Seminar thứ Sáu, 07/03/2014, thầy Dũng có đưa ra khái niệm về trường véc-tơ đầy trên đa tạp. Dưới đây ta quan sát một số trường véc-tơ đơn giản trên đa tạp một chiều.
Trước hết ta xem trường véc-tơ đầy trên đường tròn là gì? [Trên đa tạp nói chung hơi trừu tượng!]
Hàm véc-tơ cho ta một trường véc-tơ đầy trên đường tròn nếu
-các thành phần của nó là hàm trơn,
-với mỗi véc-tơ là véc-tơ tiếp xúc với đường tròn tại điểm
-với mỗi , hệ phương trình
với điều kiện
có nghiệm xác định trên toàn bộ đường thẳng.
Có thể thấy trường véc-tơ
là trường véc-tơ đầy.
Có thể thấy hình ảnh của trường này khi ta có một chuyển động tròn đều: chuyển động chỉ thay đổi hướng mà không thay đổi tốc độ.
Trường véc-tơ thú vị khác
Có thể hình dung “không hoàn toàn chính xác” về trường này: đặt vòng đứng rồi rỏ nước xuống đỉnh của vòng tròn, chuyển động của các giọt nước cho ta trường véc-tơ này.
Ta xét hệ phương trình
với
Không khó để thấy từ hệ
nên
Do đó
[+]
[+]
Các bạn thử chứng minh xem bài toán trên chỉ có duy nhất nghiệm hằng ?
Lúc đầu tôi nghĩ đây là trường không đầy! Nghiệm hằng đã đẩy lùi suy nghĩ không đúng này.
Thực ra đã có kết quả sau:
Mọi trường trơn trên đa tạp compact đều đầy!
Kết quả này có thể nói là hệ quả của Định lý thác triển nghiệm đến tận biên trong phương trình vi phân.
Tập Bài giảng vẫn đang trong quá trình hoàn thiện và có thể chứanhững lỗi đánh máy, những lỗi kí hiệu và những chỗ sai chưa được kiểm tra hết. Tác giả mong nhận được sự đóng góp ý kiến để tập Bài giảng được hoàn thiện. Mọi ý kiến đónggóp xin vui lòng gửi về địa chỉ “dieu@hust.edu”
Warning: This lecture notes have not been reviewed and may contain errors or typos. Use at your own risk!
Hà Nội, Ngày 9 tháng 7 năm 2018.
####### 2 MỤC LỤC
- 3 Các ứng dụng của tích phân bội
- 3 Tính diện tích hình phẳng
- 3 Tính thể tích vật thể
- 3 Tính diện tích mặt cong
- 3 Bài tập ôn tập
- Chương 3 Tích phân phụ thuộc tham số.
- 1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số.
- 1 Giới thiệu
- 1 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số.
- 1 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi.
- 1 Bài tập
- 2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
- 2 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
- 2 Bài tập
- 2 Một số tích phân quan trọng
- 2 Bài tập ôn tập
- 3 Tích phân Euler
- 3 Hàm Gamma
- 3 Hàm Beta
- 3 Bài tập
- 3 Đọc thêm: Tích phân Euler và Phép tính vi tích phân cấp phân số.
- 1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số.
- Chương 4 Tích phân đường.
- 1 Tích phân đường loại I
- 1 Định nghĩa và tính chất
- 1 Các công thức tính tích phân đường loại I
- 1 Tích phân đường trong không gian
- 1 Bài tập
- 1 Bài tập ôn tập
- 2 Tích phân đường loại II
- 2 Định nghĩa và tính chất
- 2 Các công thức tính tích phân đường loại II
- 2 Tích phân đường trong không gian
- 2 Bài tập
- 2 Công thức Green.
- 2 Ứng dụng của tích phân đường loại II
- 2 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tíchphân.
2 Tích phân đường [trong không gian] không phụ thuộc đường đi
- 1 Tích phân đường loại I
- MỤC LỤC - 2 Tích phân đường không phụ thuộc đường đi và định luật bảo toàn năng lượng
- Chương 5 Tích phân mặt
- 1 Tích phân mặt loại I
- 1 Diện tích mặt cong
- 1 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại I
- 1 Các công thức tính tích phân mặt loại I
- 1 Bài tập
- 2 Tích phân mặt loại II
- 2 Định hướng mặt cong
- 2 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại II
- 2 Các công thức tính tích phân mặt loại II
- 2 Công thức Ostrogradsky
- 2 Dạng véctơ của công thức Green
- 2 Công thức Stokes
- 2 Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II
- 1 Tích phân mặt loại I
- Chương 6 Lý thuyết trường.
