Bài tập biến đổi laplace ngược có lời giải năm 2024

1. LỤC____________________________________________________________________1 I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace: _____________________________________2 A. HÀM GỐC:__________________________________________________________________ 2 B. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace ______________________________________________________ 2 C. MỘT SỐTÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Laplace: __________________________________ 3 Ví dụ: _________________________________________________________________________________3 D. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace NGƯỢC: _____________________________________________ 4 Định nghĩa:_____________________________________________________________________________ 4 II. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG:______________5 A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: _____________________________________________________ 5 B. CÁC VÍ DỤ: _________________________________________________________________ 6 Ví dụ1: ________________________________________________________________________________6 Ví dụ2: ________________________________________________________________________________7 Ví dụ3: ________________________________________________________________________________8 III. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾPHẢI LÀ HÀM BẬC THANG: _____________________________________________________________________9 1) Định nghĩa: __________________________________________________________________ 9 2) Biến đổi Laplace: ____________________________________________________________ 10 Ví dụ: ________________________________________________________________________________11 3) Biến đổi Laplace ngược: ______________________________________________________ 12 Ví dụ1: _______________________________________________________________________________12 Ví dụ2: _______________________________________________________________________________14 IV. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI HỆPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆSỐHẰNG ______15 A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: ____________________________________________________ 15 B. CÁC VÍ DỤ: ________________________________________________________________ 15 Ví dụ1: _______________________________________________________________________________15 Ví dụ2: _______________________________________________________________________________16 Ví dụ3: _______________________________________________________________________________17 V. KẾT LUẬN: _______________________________________________________________20
2. ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- HỆPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆSỐHẰNG Trong phần tiểu luận này chúng ta dùng phép biến đổi Laplace làm một kỹthuật khác đểgiải phương trình-hệphương trình vi phân tuyến tính hệsốhằng. Nó cũng là một kỹthuật đặc biệt đểgiải phhương trình vi phân có vếphải là hàm bậc thang Heaviside1 . Những hàm này thường xuất hiện trong cơhọc và trong mạch điện tử. Ý tưởng của phương pháp này là: Biến đổi phương trình vi phân thành phương trình đại số, giải phương trình đại sốvừa biến đổi đó, từnghiệm của phương trình đại sốvừa tìm được ta dùng biến đổi ngược Laplace đểcho ra nghiệm phương trình vi phân cần tìm. I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace: A. HÀM GỐC: Ta gọi hàm phức tùy ý )(tf là hàm gốc thoảmãn 3 điều kiện sau: 1) Hữu hạn điểm     ,0,ba 2) Tăng không quá nhanh 0 S 0 ,.)(0,0 0 tteMtfSM t  , S0 được gọi là mũ tăng của hàm )(tf 3) )(tf =0 khi t<0 B. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace CpdttfepF pt    ;)()( 0 F(p) là ảnh Laplace của biến )(tf Kí hiệu: L[ )(tf ] = F(p) )(tf = F(p); F(p) = )(tf 1 http://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function
3. SỐTÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Laplace: 1) Cho 2 Laplace )(tf , g(t); )(tf = F(p); g(t) = G(p) )(tf +g(t) = F(p) + G(p) 2) )(tf , k là hằng số k. )(tf = k.F(p) 3) Đạo hàm gốc: )0(...)0(')0()()( )0(')0()()('' )()0()0(),0()()(' )()( )1(21)( 2 0 lim        nnnnn t ffpfppFptf fpfpFptf tffffppFtf pFtf  Chứng Minh: Ta có: )()0(0 )()(')(' 000 )( ppFf dttfep pt dttfetf ptpt tfe            )0(')0()( )0(')0()()('' 2 fpfpFp ffppFptf   Tương tựcho )()( tf n 4) Tịnh tiến ảnh     tconsaapFtfeL pFtfL at tan)()( )()(   Chứng minh:        0 )( 0 )()()(.)( apFdttfedttfeetfeL tapatptat Ví dụ: Biến đổi Laplace: a) pp e dte pt pt 1 )( 1.1 00       
4. 00 )( )( 0 c) 2 0 2 000 1 pp e dt p e p te tdtet ptptpt pt      D. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace NGƯỢC: Định nghĩa: Cho ảnh )(pF tìm gốc )(tf   )()(1 tfpFL  BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC BIẾN ĐỔI Laplace THÔNG DỤNG )(tf )( pF 1 0, 1 p p t 0, 1 2 p p n t np p n n ,0, ! 1  là sốtựnhiên 2 1  t p  , p>0 2 1 t 2/3 2 p  ) 2 1 (n t pp n nn  2 )12...(5.3.1  ,p>0, n là sốtựnhiên at e ap ap   , 1 at e  ap ap   , 1 at te ap ap   , )( 1 2
5. sốtựnhiên atn et  nap ap n n ,, )( ! 1    là sốtựnhiên atcos 0,22   p ap p atsin 0,22   p ap a attcos 0, )( 222 22    p ap ap attsin 0, )( 2 222   p ap ap bte at sin ap bap b   , )( 22 bte at cos ap bap ap    , )( 22 atcosh ap ap p   ,22 atsinh ap ap a   ,22 II. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG: A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Cho Phương trình vi phân tuyến tính hệsốhằng có dạng: )()()('...)()( 01 )( 1 )( tftyatyatyatya n n n n   Trong đó Raaa n ...,,, 10 1 )1( 10 ,...,)0(',)0(    n n bybyby là những điều kiện đầu Phép biến đổi trực tiếp Laplace không cho nghiệm tổng quát. Các bước giải là:
