Bài 3. Cho hình thoi \[ABCD\] có \[\widehat A = {60^0}\]. Gọi \[E, F, G, H\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB, BC, CD, DA\]. Chứng minh rằng đa giác \[EBFGDH\] là lục giác đều.
Giải
\[ABCD\] là hình thoi, \[\widehat A = {60^0}\] nên \[\widehat B = {120^0}\], \[\widehat D = {120^0}\].
\[\Delta EAH\] là tam giác đều [vì tam giác cân có một góc \[60^0\] nên \[\widehat {BEH} = {120^0}\],\[\widehat {DHE} = {120^0}\].
Tương tự: \[\widehat {BFG} = {120^0},\widehat{F GD} = {120^0}\]
Vậy đa giác \[EBFGDH\] có tất cả các góc bằng nhau, mặt khác \[EBFGDH\] cũng có tất cả các cạnh bằng nhau [ bằng nửa cạnh hình thoi]
Cho hình thoi ABCD có góc ∠A = 60\[^0\]. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng đa giác EBFGDH là lục giác đều.
Hướng dẫn giảiGóc A = \[60^0\] và AB = AD nên \[\triangle\]ABD đều.
\=> BD = AB = AD.
EH là đường trung bình của \[\triangle\]ABD.
\=> EH = \[\dfrac{BD}{2}\]
FG là đường trung bình của \[\triangle\]BCD.
\=> FG = \[\dfrac{BD}{2}\]
Lại có :
BE = \[\dfrac{AB}{2}\] BF = \[\dfrac{BC}{2}\]
DH = \[\dfrac{AD}{2}\] DG = \[\dfrac{DC}{2}\] [gt]
Do đó : BE = EH = HD = DG = GF = FB [1]
\[\triangle\]AEH có : \[\widehat{A}=60^0\] và AE = AH nên là tam giác đều.
\=> \[\widehat{AEH}=60^0\] \=> \[\widehat{BEH}=120^0\]
Tương tự : \[\widehat{EHD}=120^0,\widehat{DGF}=120^0,\widehat{BFG}=120^0\]
Mặt khác : \[\widehat{B}=60^0,\widehat{D}=120^0\]
Do đó : \[\widehat{E}=\widehat{B}=\widehat{F}=\widehat{G}=\widehat{D}=\widehat{H}=120^0\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra : Lục giác EBFGDH là lục giác đều.
Cho hình thoi \[ABCD\] có góc \[\widehat{A} = 60^o.\] Gọi \[E, \,F,\, G,\, H\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB,\, BC,\, CD,\, DA.\] Chứng minh rằng đa giác \[EBFGDH\] là lục giác đều.
Hướng dẫn:Bước 1: Chứng minh \[EB = BF = GD = DH = EH = FG\]
Bước 2: Chứng minh \[\widehat{EBF} = \widehat{HDG} = \widehat{HEB} = \widehat{BFG} = \widehat{FGD} = \widehat{DHE}\]
Bài giải \[ABCD\] là hình thoi [giả thiết] \[\Rightarrow AB = BC = CD = DA\] [tính chất] Mà \[E,\, F,\, G,\, H\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB,\, BC,\, CD,\, DA\] \[\Rightarrow EB = BF = GD = DH = \dfrac{AB}{2} \,\,\,\, [1]\] Xét \[\triangle{ABD}\] có: \[AB = AD\] [chứng minh trên] \[\widehat{A} = 60^o\] [giả thiết] \[\Rightarrow \triangle{ABD}\] đều \[\Rightarrow AB = BD = DA \,\,\,\,\, [2]\] Lại có: \[E,\, H\] lần lượt là trung điểm của \[AB, \, AD\] [giả thiết] \[\Rightarrow EH\] là đường trung bình của \[\triangle{ABD}\] \[\Rightarrow EH = \dfrac{BD}{2} \] Tương tự ta chứng minh được: \[FG = \dfrac{BD}{2}\] \[\Rightarrow EH = FG = \dfrac{BD}{2} \,\,\,\,\,[3]\] Từ \[[2]\] và \[[3] \Rightarrow EH = FG = \dfrac{AB}{2} \,\,\,\, [4]\] Từ \[[1]\] và \[[4] \Rightarrow EB = BF = GD = DH = EH = FG \,\,\,\, [*]\] Tương tự ta chứng minh được: \[\triangle{CBD},\, \triangle{AEH},\, \triangle{CFG}\] là các tam giác đều nên: \[\widehat{EBF} = \widehat{HDG} = 120^o\] \[\widehat{HEB} = \widehat{BFG} = \widehat{FGD} = \widehat{DHE} = 120^o\] [các góc ngoài của hai tam giác đều \[AEH\] và \[FGC\]] Vậy đa giác \[EBFGDH\] có 6 góc bằng nhau \[[**]\] Từ \[[*]\] và \[[**] \Rightarrow EBFGDH\] là lục giác đều [đpcm]
Xem video bài giảng và làm thêm bài luyện tập về bài học này ở đây để học tốt hơn.