SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAIĐơn vị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINHMã số: [Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi]SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMMỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌCNgười thực hiện: Phạm Hữu DanhLĩnh vực nghiên cứu: Toán Học.Năm học: 2011-2012SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌCI. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN1. Họ và tên: PHẠM HỮU DANH2. Ngày tháng năm sinh: 01/02/19863. Nam, nữ: Nam4. Địa chỉ: 177/2 Nguyễn Ái Quốc, phường Tân Biên, Biên Hòa, Đồng Nai5. Điện thoại: 09044707536. E-mail: 7. Chức vụ: Giáo viên8. Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế VinhII. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO- Học vị [hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ] cao nhất: Cử nhân.- Năm nhận bằng: 2008- Chuyên ngành đào tạo: Toán học.III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học.Số năm có kinh nghiệm: 4.- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1“Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết chia hết, đồng dư”.Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác2Tên SKKN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁCTRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌCI. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀILượng Giác là một trong những lĩnh vực cơ bản nhất của toán học, đã tồn tại vàtiếp tục phát triển trong hàng ngàn năm qua. Lượng giác không chỉ là một nhánh củađại số mà còn là một ngành toán học độc lập, có nhiều ứng dụng trong khoa học vàthực tiễn.Trong khuôn khổ toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, Phươngtrình lượng giác và Hệ thức lượng trong tam giác. Tuy nhiên lượng giác xuất hiện trongnhiều lĩnh vực khác của toán học như: Hình học, Tích phân.Chuyên đề Một Số Ứng Dụng Của Lượng Giác Trong Đại Số Và Hình Họcnhằm giúp các em học sinh có một cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác. Đó làviệc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các bài toán về đại số vàhình học. Bản thân các bài toán này có thể không liên quan gì tới lượng giác.Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho thầy cô và các em học sinh có điều kiệnnghiên cứu sâu hơn những điều thú vị trong các phép thế lượng giác.II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI1. Cơ sở lý luậnNhững vấn đề cơ bản về lượng giác như công thức lượng giác, phương trìnhlượng giác… đều đã được đề cập tới trong chương trình Trung học phổ thông. Tuynhiên trong khuôn khổ sách giáo khoa thì những ứng dụng của lượng giác hầu nhưkhông được nhắc đến.Chuyên đề này được viết nhằm giúp độc giả có thể thấy được những ứng dụngcủa lượng giác trong việc giải quyết các bài toán khác. Qua đó rèn luyên kĩ năng tưduy, phát triển bài toán ở nhiều góc độ khác nhau.Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác cơ bản. Độc giả muốn tìm hiểutất nhiên phải nắm các tính chất trong chương trình phổ thông.2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tàiTrong $1, tác giả trình bày những kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc giải cácbài tập về sau. Trong phần này, các Phép thế lượng giác phổ biến sẽ được đề cập đến.$2 nói về Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số. Các dạng toán cơ bảnnhư Giải phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức sẽ được nhắc tới.Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác3$3 đề cập đến Ứng dụng của lượng giác trong hình học. Bản thân lượng giácxuất phát từ hình học. Tiêu biểu là Hệ thức lượng trong tam giác. Tài liệu còn đưa ramột số bài toán hình học phẳng mà có thể giải được bằng công cụ lượng giác.Do chuyên đề không nhắc lại những kiến thức về lượng giác cơ bản nên tác giảchủ yếu sẽ đưa ra những bài tập để bạn đọc tham khảo. Các em học sinh cần có nhữngkiến thức cơ sở về lượng giác để theo dõi những bài tập dưới đây.III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Chuyên đề này đã được áp dụng trong việc giảng dạy cho học sinh khối 10. Hiệnnay tài liệu về phép thế lượng giác không nhiều nên đây có thể là cẩm nang để các emtra cứu khi cần thiết, qua đó phát triển thêm tư duy toán học của mình.Nội dung này được truyền đạt tới học sinh trong khoảng 16 tiết. Các bài tậpđược trình bày chi tiết trong tiến trình lên lớp và một số bài luyện tập để học sinhnghiên cứu ở nhà.Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, học sinh đã có một cái nhìn vữngchắc hơn về những những ứng dụng của lượng giác. Các em đã thay đổi cách nhìnlượng giác như một ngành độc lập nhưng đã thấy được sự hữu ích của phép thế lượnggiác. Qua đó thêm tinh thần say mê toán học thông qua những vẻ đẹp vốn có của nó.IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNGĐề tài này có thể áp dụng cho khuôn khổ các trường Trung học phổ thông, đặcbiệt dành cho những học sinh khá giỏi về toán có hứng thú về lượng giác.Để học sinh thấy được ý nghĩa của các phép thế lượng giác, giáo viên có thể giảimột số bài tập bằng phương pháp thông thường và đối chiếu với cách giải bằng phươngpháp lượng giác.V. TÀI LIỆU THAM KHẢO1. Tài liệu chuyên toán Đại Số Và Giải Tích – Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng,Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng - NXB Giáo Dục Việt Nam – 2010.2. Chuyên đề lượng giác – Huỳnh Công Thái - NXB Đại Học Quốc Gia TP.HCM- 2005.3. Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán: Lượng Giác – Vũ Dương Thụy, NguyễnVăn Nho - NXB Giáo Dục – 2005.NGƯỜI THỰC HIỆN[Ký tên và ghi rõ họ tên]Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác4SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAIĐơn vị CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐộc lập - Tự do - Hạnh phúc , ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMNăm học: –––––––––––––––––Tên sáng kiến kinh nghiệm: Họ và tên tác giả: Chức vụ: Đơn vị: Lĩnh vực: [Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác]- Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học bộ môn: - Phương pháp giáo dục - Lĩnh vực khác: Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị Trong Ngành 1. Tính mới [Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây]- Có giải pháp hoàn toàn mới - Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 2. Hiệu quả [Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây]- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trongtoàn ngành có hiệu quả cao - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơnvị có hiệu quả 3. Khả năng áp dụng [Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây]- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt Khá Đạt - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đivào cuộc sống: Tốt Khá Đạt - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quảtrong phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người cóthẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN[Ký tên và ghi rõ họ tên]THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ[Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu]Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác5$1. PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁCI. Hàm Số Lượng Giác Ngượca] Hàm số[ ]sin : ; 1;12 2sinx y xπ π − → − =alà một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược[ ]arcsin : 1;1 ;2 2arcsinx y xπ π − → − =ab] Hàm số[ ] [ ]cos: 0; 1;1cosx y xπ→ −=alà một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược[ ] [ ]arccos : 1;1 0;arccosx y xπ− →=ac] Hàm sốtan : ;2 2tanx y xπ π − → ÷ =¡alà một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngượcarctan : ;2 2arctanx y xπ π → − ÷ =¡ad] Hàm số[ ]cot : 0;cotx y xπ→=¡alà một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược[ ]arccot : 0;arccotx y xπ→=¡aII. Các Phép Thế Lượng Giác Thường Sử Dụng1. Một số phép thế lượng giác chungGiáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác6a] Nếu [ ]0x a a≤ > thì có thể đặt:[ ]sin ; ;2 2cos ; 0;x ax aπ πα αα α π = ∈ − = ∈Biểu thức áp dụng: 2 2a x−.b] Nếu 2 2 2x y a+ = thì có thể đặt:[ ]sin; 0;2cosx ay aαα πα=∈=c] Nếu x a≥ thì có thể đặt:,cos sina ax xα α= =Biểu thức áp dụng: 2 2x a−.d] Với mọi x đều có thể đặt:tan ; ;2 2xπ πα α = ∈ − ÷ Biểu thức áp dụng: 2 2,1x yx axy++−.2. Một số phép thế lượng giác trong tam giáca] Nếu 1xy yz zx+ + = thì tồn tại các góc , ,α β γ sao cho:tan , tan , tan2 2 2x y zα β γα β γ π= = =+ + =b] Nếu x y z xyz+ + = thì tồn tại các góc , ,α β γ sao cho:tan , tan , tanx y zα β γα β γ π= = =+ + =Đặc biệt:Nếu ba số dương x, y, z thỏa 1xy yz zx+ + = thì tồn tại tam giác ABC sao cho:tan , tan , tan2 2 2A B Cx y z= = =Nếu ba số dương x, y, z thỏa x y z xyz+ + = thì tồn tại tam giác nhọn ABC thỏa:tan , tan , tanx A y B z C= = =Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác7$2. ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐI. Chứng Minh Đẳng Thức, Bất Đẳng ThứcBài 1:Cho x y≥. Chứng minh rằng: 2 2 2 2x y x y x x y x x y+ + − = + − + − −.GiảiNếu x=0 thì y=0: đẳng thức hiển nhiên đúng.Nếu 0x ≠: chia hai vế cho |x|2 21 1 1 1 1 1y y y yx x x x + + − = + − + − − ÷ ÷ [1]Vì 1yx≤ nên có thể đặt [ ]cos 0yxα α π= ≤ ≤. [ ]1 1 cos 1 cos 1 sin 1 sin1 cos 1 cos 1 sin 1 sinα α α αα α α α⇔ + + − = + + −⇔ + + − = + + −Đẳng thức cuối đúng, ta có điều phải chứng minh.Bài 2:Cho a, b, c là các số thuộc khoảng [0;1]. Chứng minh: [ ] [ ] [ ]1 1 1 1abc a b c+ − − −