- 1 Trường vô hướng
- 1 Định nghĩa
- 1 Đạo hàm theo hướng
- 1 Gradient
- 1 Bài tập
- 2 Trường véctơ
- 2 Định nghĩa
- 2 Thông lượng, trường ống
- 2 Hoàn lưu, véctơ xoáy
- 2 Trường thế - hàm thế vị
- 2 Tích phân đường [trong không gian] không phụ thuộc đường đi
2 Bài tập
- 1 Trường vô hướng
- Chương 5 Tích phân mặt
CHƯƠNG 1
CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN
TRONG HÌNH HỌC
§ 1. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG
HÌNH HỌC PHẲNG
1 Đường cong trong mặt phẳngR 2**.**
Ở chương trình học phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệmđường cong cho bởi phương trìnhy=f[x], chẳng hạn như đường paraboly=x 2 , đường cong bậc bay=x 3. Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng "may mắn" biểu diễn một đường cong được dưới dạng y=f[x], vì có thể với một giá trịx=x 0 , ứng với nó có hai hoặc nhiều hơn giá trịytương ứng. Chẳng hạn như, tưởng tượng rằng có một hạt chuyển động dọctheo đường congC như hình vẽ dưới đây. Đường congCnày không thể biểu diễn được dưới dạngy=f[x].
Tuy nhiên, các tọa độxvàycủa hạt này là một hàm số phụ thuộc thời giant. Chính vì
5
6 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
vậy sẽ là thuận lợi nếu ta biểu diễn đường congCdưới dạng
#######
#######
#######
x=x[t], y=y[t].
Đây chính là
phương trình đường cong cho dưới dạng tham số đã được giới thiệuở học phần Giải tích I.
Ví dụ 1 [Đường Cycloid]. Giả sử có một bánh xe hình tròn và cố định một điểmPtrên bánh xe đó. Cho bánh xe đó lăn không trượt trên một đường thẳngỹ tích điểmPđó được gọi là đường Cycloid. Hãy viết phương trình tham số của đường cong này.
y
x x
a
a θ
y θ
[ π a, 2a]
2 π a
[Lời giải] Giả sử bánh xe có bán kínhrvà điểm xuất phát củaPlà gốc tọa độ, đồng thời cho bánh xe lăn không trượt trên trụcOx. Gọi θ là góc quay của bánh xe [ θ = 0 nếuP ở gốc tọa độ]. Khi đó, vì bánh xe lăn không trượt, nên
OT=độ dài cungPT=r θ.
Do đó,
x=|OT| − |PQ|=r θ −rsin θ =r[ θ −sin θ ] y=|TC| − |QC|=r−rcos θ =r[ 1 −cos θ ].
Một số điều thú vị về đường Cycloid.
6
8 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
- Dạng hàm ẩnf[x,y] = 0.
- Điểm chính quy.
- Cho đường cong[L]xác định bởi phương trình f[x,y] = 0. Điểm M[x 0 ,y 0 ] được gọi là điểm chính quy của đường cong[L]nếu tồn tại các đạo hàm riêng fx′[M],fy′[M]không đồng thời bằng 0.
- Cho đường cong[L]xác định bởi phương trình tham số
#######
#######
#######
x=x[t] y=y[t]. ĐiểmM[x[t 0 ],y[t 0 ]]được gọi là điểm chính quy của đường cong[L]nếu tồn tại các đạo hàmx′[t 0 ],y′[t 0 ]không đồng thời bằng 0.
- Một điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị.
- Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong.
- Chúng ta biết rằng hệ số góckcủa tiếp tuyến của đường congCtại điểmM chính lày′x[M]. Do đó, nếu đường cong cho bởi phương trìnhf[x,y] = 0 thì nó xác định một hàm ẩny=y[x]và đạo hàm của nó tính theo công thức
k=y′x=−
fx′ fy′. Vậy - Phương trình tiếp tuyến tạiMlà
[d]: y−y 0 =−f x′[M] fy′[M][x−x 0 ] ⇔f
′ x[M].[x−x 0 ]+f
′ y[M].[y−y 0 ]=0.
####### [1]
- Phương trình pháp tuyến tạiMlà [ d′
####### ]
: xf′−x 0 x[M]
\= yf′−y 0 y[M]
null
Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho bởi phương trìnhy = f[x] thì phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểmM[x 0 ,y 0 ]chính quy là y−y 0 =f′[x 0 ][x−x 0 ]. Đây là công thức mà học sinh đã biết trong chương trình phổ thông.
