Bài tập chứng minh 2 mặt phẳng song song năm 2024
Bài tập tự luận hai mặt phẳng song song có lời giải chi tiết được viết dưới dạng file word gồm 29 trang. Bài tập bao gồm các dạng:chứng minh hai mặt phẳng song song; xác định thiết diện của mặt phẳng với hình chóp khi biết một mặt phẳng với một mặt phẳng cho trước; một số ứng dụng của định lí thales. Các bạn xem và tải về ở dưới. Show Các dạng toán bài hai mặt phẳng song song giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới. Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song 1. Phương pháp Áp dụng kết quả sau: $\left. \begin{gathered} a\parallel c,\,\,b\parallel d \hfill \\ a,b \subset \left( P \right) \hfill \\ c,d \subset \left( Q \right) \hfill \\ a \cap b = \left\{ A \right\} \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \left( P \right)\parallel \left( Q \right)$ Áp dụng: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). $\left. \begin{gathered} a \subset \left( Q \right) \hfill \\ \left( Q \right)\parallel \left( P \right) \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow a\parallel \left( P \right)$ 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, $AD\parallel BC,\,\,AD = 2BC$. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD.
Lời giải
$EF\parallel SD$ (EF là đường trung bình của tam giác SAD). $BF\parallel CD$$\left( {BC\parallel FD,\,\,BC = FD} \right)$. Suy ra $\left( {EFB} \right)\parallel \left( {SCD} \right)$. Mà $CI \subset \left( {SCD} \right)$ nên $CI\parallel \left( {EFB} \right)$.
$\begin{gathered} \left. \begin{gathered} BC\parallel AD \hfill \\ BC \subset \left( {SBC} \right),\,\,AD \subset \left( {SAD} \right) \hfill \\ S \in \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right\} \hfill \\ \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = Sx,\,\,Sx\parallel AD\parallel BC \hfill \\ \end{gathered} $ Trong mp(SAD): FI cắt Sx tại K. Ta có: $SK\parallel FD,\,\,IS = ID$ nên $IK = IF$. Vậy tứ giác SKDF là hình bình hành, suy ra $SF\parallel KD$. Mặt khác $BF\parallel CD$ nên $\left( {SBF} \right)\parallel \left( {KCD} \right)$. Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
Lời giải
$ON\parallel BC$ (ON là đường trung bình của tam giác BCD). $OM\parallel SC$ (OM là đường trung bình của tam giác SAC) Vì $OM,ON \subset \left( {OMN} \right);\,\,BC,SC \subset \left( {SBC} \right)$ nên $\left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)$.
Khi đó theo tính chất đường phân giác và tam giác cân ta có: $\frac{{PB}}{{PA}} = \frac{{EC}}{{ED}} = \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{AS}} = \frac{{FB}}{{FA}}$ Do đó: $PF\parallel SA$ (2) Từ (1) và (2) suy ra $\left( {PEF} \right)\parallel \left( {SAD} \right)$. Mặt khác $EF \subset \left( {PEF} \right)$ nên $EF\parallel \left( {SAD} \right)$. Ngoài ra ta có thể dùng định lí Thales để chứng minh $EF\parallel \left( {SAD} \right)$ như sau: Theo tính chất đường phân giác và tính chất của tam giác cân ta chứng minh được: $\frac{{AB}}{{AS}} = \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{FB}}{{FS}} = \frac{{EC}}{{ED}}$. Theo định lí Thales ta suy ra ba đường thẳng BC, EF và SD nằm trong ba mặt phẳng song song, suy ra EF song song với mặt phẳng chứa BC và song song với mặt phẳng chứa SD. Mặt khác $BC\parallel AD$ nên EF song song với mặt phẳng (SAD). Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ song song với nhau.
Lời giải
$A’B\parallel D’C$ (vì tứ giác A’BCD’ là hình bình hành). $BD\parallel B’D’$ (vì tứ giác BB’D’D là hình bình hành), suy ra $mp\left( {BDA’} \right)\parallel mp\left( {B’D’C} \right)$.
Ta có: A’O là đường trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác BDA’ nên $\frac{{A’G}}{{A’O}} = \frac{2}{3}$. Do đó G cũng là trọng tâm tam giác A’AC (vì A’O là đường trung tuyến của tam giác A’AC). Mà AQ là đường trung tuyến của tam giác A’AC nên G thuộc AQ, G thuộc AC’ . (1) Tương tự ta có G’ là trọng tâm của tam giác B’D’C và cũng là trọng tâm của tam giác A’C’C. Mà C’Q là đường trung tuyến của tam giác A’C’C nên G’ thuộc C’Q. Suy ra G’ thuộc AC’. (2)Từ (1) và (2) suy ra đường chéo AC’ đi qua hai trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
G là trọng tâm tam giác A’AC nên $\frac{{AG}}{{AQ}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AG}}{{AC’}} = \frac{1}{3}\,\,\left( {AC’ = 2AQ} \right)$. Suy ra $AG = \frac{1}{3}AC’$. G’ là trọng tâm tam giác A’C’C nên $\frac{{C’G’}}{{C’Q}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{C’G’}}{{C’A}} = \frac{1}{3}\,\,\left( {AC’ = 2C’Q} \right)$. Suy ra $C’G’ = \frac{1}{3}AC’$. Vậy $AG = GG’ = C’G’ = \frac{1}{3}AC’$. Tức là G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau. Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song với một mặt phẳng 1. Phương pháp $\left. \begin{gathered} \left( P \right)\parallel \left( Q \right) \hfill \\ \left( \alpha \right) \cap \left( P \right) = a \hfill \\ \left( \alpha \right) \cap \left( Q \right) = b \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow a\parallel b$ 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của AD. Gọi $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ là mặt phẳng qua điểm M và lần lượt song song với mặt phẳng (SBD) và (SAC).
Lời giải a. $\left. \begin{gathered} \left( \alpha \right)\parallel \left( {SBD} \right) \hfill \\ \left( {ABCD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = BD \hfill \\ M \in \left( {ABCD} \right) \cap \left( \alpha \right) \hfill \\ \end{gathered} \right\}$ $ \Rightarrow \left( {ABCD} \right) \cap \left( \alpha \right) = MN\parallel BD\,\,\left( {N \in AB} \right)$ Gọi M là trung điểm của AD nên N là trung điểm của AB. Ta có: $\left. \begin{gathered} \left( \alpha \right)\parallel \left( {SBD} \right) \hfill \\ \left( {SAB} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SB \hfill \\ N \in \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha \right) \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha \right) = NE\parallel SB\,\,\left( {E \in SA} \right)$ Mà N là trung điểm của AB nên E là trung điểm của SA. Khi đó: $ME = \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right)$. Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MNE.
Mà M là trung điểm của AD nên P là trung điểm của CD. Ta có: $\left. \begin{gathered} \left( \beta \right)\parallel \left( {SAC} \right) \hfill \\ \left( {SCD} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SC \hfill \\ P \in \left( {SCD} \right) \cap \left( \beta \right) \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \left( {SCD} \right) \cap \left( \beta \right) = PF\parallel SC\,\,\left( {F \in SD} \right)$ Mà P là trung điểm của CD nên F là trung điểm của SD. Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MPF.
Ta có $MN\parallel BD$ nên $MH\parallel OK,\,\,MP\parallel AC$ nên $MK\parallel HO$. Vậy tứ giác OHMK là hình bình hành. Ví dụ 2. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (P’) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh:
Lời giải
Mà $\left( {P’} \right) \cap \left( {Ax,By} \right) = A’B’$; $\left( {P’} \right) \cap \left( {Cz,Dt} \right) = C’D’$ nên $A’B’\parallel C’D’$ (1) Tương tự: $ \Rightarrow A’D’//B’C’$ (2)Từ (1) và (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
Khi đó ta có OO’ là đường trung bình của hình thang AA’C’C và hình thang BB’D’D. Do đó: $AA’ + CC’ = 2OO’$ và $BB’ + DD’ = 2OO’$. Vậy $AA’ + CC’ = BB’ + DD’$. Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa MN cắt các cạnh AD và BC lần lượt là P và Q.
Lời giải
Trong mp(ABD): MP cắt BD tại E. Trong mp(BCD): EN cắt BC tại Q. Vậy $\left( \alpha \right)$ chính là mp(MPNQ). Q là điểm cần tìm.
$\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{ND}}{{NC}} = 1$. Theo định lí Thales ta suy ra AD, MN, BC nằm trên ba mặt phẳng song song. Mà PQ là cát tuyến cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại P, K, Q nên: $\frac{{KP}}{{KQ}} = \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{ND}}{{NC}} = 1$. Vậy K là trung điểm của PQ. Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SC$, lấy điểm $P \in SA$.
Lời giải
Do 3 mặt phẳng $\left( {MNP} \right);\left( {ABC} \right);\left( {SAD} \right)$ cắt nhau theo 3 giao tuyến là $PR;MN;AD$ nên chúng song song hoặc đồng quy. Làm sao để biết 2 mặt phẳng song song?Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. 2 mặt phẳng song song có tính chất gì?Tính chất 1: Một đường thẳng và mặt phẳng không thể cắt nhau tại một điểm duy nhất. Nếu chúng cắt nhau, thì chúng sẽ cắt nhau tại một đường. 3. Tính chất 2: Hai mặt phẳng song song với nhau nghĩa là chúng không có điểm chung nào. 2 mặt phẳng song song khi nào?- Hai mặt phẳng (α) và (β) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu (α) // (β) hay (β) // (α). Nhận xét: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau và đường thẳng d nằm trong (α) thì d và (β) không có điểm chung, tức là d song song với (β). Đội một song song là gì?Nói hai cái đối nhau. |