6. giá Laplace dựa vào 2 mặt của phương trình. 2) Sửdụng bảng biến đổi Laplace cơbản. )0(...)0(.)(.))(( )1(1)(   nnnn ffppFptfL 3) Sau quá trình biến đổi đại sốta được: Y(p) = L(y(t)) 4) Làm phép biến đổi ngược Laplace L -1 , tìm y(t). B. CÁC VÍ DỤ: Ví dụ1: Tìm nghiệm phương trình vi phân 1)0(',1)0( 2'3'' 3    yy eyyy t Giải Sửdụng tính chất đạo hàm gốc và biến đổi Laplace:   )3)(2)(1( 1 1 1 )( 3 1 2)()2)(1( 3 1 2)()23( 3 1 )(23)(31)( 3 1 )(2)0()(3)0(')0()( 2 2 2             pppp pY p ppYpp p ppYpp p pYppYppYp p pYyppYypypYp Dùng phương pháp đại sốphân tích: )3)(2)(1( )236()345()( )3)(2)(1( )2)(1()3)(1()3)(2( )3()2()1()3)(2)(1( 1 2              ppp CBApCBApCBA ppp ppCppBppA p C p B p A ppp Cân bằng hệsố2 vế: cho 2 1 ,1, 2 1  CBA
7. đổi ngược Laplace Vậy nghiệm phương trình là: ttt eeety 32 2 1 2 3 )(   Ví dụ2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân: 0)0('',0)0(',0)0( ''''   yyy eyy t Giải Sửdụng tính chất đạo hàm gốc và biến đổi Laplace: ))(1( 1 )( 1 1 )(.)( 1 1 )0()(.)0('')0(.)0(''.)(. 3 3 23 ppp pY p pYpp p ypYpyypyppYp       Dùng phương pháp đại sốphân tích vếphải )1)(1( )()()( )1)(1( )1()()1()1)(1( 11))(1( 1 2 23 2 22 23             ppp ApDBApDCApCBA ppp ppDCppBpppA p DCp p B p A ppp Cân bằng trên tử2 vếta được: 2 1 , 2 1 , 2 1 ,1  DCBA )1( 2/1 )1( )2/1( )1( 2/11 )1( 2/1)2/1( )1( 2/11 )( 22 2            pp p pp p p pp pY
8. đổi ngược Laplace Vậy nghiệm của phương trình là: ttety t sin 2 1 cos 2 1 2 1 1)(  Ví dụ3: Tìm nghiệm của phương trình vi phân: 0)0(''',0)0('',1)0(',0)0( 0)4(   yyyy yy Giải Dùng biến đổi Laplace cả2 vế, ta được: 1 )( )()1( 0)()(. 0)()0(''')0(''.)0('.)0(.)(. 4 2 24 24 234      p p pY ppYp pYppYp pYyypypyppYp Dùng phương pháp đại sốphân tích vếphải. )1)(1)(1( )()()()( )1)(1)(1( )1)(()1)(1()1)(1( 111)1)(1)(1(1 2 23 2 222 22 2 4 2                 ppp DBApCBApDBApCBA ppp pDCpppBppA p DCp p B p A ppp p p p Cân bằng tử2 vếta được: 2 1 ,0, 4 1 , 4 1  DCBA 1 2/1 1 4/1 1 4/1 )( 2       ppp pY Sửdụng biến đổi ngược Laplace: Vậy nghiệm phương trình là: teety tt sin 2 1 4 1 4 1 )(  
9. DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾPHẢI LÀ HÀM BẬC THANG: Hàm bậc thang Heaviside: 1) Định nghĩa: a)       01 00 )( t t tH Hàm bậc thang Heaviside, cũng được gọi là hàm bậc thang đơn vị, hàm không liên tục này nhận giá trị0 khi đối số(t) âm và nhận giá trị1 khi đối số(t) dương. Hàm này được sửdụng trong lý thuyết toán học điều khiển hay trong xửlý tín hiệu. b) Và ta có hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside , cho sốthực c. Ta có:       ct ct ctHtHc 1 0 )()( Nếu c>0 (c<0) thì đồthịcủa Hc sẽđược tịnh tiến qua phải (qua trái) 1 đơn vịc, so với đồ thịcủa H. c) Hàm khoảng Hab với a
10. Mô tảhàm:       t tt tf 12 102 )( sửdụng hàm bậc thang Heaviside. Giải Từ )(tf là hàm khảvi từng khúc trên khoảng 10 t và 1t , chúng ta sửdụng hàm khoảng H01(t) trên khoảng 10 t , và dùng hàm tịnh tiến H1(t) trên 1t . Vậy:   )1()1(2)(.2 )1(2)1()(2)(2)(.2)( 101   tHttHt tHtHtHttHtHttf 2) Biến đổi Laplace:          c cp ptpt cc p e dtedtetHpHL 0 )()( Chứng minh:     p e ee pp e dtedtetHpHL cp pcpb b b c pt b c ptpt cc                 1 limlim)()( 0 ( 1)( ctH khi ct  và 0)( ctH khi t
