫn. Hạ $ AHperp BC $ thì $ d[A,[BCD]]=AH=frac{a}{sqrt{2}} $.
Ví dụ 5. Cho hình hộp đứng $ $ABCD$.A’B’C’D’ $ có đáy là hình vuông, tam giác $ A’AC $ vuông cân, $ A’C=a $. Tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ [BCD’] $ theo $ a. $
Hướng dẫn. Chú ý rằng mặt phẳng $ [BCD’] $ chính là mặt phẳng $ [BCD’A’] $. Đáp số, khoảng cách từ $ A$ đến mặt phẳng $[BCD’] $ bằng $frac{asqrt{6}}{3}$.
Khi việc tính trực tiếp gặp khó khăn, ta thường sử dụng kĩ thuật dời điểm, để đưa về tính khoảng cách của những điểm dễ tìm được hình chiếu vuông góc hơn.
Ví dụ 6. Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ ABC.A’B’C’ $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A,AB=3a,AC=4a. $ Biết cạnh bên $ AA’=4a$ và $ M $ là trung điểm $ AA’ $. Hãy tính khoảng cách $ {d}[M,[A’B’C]] $ và $ {d}[M,[A’B’C]] $.
Xem thêm: Khóa Học Giá Xây Dựng Tại Giá Xây Dựng, Giá Xây Dựng
Ví dụ 7. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác vuông tại $ B,$ $AB=3a,$ $ BC=4a.$ Mặt phẳng $ [SBC] $ vuông góc với mặt đáy và $ SB=2asqrt{3},$ $widehat{SBC}=30^circ. $ Tính khoảng cách từ điểm $B$ tới mặt phẳng $[SAC]. $
Hướng dẫn. Gọi $ SH $ là đường cao của tam giác $ SBC $ thì $ SHperp [ABC]. $ Ta có $$ frac{{d}[B,[SAC]]}{{d}[H,[SAC]]}=frac{BC}{HC}=4 $$ Từ đó tính được $ {d}[B,[ABC]] =frac{6a}{sqrt{7}}.$
3. Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Mời thầy cô và các em học sinh tải các tài liệu về bài toán khoảng cách trong hình học không gian tại đây:
Tổng hợp tài liệu HHKG lớp 11 và ôn thi ĐH, THPT QG đầy đủ nhất, mời thầy cô và các em xem trong bài viết 38+ tài liệu hình học không gian 11 hay nhất
Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Cách tính
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Nhắc lại: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng [d] là MH , với H là hình chiếu của M trên mặt phẳng [d]. Kí hiệu: PHƯƠNG PHÁP Bài toán: Tìm khoảng cách từ điểm 0 đến mặt phẳng [a]. Như vậy, muốn tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt phẳng. Việc xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng ta thường dùng một trong các cách sau: Cách 1: Bước 1. Tìm hình chiếu H của 0 lên [a]. Tìm mặt phẳng [8] qua 0 oà vuông góc với [a]. Tìm A = [a] [B]. Trong mặt phẳng [8], kẻ OH IA tại H. PH là hình chiếu vuông góc của O lên [a]. Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ 0 đến [a]. Lưu ý: Chọn mặt phẳng [8] sao cho dễ tìm giao tuyến với [a]. Cách 2: Nếu đã có trước đường thẳng d [a] thì kẻ Ox cắt [a] tại H. Lúc đó, H là hình chiếu Ouông góc của. Một số chú ý và thủ thuật giải khoảng cách quan trọng: Chú ý đến việc đưa bài toán tìm khoảng cách từ một điểm [đề bài cho bất kỳ đến một mặt phẳng về bài toán tìm khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đó và tìm mối liên hệ giữa hai khoảng cách này. Từ đó suy ra được khoảng cách theo yêu cầu của đề bài. Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau: Cho hình chóp có đỉnh S có các cạnh bên có độ dài bằng nhau: SA = SB = SC = SD. Khi đó hình chiếu 0 của S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp đi qua các đỉnh [ A, B, C, D,…] nằm trên mặt đáy. Nếu đáy là: Tam giác đều, O là trọng tâm. Tam giác vuông, O là trung điểm cạnh huyền. Hình vuông, hình chữ nhật, O là giao điểm của 2 đường chéo đồng thời là trung điểm mỗi đường. Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách: Đưa bài toán khoảng cách về bài toán tìm chiều cao của khối đa diện mà khối đa diện đó có thể xác định được dễ dàng thể tích và diện tích đáy. Phương pháp này được sử dụng trong trường hợp không thể tính được khoảng cách bằng cách công cụ tính toán như: định lí Pytago, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý cô-sin.
Các bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng hay gặp. Khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên. Bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên [SAB]. Khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới mặt đứng [chứa đường cao]. Bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến mặt bên [SHB].