Thật vậy, nếu chohai đường thẳng [d1] và [d2] song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, tức là:
d[d1; d2]= d[ A; d2] trong đó A là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d1.
*Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song songta thực hiện như sau:
+ Bước 1: Đưa phương trình đường thẳng d1; d2 đã cho về dạng tổng quát.
+ Bước 2: Lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d1.
+ Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d2.
+ Bước 4: Kết luận: d[d1;d2]= d[A;d2].
* Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng qua các bài minh họa
* Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1: 2x - 3y - 12 = 0 và d2: 4x - 6y + 3 = 0:
* Lời giải:
- Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng d1 và d2 ta có:
2/4 = -3/-6 -12/3
Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d1 // d2.
- Ta lấy điểm A[3;-2] d1 khi đó khoảng cách từ điểm A tới d2 chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 và d2.
d[d1;d2] = d[A;d2] = |4.3 - 6.[-2] + 3|/[42 + [-6]2] = 27/52.
* Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1: 6x - 8y + 3 = 0 và d2: 3x - 4y - 6 = 0.
* Lời giải:
- Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng d1và d2ta có:
6/3 = -8/-4 3/-6
Hai đường thẳng d1, d2 đã cho song song với nhau: d1// d2.
- Lấy điểm B[2;0] d2khi đó khoảng cách từ điểm B tới d1chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1và d2.
d[d1;d2] = d[B;d1] = |6.2 - 8.0 + 3|/[62+ 82] = 15/100 = 15/10 = 3/2
> Lưu ý: Việc chọn 1 điểm thuộc đường thẳng d1[hoặc d2] các em nên chọn giá trị x, y sao cho là số nguyên nhỏ [như 0; 1; -1; 2; -2] thỏa phương trình đường thẳng d1 [hoặc d2] để thuận tiện tính toán.
* Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1: 7x + y - 3 và d2có phương trình tham số: x = -2 + t và y = 2 - 7t.
* Lời giải:
- Ta cần đưa phương trình tham số của d2 về phương trình tổng quát:
d2: qua điểm A[-2;2] có VTCP u[1;-7] suy ra VTPT n[7;1]
Phương trình tổng quát của d2là: 7[x + 2] + 1[y - 2] = 0 7x + y + 12 = 0
- Ta xác định vị trí d1 và d2, có: 7/7 = 1/1 -3/12 nên d1//d2
- Như vậy, giờ ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1:7x + y - 3 và d2:7x + y + 12 = 0.
- Ta lấy ngay điểm A[-2;2] d2. ta có:
d[d2;d1] = d[A;d1] = |7.[-2] + 1.2 - 3|/[72+ 12] = 15/50 = 3/2 = 32/2.
* Ví dụ 4:Tập hợp các điểm cách đường thẳng : 4x + 3y - 6 = 0 một khoảng bằng 1?
* Lời giải:
-Gọi điểm M [x; y] là điểm cách đường thẳng một khoảng bằng 1. Như vậy ta có:
d[M;Δ] = 1 |4x + 3y - 6|/[42 + 32] = 1
|4x + 3y - 6| = 5 4x + 3y - 6 = 5 hoặc4x + 3y - 6 = -5
4x + 3y - 11 = 0 hoặc4x + 3y - 1 = 0.
- Vậy tập hợp các điểm cách một khoảng bằng 1 là 2 đường thẳng:4x + 3y - 11 = 0 và 4x + 3y - 1 = 0.
* Ví dụ 5:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 6x + 8y - 20 = 0 và d2: 6x + 8y + 22 = 0 song song nhau.Viết phương trình đường thẳngΔvừa song song và cách đều với d1; d2.
* Lời giải:
-Lấy điểm M [x; y] thuộc đường thẳng Δ, ta có:
d[M;d1] = d[M;d2] |6x + 8y - 20|/[62 + 82] =|6x + 8y + 22|/[62+ 82]
|6x + 8y - 20|=|6x + 8y + 22|
6x + 8y - 20 = 6x + 8y + 22 hoặc6x + 8y - 20 = -[6x + 8y + 22]
-44 = 0 [vô lý] hoặc 12x + 16y + 2 =0 hay 6x + 8y + 1 = 0
Vậy đường thẳngΔ: 6x + 8y + 1 = 0 song song và cách đều d1; d2