11.  defdtectf cp c pt   )( )( )()()()( 0 0 )( pFe defe defpctfctHL cp pcp cp               Ví dụ: Biến đổi Laplace các hàm sau: a)           te t t tf t 6 645 403 )( 7 Giải Ta có:     )6(.)6(5)4(8)(3 )6()6(5)4(8)(3 )6()6()4(5)4()(3 )()(5)(3)( )6( 7 7 6 7 4604         tHeetHtHtH tHetHtHtH tHetHtHtHtH tHetHtHtf t t t t Dựa vào công thức biến đổi Laplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng biến đổi Laplace ta được:  1 5.83 )( 664    p e e p e p e p pfL ppp b)          20 21sin 10 )( t tt t tf 
12.  )2()2(sin)1()1(sin )2(sin)1(sin )2()1(sin )(.0)(sin)(.0)( 2121     tHttHt ttHttH tHtHt tHttHtHtf     Dựa vào công thức biến đổi Laplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng biến đổi Laplace ta được:  )()( 22 2 22 2 22               p ee p e p e pfL pppp 3) Biến đổi Laplace ngược: Cho hàm )(tf là hàm liên tục từng đoạn và  )()( pfLpF  thì:   )()()()(1 ctfctHtpFeL cp  Các ví dụ: ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾPHẢI LÀ HÀM BẬC THANG Ví dụ1: Tìm nghiệm của phương trình vi phân: 5)0( )('   y tfyy Khi đó:         tt t tf cos3 00 )( Giải Ta có:  1 3)( )()cos(3)(cos3cos3)(.0)( 2 0     p pe pfL tHtttHtHtHtf p  
13. chất đạo hàm gốc và biến đổi Laplace ta được: )1)(1( 3 )1( 5 )( 1 35)()1( 1 3)()0()( 2 2 2            pp pe p pY p pe pYp p pe pYyppY p p p    Mà p ppp p e pp CApCBpBA e pp pCBppA e p CBp e p A pp pe                   )1)(1( )()( )1)(1( )1)(()1( 11)1)(1( 2 2 2 2 22 Cân bằng 2 vế: Cho 2 1 , 2 1 2 1  CBA                                   ppp ppp ppp p e p e p p e pp e p e p p e pp pY e p e p p e ppp pe     1 1 11 1 2 3 )1( 5 1 )2/3( 1 )2/3( 1 2/3 )1( 5 )( 1 )2/1( 1 )2/1( 1 2/1 )1)(1( 22 22 222 Dùng biến đổi Laplace ngược ta được:     )(cossin 2 3 5 )()cos()()sin()( 2 3 5)( )( )(         tHttee tHttHttHeety tt tt Vậy nghiệm phương trình là:               tttee te ty tt t cossin 2 3 5 05 )( )(
14. nghiệm của phương trình vi phân: 1)0(',0)0( )(''   yy tfyy khi đó       t tt tf 12 102 )( Giải    22 1 11101 2 1 2)( )1()1(2)(2 )(2)()(2)(2)(2)( p e p pfL tHtttH tHtHtHttHttHtf p    Sửdụng tính chất đạo hàm gốc và điều kiện đầu, biến đổi Laplace bên vếtrái là:   2 22 22 1)()1()())0(')0(.)(.('' p e pYppYyyppYpyyL p   1 1 )1( 22 )( .22 1)()1( 222 2 2          ppp e pY p e pYp p p Mà ) 1 2222 ( )1( 22 2222         p e p e pp e ppp 1 1 1 222 1 1 ) 1 2222 ( )1( 22 )( 2222 22222                 pp e p e p pp e p e pp e pY pp ppp Dùng biến đổi Laplace ngược ta được:   )1()1sin()1(2sin2 sin)1sin()1(2)1()1(22)(   tHtttt tttHtHttty Vậy nghiệm phương trình là:       ttt ttt ty 1sin)1sin(22 10sin2 )(
