Mục lục bài viết
- 1. Bội chung nhỏ nhất là gì?
- 1.1. Bội là gì?
- 1.2. Bội chung và bội chung nhỏ nhất
- 2. Cách tìm Bội chung nhỏ nhất
- 3. Tìm Bội chung nhỏ nhất nhanh nhất
- 4. Bài tập
- 4.1. Dạng 1. Tìm bội chung, bội chung nhỏ nhất của các số cho trước
- 4.2. Dạng 2. Bài toán đưa về việc tìm BCNN của hai hay nhiều số
- 4.3. Dạng 3. Bài toán có lời văn
1. Bội chung nhỏ nhất là gì?
1.1. Bội là gì?
Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b thì ta nói a là bội của b
Tập hợp các bội của b kí hiệu: B[b]
Ví dụ: B[2] = {0; 2; 4; 6; 8;....}
1.2. Bội chung và bội chung nhỏ nhất
- Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n vừa là bội của a vừa là bội của b.
Kí hiệu: Tập hợp các bội chung của a và b là: BC[a,b]
Ví dụ: BC[4,5] = {0; 20; 40; 60;...}
- Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b.
Kí hiệu: Tập hợp các bội chung nhỏ nhất của a và b là: BCNN[a,b]
Ví dụ: BCNN[4,5] = {20}
2. Cách tìm Bội chung nhỏ nhất
Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
Ví dụ: Tìm BCNN của 42; 70 và 180
Đáp án
Ta có: 42 = 6 . 7 = 2 . 3 . 7
70 = 10 . 7 = 2 . 5 . 7
180 = 18 . 10 = 2 . 9 . 10 = 2 . 3 . 3 . 2 . 5 = 22 . 32 . 5
BCNN[42; 70; 180] = 22 . 32 . 5 . 7
Lưu ý:
- Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cung nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.
Ví dụ: BCNN[5; 7; 8] = 5 . 7 . 8 = 280
- Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó.
Ví dụ: BCNN[12; 16; 48] = 48
3. Tìm Bội chung nhỏ nhất nhanh nhất
Để việc giải toán về BCNN được nhanh, nếu biết áp dụng "Thuật toán Euclid" [Ơ-clit]: Biết rằng: Hai số nguyên a và b có BCNN là [a; b] và ƯCLN là [a; b] thì:
|a . b| = [ a; b ] . [ a; b]
⇒
Tức là, tích 2 số nguyên |a . b| = ƯCLN [a; b] x BCNN [a; b]
Ví dụ: Cho a = 12; b = 18
=> ƯCLN [12; 18] = 6 thì BCNN [12; 18] = [12 . 18] : 6 = 36
Nếu làm theo cách tính thông thường, ta phải là như sau:
12 = 2 . 2 . 3 = 22 . 3
18 = 2 . 3 . 3 = 2 . 32
=> BCNN [12; 18] = 22 . 32 = 36
4. Bài tập
4.1. Dạng 1. Tìm bội chung, bội chung nhỏ nhất của các số cho trước
Phương pháp giải:
- Để biết một số có là bội chung của hai số, ta kiểm tra xem số này có chia hết cho hai số đó hay không?
- Để viết tập hợp các bội chung của hai hay nhiều số, ta viết tập hợp các bội của mỗi số rồi tìm giao của các tập hợp đó.
- Thực hiện quy tắc "ba bước" để tìm BCNN của hau hay nhiều số đó:
+ Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
+ Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng
+ Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
- Có thể nhẩm BCNN của hai hay nhiều số bằng cách nhân số lớn nhất lần lướt với 1; 2; 3; 4.... cho đến khi được kết quả là một số chia hết cho các số còn lại.
Bài 1. Tìm:
a. BCNN [15; 18]
b. BCNN [84; 108]
c. BCNN [33; 44; 55]
d. BCNN [8; 18; 30]
e. BCNN [1; 12; 27]
f. BCNN [18; 24; 30]
g. BCNN [5; 9; 11]
h. BCNN [18; 24; 30]
Đáp án
a. Ta có: 15 = 3 . 5
18 = 2 . 32
BCNN [15; 18] = 2 . 5 . 32 = 90
b. 84 = 22 . 3 . 7
108 = 22 . 33
BCNN [84; 108] = 22 . 33 . 7 = 756
c. 33 = 3 . 11
44 = 4 . 11
55 = 5 . 11
BCNN [33; 44; 55] = 3 . 4 . 5 . 11 = 660
d. 8 = 23
18 = 2 . 32
30 = 2 . 3 . 5
BCNN [8; 18; 30] = 23 . 32 . 5 = 240
e. 1 = 1
12 = 22 . 3
27 = 32
BCNN [1; 12; 27] = 1 . 22 . 32 = 108
f. 18 = 2 . 32
24 = 23 . 3
30 = 2 . 3 . 5
BCNN [18; 24; 30] = 23 . 32 . 5 = 360
g. Ta có 5 và 11 là hai số nguyên tố và 9 = 32
BCNN [5; 9; 11] = 5 . 32 . 11 = 495
h. Dễ thấy 48 chia hết cho 12 và 48 chia hết cho 16 nên BCNN [12; 16; 48] = 48
Lưu ý:
Ở câu g có 5; 9 và 11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên BCNN [5; 9; 11] = 5 . 9 . 11
Ở câu h: Dựa vào nhận xét:
Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c thì BCNN [a; b; c] = a
Bài 2. Tìm các bội chung nhỏ hơn 600 của 40 và 180
Đáp án
Cách 1: Tìm bội chung của 40 và 180 bằng cách nhân với 0; 1; 2; 3; 4; 5; 5...cho đến khi được số chia hết cho 40, ta được:
BC [40; 180] = {0; 360; 720;...}
Vậy các bội chung nhỏ hơn 600 của 40 và 180 là 0 và 360
Cách 2: Ta có:
40 = 23 . 5
180 = 22 . 32 . 5
=> BCNN [40; 180] = 23 . 32 . 5 = 360
Lấy 360 lần lượt nhân với 0; 1; 2; 3... ta được:
x € BC [40; 180] | x