- Nếu đường cong[C]cho bởi phương trình tham số
#######
#######
#######
x=x[t] y=y[t]
thì
k=y′x=dydx =dydx//dtdt=y
′t x′t. Do đó,
8
1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 9
- Phương trình tiếp tuyến tại điểmM[x[t 0 ],y[t 0 ]]chính quy:
[d]: y−y[t 0 ] =y
′[t 0 ] x′[t 0 ][x−x[t 0 ]⇔
x−x[t 0 ] x′[t 0 ] =
y−y[t 0 ] y′[t 0 ].
Nói cách khác, véc tơ tiếp tuyến của đường congCtại điểmM[x[t 0 ],y[t 0 ]] là~n= [x′[t 0 ],y′[t 0 ]]. - Phương trình pháp tuyến tạiM: [ d′
####### ]
: x′[t 0 ].[x−x[t 0 ]]+y′[t 0 ].[y−y[t 0 ]]=0.
1 Hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham
số
Định nghĩa 1. Cho họ đường cong[L]phụ thuộc vào một hay nhiều tham số. Nếu mỗi đường cong trong họ[L]đều tiếp xúc với đường cong[E]tại một điểm nào đó trênEvà ngược lại, tại mỗi điểm thuộc[E]đều tồn tại một đường cong của họ[L]tiếp xúc với[E] tại điểm đó thì[E]được gọi là hình bao của họ đường cong[L].
Quy tắc tìm hình bao Định lý 1. Cho họ đường congF[x,y,c]= 0 phụ thuộc một tham sốc. Nếu họ đường cong trên không có điểm kì dị thì hình bao của nó được xác định bằng cách khửctừ hệ phương trình
F[x,y,c]= 0 Fc′[x,y,c]= 0
####### [1]
Chú ý 1. Nếu họ đường cong đã cho có điểm kì dị thì hệ phương trình [1] bao gồm hình bao[E]và quỹ tích các điểm kì dị thuộc họ các đường cong đã cho.
1 Bài tập
Bài tập 1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:
a]y=x 3 + 2 x 2 − 4 x− 3 tại[−2, 5].
Lời giải.
#######
#######
#######
Phương trình tiếp tuyếny= 5 Phương trình pháp tuyếnx=− 2
b]y=e 1 −x 2 tại giao điểm của đường cong với đường thằngy= 1.
9
1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 11
- ĐặtF[x,y,c]:=cx 2 +c 2 y− 1 =0ếuc= 0 thì không thoả mãn phương trình đã cho nên điều kiện:c 6 = 0. Xét hệ phương trình:
####### {
Fx′[x,y,c]= 0 Fy′[x,y,c]= 0
####### ⇔
####### {
2 cx= 0 c 2 = 0
⇔x=c= 0 , nhưng điểm kì dị đó không thuộc họ đường cong đã cho nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị. Ta có { F[x,y,c]= 0 Fc′[x,y,c]= 0
####### ⇔
####### {
cx 2 +c 2 y= 1 x 2 + 2 cx= 0
####### ⇔
####### {
x= 2 c y=−c 21
Do đóx,y 6 = 0 và ta có hình bao của họ đường cong là đườngy=−x 44 trừ điểmO[0, 0].
- ĐặtF[x,y,c]:=c 2 [x−c] 2 −y= 0. Xét hệ phương trình:
####### {
Fx′[x,y,c]= 0 Fy′[x,y,c]= 0
####### ⇔
####### {
Fx′= 0 − 1 =0. Hệ phương trình vô nghiệm nên họ đường cong đã cho không có điểmkì dị. Ta có
F[x,y,c]= 0 Fc′[x,y,c]= 0
####### ⇔
#######
#######
#######
c 2 [x−c] 2 −y= 0 [ 1 ] 2 c[x−c]− 2 c 2 [x−c]=0. [ 2 ]
####### [ 2 ]⇔
#######
#######
c= 0 c=x c=x 2
, thế vào[ 1 ]ta đượcy=0,y= 16 x 4.
Vậy hình bao của họ đường cong lày=0,y=x 164.
####### 11
12 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
§ 2. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
2 Hàm véctơ
Định nghĩa 1. ChoIlà một khoảng trong R. Ánh xạ
I→ R n, t7→ r [t]= [x 1 [t],x 2 [t],· · ·,xn[t]]∈ R n
được gọi là hàm véctơ của biến sốtxác định trên R.
Nếun= 2 , ta viết r [t]=x[t] i +y[t] j.
Nếun= 3 , ta viết
r [t]=x[t] i +y[t] j +z[t] k.
ĐặtM[x 1 [t],x 2 [t],· · ·,xn[t]], quỹ tíchMkhitbiến thiên trongIđược gọi là tốc đồ của hàm véctơ r [t].
Giới hạn của hàm véctơ
Người ta nói hàm véctơ r [t]có giới hạn là a khit→t 0 nếu
tlim→t 0
| r [t]− a |=0,
kí hiệutlim→t 0
r [t]= a , ở đó
| r [t]− a |=
####### √
[x 1 [t]−a 1 ] 2 + [x 2 [t]−a 2 ] 2 +· · ·+ [xn[t]−an] 2
được hiểu là độ dài của véctơ r [t]− a.
Tính liên tục của hàm véctơ
Hàm véctơ r [t]xác định trênIđược gọi là liên tục tạit 0 ∈Inếu
tlim→t 0
r [t]= r [t 0 ].
[Tuơng đương với tính liên tục của các thành phần tương ứngx 1 [t],x 2 [t],· · ·,xn[t]].
12
14 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
- nếun= 3 , đường congCcho dưới dạng hàm véc tơ r [t] =x[t] i +y[t] j +z[t] k hoặc
dạng tham số
#######
#######
#######
#######
#######
x=x[t], y=y[t], z=z[t].
Ý nghĩa hình học của đạo hàm của hàm véctơ Nếu hai điểmP,Qứng với các véctơ r [t], r [t+h], thì r [t+h]− r [t] =−→PQlà một véctơ dây cung. Do đó, nếuh> 0 thì r [t+h]h− r [t]có cùng phương cùng hướng với r [t+h]− r [t]. Khih→ 0 thì véctơ này sẽ tiến tới một véctơ r ′[t]nào đó nằm trên đường thẳng tiếp tuyến của đường cong tại điểmP.
Định nghĩa 1. Cho đường congCcho bởi phương trình r = r [t]. Nếu hàm véctơ r [t] khả vi thì
- véctơ r ′[t]được gọi là véc tơ tiếp tuyến của đường congCtại điểmP[x[t],y[t]].
- Véctơ tiếp tuyến đơn vị là T [t] =
r ′[t] | r ′[t]|
####### .
2 Chuyển động của vật thể trong không gian
Cho một vật thể chuyển động trong không gian sao cho quỹ đạo của nó là một đường cong có phương trình cho bởi hàm véctơ r = r [t]. Khi đó,
v [t] =hlim→ 0 r [t+hh]− r [t]= r ′[t]
là véctơ vận tốc [velocity] của vật thể đó. Độ lớn của véctơ này,| r [t]|chính là vận tốc tức thời [speed] của vật thể đó tại thời điểmt, vì
| v [t]|=| r ′[t]|=dsdt= sự thay đổi của hàm khoảng cách theo thời gian.
14
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 15
Tương tự như trường hợp một chiều, véctơ gia tốc được định nghĩabởi
a [t] = v ′[t] = r ′′[t].
Ví dụ 2. Một vật thể chuyển động với vị trí và vận tốc ban đầu là r [ 0 ] = [1, 0, 0]và v [ 0 ] = i − j + k. Véctơ gia tốc của nó là a [t] = 4 t i + 6 t j + k. Tìm véctơ vận tốc và vị trí của nó tại thời điểmt.
Gợi ý : Dùng các công thức
v [t] = v [t 0 ] +
∫t
t 0
a [u]du, r [t] = r [t 0 ] +
∫t
t 0
v [u]du.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sử dụng các định luật của Newton để chứng minh Định luật về quỹ đạo chuyển động của các hành tinh.
- Định luật II NewtonF =m a ,
- Luật vạn vật hấp dẫnF =−GMmr 3 r =−GMmr 2 u ,
ở đó F là trường hấp dẫn trên hành tinh,m,Mlà khối lượng của hành tinh và mặt trời,G là hằng số hấp dẫn,r=| r |và u =| rr |là véctơ đơn vị của r [t].
Định lý 1 [Định luật Kepler]. Các hành tinh chuyển động xung quanh mặt trời theo một quỹ đạo hình elip với mặt trời là một tiêu điểm.
Chúng ta chứng minh một ý nhỏ trong Định luật trên, đó là: Chứng minh quỹ đạo chuyển động của các hành tinh nằm trên một mặt phẳng. Hai định luật của Newton dẫn đến
a =−GMr 3 r ⇒ a song song với r ⇒ r ∧ a = 0.
Ta có d dt[ r ∧ v ] = r
′∧ v + r ∧ v ′= v ∧ v + r ∧ a = 0 + 0 = 0.
Do đó, r ∧ v = h ,
ở đó h là một véctơ hằng số nào đó. Nghĩa là r = r [t]vuông góc với h với mọi giá trị của t. Nói cách khác, quỹ đạo chuyển động của các hành tinh nằm trên một mặt phẳng vuông góc với h.
15
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 17
Ta có C=
####### ∣∣
∣∣d T ds
####### ∣∣
####### ∣∣=
####### ∣∣
∣∣d T /dt ds/dt
####### ∣∣
####### ∣∣=| T
′[t]| | r ′[t]| [xem [1]].
Định lý 1. Độ cong của đường cong r = r [t]được cho bởi công thức
C[t] =| r
′[t]∧ r ′′[t]| | r ′[t]| 3. [1]
Chứng minh. Ta có T [t] = r
′[t] | r ′[t]|
⇒ r ′[t] =| r ′[t]| T [t] =s′[t] T [t]. Do đó,
r ′′[t] =s′′[t] T [t] +s′[t] T ′[t].
Vì T [t]∧ T [t] = 0 nên
r ′[t]∧ r ′′[t] = [s′[t] T [t]]∧[s′′[t] T [t] +s′[t] T ′[t]] =s′[t] 2 [ T [t]∧ T ′[t]]. [1]
Hơn nữa,| T [t]|= T [t]· T [t] = 1 nên đạo hàm 2 vế dẫn đến
T ′[t]· T [t] + T [t]· T ′[t] = 0 ⇒ T ′[t]· T [t] =0,
nghĩa là T [t]⊥ T ′[t]. Thay vào [1] ta có
| r ′[t]∧ r ′′[t]|=|s′[t]| 2 | T [t]|‖T′[t]|sin π 2 =|s′[t]| 2 | T ′[t]|=| r ′[t]| 2 | T ′[t]|.
Do đó, | r ′[t]∧ r ′′[t]| | r ′[t]| 3 =
| T ′[t]| | r ′[t]| =C[t].
Độ cong của đường cong trong mặt phẳng. - Nếu đường cong cho bởi phương trìnhy= f[x]thì áp dụng công thức [1] với hàm véc tơ r = [x,f[x], 0] =t i +f[t] j + 0 k ta được:
C[M]= |y
####### ′′|
[ 1 +y′ 2 ]3/
- Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số
#######
#######
#######
x=x[t] y=y[t]
thì áp dụng công thức
[1] với hàm véc tơ r [t] = [x[t],y[t], 0] =x[t] i +y[t] j + 0 k ta được:
####### C[M]=
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣
x′ y′ x′′ y′′
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣
[x′ 2 +y′ 2 ]3/
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣∣
####### 17
18 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
- Nếu đường cong cho bởi phương trình trong toạ độ cựcr=r[ φ ]thì:
C[M]=
####### ∣∣
r 2 + 2 r′ 2 −rr′′
####### ∣∣
[r 2 +r′ 2 ]3/
Độ cong của đường cong trong không gian
Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số
#######
#######
#######
#######
#######
x=x[t], y=y[t], z=z[t]
thì
C[t] =
####### √√
####### √√
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣
y′ z′ y′′ z′′
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣
2 +
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣
z′ x′ z′′ x′′
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣
2 +
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣
x′ y′ x′′ y′′
####### ∣∣
####### ∣∣
####### ∣
2
[x′ 2 +y′ 2 +z′ 2 ] 32
####### .
Ví dụ 2 [Cuối kì, K62]. Tính độ cong của đường xoắn ốc cho bởi phương trìnhx = cost,y=sint,z=ttại điểm ứng vớit= π 2.
Lời giải. Đặtr[t] = [cost, sint,t]⇒r′[t] = [−sint, cost, 1],r′′[t] = [−cost,−sint, 0]. Ta có
C=
|r′[ π 2 ]∧r′′[ π 2 ]| |r′[ π 2 ]| 3 =
####### |[−1, 0, 1]∧[0,−1, 0]|
####### |[−1, 0, 1]| 3 =
####### 1
####### 2.
2 Đường cong trong không gianR 3
Mỗi đường cong trong không gian R 3 được định nghĩa, một cách đơn giản, là tốc đồ của một hàm véc tơ
r :[a,b]→ R 3 , r [t] =x[t] i +y[t] j +z[t] k. Đường cong r = r [t]được gọi là trơn nếu như tồn tại r ′[t]liên tục và r ′[t] 6 = 0 với mọit∈[a,b]. Một véc tơ tiếp tuyến của đường cong r [t] =x[t] i +y[t] j +z[t] k là r ′[t] = x′[t] i +y′[t] j +z′[t] k. Do đó,