Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba là gì? Lý thuyết và bài tập về phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc 3 ra sao? Trong phạm vi bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giới thiệu đến quý vị và các bạn nội dung về phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc 3.
Điều kiện cần và đủ để hàm số bậc ba có điểm cực trị
Xét hàm số \[y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d [a\neq 0]\] có \[y’ = 3ax^{2} + 2bx + c\]
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm bậc 3
Hàm số bậc ba \[y = f[x] = ax^{3} + bx^{2} + cx + d [a\neq 0]\] có hai điểm cực trị là \[x_{1}, x_{2}\].
Thực hiện phép chia f[x] cho f’[x] ta có:
f[x] = Q[x].f’[x] + Ax + B
Suy ra, ta có: \[f[x]\left\{\begin{matrix} y_{1} = f[x_{1} = Ax_{1} + B]& \\ y_{2} = f[x_{2} = Ax_{2} + B] & \end{matrix}\right.\]
Suy ra, các điểm \[[x_{1};y_{1}], [x_{2};y_{2}]\] nằm trên đường thẳng y = Ax + B
Ví dụ
Viết phương trình đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \[y=x^{3}-3x+2\]
Giải:
Ta có: \[y^{‘}=3x^{2}-3\]
Hoành độ 2 điểm cực trị là nghiệm của phương trình:\[y^{‘}=0\]
\[y^{‘}=0\Leftrightarrow 3x^{2}-3=0\]
Vậy \[x_{1}=1, y_{1}=0\]
hoặc \[x_{2}=-1 , y_{2}=4\]
Vậy hai điểm cực trị là \[M_{1}=[1;0]\], \[M_{2}=[-1;4]\]
Phương trình đường thẳng \[\Delta\] đi qua hai điểm cực trị là:
\[\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}\]=\[\frac{x-1}{-1-1}=\frac{y-0}{4-0}\]
\[\Leftrightarrow 2x+y-2=0\]
Như vậy, qua nội dung bài viết trên đây, DINHNGHIA.VN đã giới thiệu đến các bạn chủ đề phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc 3. Hy vọng kiến thức trong bài viết đã cung cấp cho bạn những lý thuyết và bài tập hữu ích về phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:
[Nguồn: www.youtube.com]
Xem thêm:
Please follow and like us:
Cách 1:
+] Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số theo quy tắc 1 :
Quy tắc 1:
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Tính $f'\left[ x \right]$, tìm các điểm tại đó $f'\left[ x \right] = 0$ hoặc không xác định.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.
+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.
+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.
+] Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm $A\left[ {{x_1};{y_1}} \right],B\left[ {{x_2};{y_2}}\right]$ [với ${x_1} \ne {x_2};{y_1} \ne {y_2}$] là :$\dfrac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}}$
Cách 2:
Muốn tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số ta lấy \[y\] chia cho \[y’\] và lấy phần dư.
Cách 3: Sử dụng MTCT cho hàm bậc 3 [Chỉ sử dụng khi đã được học chương số phức]
Bước 1: Tính y' và y''
Bước 2: Bấm máy và sử dụng chức năng CALC
Mode 2 và nhập: $y-\dfrac{y'.y''}{18a}$
Trong đó a là hệ số của $x^3$
Bấm tiếp: CALC + SHIFT+ "$i$" "="
Với $i$ là đơn vị ảo [số phức] trên máy tính.
Bước 3: Kết luận
Kết quả nhận được có dạng $ a+bi $ thì phương trình đường thẳng cần tìm là $y=bx+a$
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Xét hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d[a ≠ 0]
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2
Thực hiện phép chia f[x] cho f'[x] ta được f[x] = Q[x].f'[x] + ax + b
Gọi [x1;y1] và [x2;y2] là các điểm cực trị thì f'[x1] = f'[x2] = 0
Do đó, ta có
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y = ax + b.
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số y = x3 - 2x2 - x + 1
Lời giải
Ta có y' = 3x2 - 4x - 1, y' = 0 có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có 2 điểm cực trị
Thực hiện phép chia y cho y' ta được
Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình
Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 3[m2 - 1]x - m3 có hai điểm cực trị A và B. Viết phương trình đường thẳng AB.
Lời giải
Thực hiện phép chia y cho y' ta được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là
AB: y = [-m2 + 6m - 9]x - m2 + 3m - 3
Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x3 + 3[m - 1]x2 + 6[m - 2]x - 1 song song với đường thẳng y = -4x + 1.
Lời giải
Ta có y' = 6x2 + 6[m - 1]x + 6[m - 2]
Hàm số có cực trị ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ Δ' > 0 ⇔ 9[m - 1]2 - 36[m - 2] > 0 ⇔ 9[m - 3]2 > 0 ⇔ m ≠ 3
Thực hiện phép chia y cho y' ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
d: y = [-m2 + 6m - 9]x - m2 + 3m - 3
Khi đó d song song với đường thẳng y = -4x + 1
Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + mx có hai điểm cực trị Avà B đối xứng nhau qua đường thẳng x - 2y - 5 = 0
Lời giải
Ta có: y' = 3x2 - 6x + m; y' = 0 ⇔ 3x2-6x + m = 0
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi Δ' = 9 - 3m > 0 ⇔ m < 3[*]
Thực hiện phép chia y cho y', suy ra phương trình AB:
Đường thẳng d: x - 2y - 5 = 0 được viết lại
Do A,B đối xứng nhau qua dthì thỏa mãn điều kiên cần là
Với m = 0 hàm số có dạng y = x3 - 3x2 có hai điểm cực trị A[0;0], B[2;-4]
Khi đó trung điểm AB là I[1;-2] ∈ d [thỏa mãn điều kiện đủ]
Vậy giá trị m = 0 là đáp số của bài toán.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp