Cho đoạn thẳng \[AB\]. Kẻ tia \[Ax\] bất kì. Trên tia \[Ax\] lấy các điểm \[C, D, E\] sao cho \[AC = CD = DE\] [h.97]. Kẻ đoạn thẳng \[EB\]. Qua \[C, D\] kẻ các đường thẳng song song với \[EB\]. Chứng minh rằng đoạn thẳng \[AB\] bị chia ra ba phần bằng nhau.
Bài giải:
Qua \[A\] dựng đường thẳng \[d\] song song với \[CC'\]
Ta có: \[d//EB // DD' // CC'\] và \[AC = CD = DE\] [theo giả thiết].
Theo định lí về các đường thẳng song song cách đều ta suy ra các đường thẳng \[d,EB,DD',CC'\] là các đường thẳng song song cách đều nên nó chắn trên \[AB\] các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau
Hay \[ AC' = C'D' = D'B\]
Vậy đoạn thẳng \[AB\] bị chia thành ba phần bằng nhau.
Bài 68 trang 102 sgk toán 8 tập 1
Cho điểm \[A\] nằm ngoài đường thẳng \[d\] và có khoảng cách đến \[d\] bằng \[2cm\]. lấy điểm \[B\] bất kì thuộc đường thẳng \[d\]. Gọi \[C\] là điểm đối xứng với điểm \[A\] qua điểm \[B\]. Khi điểm \[B\] di chuyển trên đường thẳng \[d\] thì điểm \[C\] di chuyển trên đường nào ?
Bài giải:
Kẻ \[AH\] và \[CK\] vuông góc với \[d\].
Ta có \[AB = CB\] [vì \[C\] là điểm đối xứng với \[A\] qua \[B\]]
\[\widehat{ABH}\] = \[\widehat{CBK}\] [ đối đỉnh]
nên \[∆AHB = ∆CKB\] [cạnh huyền - góc nhọn]
Suy ra \[CK = AH = 2cm\]
Điểm \[C\] cách đường thẳng \[d\] cố định một khoảng cách không đổi \[2cm\] nên \[C\] di chuyển trên đường thẳng \[m\] song song với \[d\] và cách \[d\] một khoảng bằng \[2cm\].
Bài 69 trang 103 sgk toán 8 tập 1
Ghép mỗi ý [1], [2], [3], [4] với một trong các ý [5], [6], [7], [8] để được một khẳng định đúng:
[1] Tập hợp các điểm cách điểm \[A\] cố định một khoảng \[3cm\]
[2] Tập hợp các điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng \[AB\] cố định
[3] Tập hợp các điểm nằm trong góc \[xOy\] và cách đều hai cạnh của góc đó
[4] Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng \[a\] cố định một khoảng \[3cm\]
[5] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].
[6] la hai đường thẳng song song với \[a\] và cách \[a\] một khoảng \[3cm\]
[7] là đường tròn tâm \[A\] bán kính \[3cm\].
[8] là tia phân giác của góc \[xOy\].
Bài giải:
Ghép các ý như sau:
[1] với [7]
[2] với [5]
[3] với [8]
[4] với [6]
Bài 70 trang 103 sgk toán 8 tập 1
Cho góc vuông \[xOy\], điểm \[A\] thuộc tia \[Oy\] sao cho \[OA = 2cm\]. Lấy \[B\] là một điểm bất kì thuộc tia \[Ox\]. Gọi \[C\] là trung điểm của \[AB\]. Khi điểm \[B\] di chuyển trên tia \[Ox\] thì điểm \[C\] di chuyển trên đường nào ?
Bài giải
Kẻ \[CH ⊥ Ox\]
Ta có \[CB = CA\] [vì \[C\] là trung điểm của \[AB\]]
\[CH // AO\] [cùng vuông góc \[Ox\]]
Mặt khác \[C\] là trung điểm của \[AB\] nên \[CH\] là đường trung bình của tam giác \[ABO\]
Suy ra \[CH = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{2}.2 = 1 [cm]\]
Điểm \[C\] cách tia \[Ox\] cố định một khoảng không đổi \[1cm\] nên \[C\] di chuyển trên tia \[Em\] song song với \[Ox\] và cách \[Ox\] một khoảng bằng \[1cm\].
Bài 71 trang 103 sgk toán 8 tập 1
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Lấy \[M\] là một điểm bất kì thuộc cạnh \[BC\]. Gọi \[MD\] là đường vuông góc kẻ từ \[M\] đến \[AB\], \[ME\] là đường vuông góc kẻ từ \[M\] đến \[AC\], \[O\] là trung điểm của \[DE\].
- Chứng mình rằng ba điểm \[A, O, M\] thẳng hàng.
- Khi điểm \[M\] di chuyển trên cạnh \[BC\] thì điểm \[O\] di chuyển trên đường nào ?
- Điểm \[M\] ở vị trí nào trên cạnh \[BC\] thì \[AM\] có độ dài nhỏ nhất ?
Bài giải:
- Tứ giác \[ADME\] có \[\widehat A = \widehat D = \widehat E = {90^0}\]
nên tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật
\[O\] là trung điểm của đường chéo \[DE\] do đó \[O\] cũng là trung điểm của \[AM\].
Vậy \[A, O, M\] thẳng hàng
- Kẻ \[AH ⊥ BC\].
Cách 1:
Kẻ \[OK ⊥ BC\]. Ta có \[OA = OM, OK // AH\] [do cùng vuông góc với \[BC\]].
Suy ra \[OK = {1 \over 2}AH\]
Điểm \[O\] cách đoạn \[BC\] cố định một khoảng không đổi bằng \[{1 \over 2}AH\].
Mặt khác khi \[M\] trùng \[C\] thì \[O\] chính là trung điểm của \[AC\], khi \[M\] trùng \[B\] thì \[O\] chính là trung điểm của \[AB\].
Vậy \[O\] di chuyển trên đoạn thẳng \[PQ\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\].
Cách 2:
Vì \[O\] là trung điểm của \[AM\] nên \[HO\] là trung tuyến ứng với cạnh huyền \[AM\]. Do đó \[OA = OH\]. Suy ra điểm \[O\] di chuyển trên đường trung trực của \[AH\].
Mặt khác vì \[M\] di chuyển trên đoạn \[BC\]. Vậy điểm \[O\] di chuyển trên đoạn thẳng \[PQ\] là đường trung bình của \[ABC\].
- Ta có \[AH\] là đường cao hạ từ \[A\] đến \[BC\] do đó \[AM\ge AH\]. Vậy \[AM\] nhỏ nhất khi \[M\] trùng \[H\].
Bài 72 trang 103 sgk toán 8 tập 1
Đố. Để vạch một đường thẳng song song với mép gỗ 10cm, bác thợ mộc đặt đoạn bút chì CD dài 10cm vuông góc với ngón tay trỏ lấy làm cữ [h.98], rồi đưa ngón trỏ chạy dọc theo mép gỗ AB. Căn cứ vào kiến thức nào mà ta kết luận được rằng đầu chì C vạch nên đường thẳng song song với AB và cách AB là 10cm ?
Bài giải:
Căn cứ vào tính chất đưởng thẳng song song với một đường thẳng cho trước ta kết luận là vì điểm C cách mép gỗ AB một khoảng bằng 10cm nên đầu chì C vạch nên đường thằng song song với AB và cách AB một khoảng 10cm.