15. DỤNG Laplace GIẢI HỆPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆSỐHẰNG A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Cũng nhưphương trình vi phân tuyến tính hệsốhằng, đểgiải hệphương trình vi phân tuyến tính hệsốhằng ta thay các hàm phải tìm, các đạo hàm của chúng và các hàm ởvế phải (nếu là hệkhông thuần nhất) bằng ảnh của chúng (bằng cách áp dụng đạo hàm gốc). Khi đó ta sẽthu được một hệphương trình đại sốtuyến tính đối với ảnh của các hàm phải tìm. Giải hệđó và dùng phép biến đổi ngược đểtìm gốc, ta được nghiệm riêng của hệ thoảmãn điều kiện đã cho. B. CÁC VÍ DỤ: Ví dụ1: Tìm nghiệm hệphương trình vi phân: 1)0(,1)0( 0' 03'       yx yxy yxx Giải Sửdụng tính chất đạo hàm gốc biến đổi ta được:                  1)()1()( 1)()()3( 0)()(1)( 0)()(31)( 0)()()0()( 0)()(3)0()( pYppX pYpXp pYpXppY pYpXppX pYpXyppY pYpXxppX Giải hệphương trình đại số, tìm nghiệm )(),( pYpX              2 2 )2( 4 )( )2( )( p p pY p p pX Phân tích: 2,1 )2( )2( )2()2()2( 222           BA p BpA p B p A p p 2D,1 )2( D)2( )2()2()2( 4 222            C p pC p D p C p p
16. đổi Laplace ngược. Vậy nghiệm hệphương trình vi phân là:         teety teetx tt tt ..2)( ..2)( 22 22 Ví dụ2: TÌm nghiệm hệphương trình vi phân: 1)0(',0)0(,1)0(',0)0( 044'' 0410''       yyxx yxy yxx Giải Sửdụng tính chất đạo hàm gốc biến đổi ta được              1)()4()(4 1)(4)()10( 0)(4)(4)0(')0()( 0)(4)(10)0(')0()( 2 2 2 2 pYppX pYpXp pYpXypypYp pYpXxpxpXp Giải hệphương trình theo phương pháp đại sốta được:             )12)(2( 6 )( )12)(2( )( 22 2 22 2 pp p pY pp p pX
17. biến đổi Laplace ngược. Vậy nghiệm hệphương trình vi phân là:          ttty tttx 32sin 310 3 2sin 25 2 )( 32sin 35 3 2sin 25 1 )( Ví dụ3: Tìm nghiệm hệphương trình vi phân: 1)0(,2)0( 2' 14'' 2       yx tyxx xyx
18. chất đạo hàm gốc ta được:                              )2(2 2 )()()2( )1(1 1 )()()4( 2 )(2)()2( 1 1)(2)()4( 2 )()(2)0()( 1 )(4)0()()0()( 3 3 3 p pYpXp p ppYpXp p pYpXp p ppYpXp p pYpXxppX p pXyppYxppX Nhân phương trình (2) cho –p, cộng 2 phương trình lại ta được: )4( )232( )1)(4( )232)(1( )43( 22 )( 2 2 1 1 )()2()()4( 2 2 2 2 22 23 2 2           pp pp ppp ppp ppp ppp pX p pp pXpppXp Thay )(pX vào phương trình (1), ta được: )4( 868 )4( )232)(4()1)(4( )( )4( )232)(4()1( )( )4( )232)(4()1( )( 1 1 )( )4( )232( )4( 3 23 3 22 3 2 2 2 2 2 2                     pp ppp pp pppppp pY pp ppp p p pY pp ppp p p ppY p ppY pp pp p
19. bằng hệsố, ta được: 8 11 , 2 1 , 8 5  CBA )4( 4)4()4()( )4( )4()4()4( )4()4( 868 3 23 3 32 323 23            pp CpCBpBApDA pp DppCpBppAp p D p C p B p A pp ppp Cân bằng hệsố, ta được: 4 11 ,2,1, 4 7  DCBA             )4(4 1121 4 7 )( )4(8 11 2 1 8 5 )( 32 2 pppp pY ppp pX Sửdụng biến đổi Laplace ngược Vậy nghiệm của hệphương trình:         t t ettty ettx 42 4 4 11 4 7 )( 8 11 2 1 8 5 )(
20. LUẬN: So với phương pháp cổđiển giải phương trình vi phân hệsốhằng ta thấy phương pháp sửdụng toán tửLaplace có những ưu điểm sau: -Dù n lớn bao nhiêu ta chỉcần giải một phương trình đại sốbậc nhất đối với Y(p). -Khối lượng tính toán nói chung ít hơn so với phương pháp biến thiên hằng sốLagrange. -Cho ngay nghiệm riêng không cần thông qua nghiệm tổng quát. Trong trường hợp muốn có nghiệm tổng quát chỉcần đặt y0 = C0, y’0 = C1,…, y0 (n-1) = Cn-1. Với Ck là những hằng sốtuỳý.

Bài tập biến đổi laplace ngược có lời giải năm 2024

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội