Bài tập về tính đơn điệu của hàm số chứa tham số

þ Xét bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số $y=f\left[ x;m \right]$ đồng biến hoặc nghịch biến trên D [trong đó D là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng, nửa đoạn].

Phương pháp giải: Xét hàm số $f\left[ x;m \right]$ ta tính ${y}'={f}'\left[ x;m \right]$. Hàm số đồng biến trên D ⇔ ${y}'\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in D \right]$. Hàm số nghịch biến trên D ⇔ ${y}'\le 0\text{ }\left[ \forall x\in D \right]$. Cô lập tham số m và đưa bất phương trình ${y}'\ge 0$ hoặc ${y}'\le 0$ về dạng $m\ge f\left[ x \right]$ hoặc $m\le f\left[ x \right]$. Sử dụng tính chất: § Bất phương trình: $m\ge f\left[ x \right]\text{ }\forall x\in D\Leftrightarrow m\ge \underset{D}{\mathop{Max}}\,f\left[ x \right]$. § Bất phương trình: $m\le f\left[ x \right]\text{ }\forall x\in D\Leftrightarrow m\le \underset{D}{\mathop{Min}}\,f\left[ x \right]$.

Chú ý: Với hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left[ a\ne 0 \right]$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng $\left[ a;b \right]$ thì nó đồng biến trên đoạn $\left[ a;b \right]$.

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số các bạn xem chủ đề GTLN, GTNN của hàm số.

Lưu ý bất đẳng thức Cosi [AM – GM]: Cho các số thực không âm ${{a}_{1}},\text{ }{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ thì ta có:

${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}>n\sqrt[n]{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{n}}$.

Với hàm số lượng giác $F\left[ x \right]=a\operatorname{sinx}+b\cos x+c$ thì $\left\{ \begin{array}  {} MaxF\left[ x \right]=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+c \\  {} MinF\left[ x \right]=-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+c \\ \end{array} \right.$.

Bài tập xét tính đồng biến nghịch biến của hàm bậc 3 có đáp án

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+1$ đồng biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty  \right]$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6x+m$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 2;+\infty  \right]$ $\Leftrightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6x+m\ge 0\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty  \right]$

$\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+6x=g\left[ x \right]\left[ \forall x\in \left[ 0;+\infty  \right] \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0;+\infty  \right]}{\mathop{\max }}\,g\left[ x \right]$

Mặt khác ${g}'\left[ x \right]=-6x+6=0\Leftrightarrow x=1$. Ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left[ x \right]=0;\text{ }\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left[ x \right]=-\infty ;\text{ }g\left[ 1 \right]=3$.

Do vậy $\underset{\left[ 0;+\infty  \right]}{\mathop{\max }}\,g\left[ x \right]=+\infty $. Do đó $m\ge 3$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3mx-1$. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty  \right]$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}+6x+3m$.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty  \right]$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\forall x\subset \left[ 0;+\infty  \right]$

$\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}-2x=g\left[ x \right]\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty  \right]\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 0;+\infty  \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]$

Xét $g\left[ x \right]={{x}^{2}}-2x\left[ x\in \left[ 0;+\infty  \right] \right]$ ta có: ${g}'\left[ x \right]=2x-2=0\Leftrightarrow x=1$

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left[ x \right]=0;\text{ }\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left[ x \right]=+\infty ;\text{ }g\left[ 1 \right]=-1$ nên $\underset{\left[ 0;+\infty  \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]=-1$

Do đó $m\le -1$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-mx+1$. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $\left[ -2;0 \right]$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2x-m$.

Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $\left[ -2;0 \right]$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right]$

$\Leftrightarrow m\ge {{x}^{2}}+2x=g\left[ x \right]\left[ \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left[ x \right]$

Mặt khác ${g}'\left[ x \right]=2x+2=0\Leftrightarrow x=-1$

Lại có $g\left[ -2 \right]=0;\text{ }g\left[ 0 \right]=0;\text{ }g\left[ -1 \right]=-1$. Do vậy $\underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left[ x \right]=0$

Vậy $m\ge 0$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4: [Đề thi tham khảo của Bộ GD{}ĐT năm 2019]: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=-{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+\left[ 4m-9 \right]x+4$ nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$ là A. $\left[ -\infty ;0 \right]$. B. $\left[ -\frac{3}{4};+\infty  \right]$. C. $\left[ -\infty ;-\frac{3}{4} \right]$.              D. $\left[ 0;+\infty  \right]$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}-12x+4m-9$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$ $\Leftrightarrow {y}'=-3{{x}^{2}}-12x+4m-9\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-1 \right] \right]$

$\Leftrightarrow 4m\le 3{{x}^{2}}+12x+9\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-1 \right] \right]\Leftrightarrow \frac{4m}{3}\le {{x}^{2}}+4x+3\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-1 \right] \right]\left[ * \right]$

Xét $g\left[ x \right]={{x}^{2}}+4x+3$ trên khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$ ta có: ${g}'\left[ x \right]=2x+4=0\Leftrightarrow x=-2$.

Ta tìm được $\underset{\left[ -\infty ;-1 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]=g\left[ -2 \right]=-1\Rightarrow \left[ * \right]\Leftrightarrow \frac{4m}{3}\le -1\Leftrightarrow m\le -\frac{3}{4}$. Chọn C.

Ví dụ 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\left[ m-2 \right]{{x}^{2}}+\left[ 2m+3 \right]x$ nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;3 \right]$?

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2\left[ m-2 \right]x+2m+3$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;3 \right]$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]$ [Do hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta mở rộng ra đoạn $\left[ 0;3 \right]$].

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3\le -2m\left[ x+1 \right]\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]\Leftrightarrow 2m\le \frac{-{{x}^{2}}+4x-3}{x+1}=g\left[ x \right]\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]$

$\Leftrightarrow 2m\le \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]$

Ta có: ${g}'\left[ x \right]=\frac{-{{x}^{2}}-7x+7}{{{\left[ x+1 \right]}^{2}}}=0\xrightarrow{x\in \left[ 0;3 \right]}x=-1+2\sqrt{2}$

Mặt khác $g\left[ 2\sqrt{2}-1 \right]=6-4\sqrt{2},\text{ }g\left[ 0 \right]=-3,\text{ }g\left[ 3 \right]=0$.

Do đó $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]=-3\Rightarrow 2m\le -3\Leftrightarrow m\le -\frac{3}{2}$.

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 20 để hàm số $y={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+\left[ m+2 \right]x+{{m}^{2}}$ đồng biến trên khoảng $\left[ -1;+\infty  \right]$. A. 13. B. 14. C. 15. D. 16.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+12x+m+2$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -1;+\infty  \right]\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left[ \forall x\in \left[ -1;+\infty  \right] \right]$ [Do hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta có thể lấy $x\in \left[ -1;+\infty  \right]$].

$\Leftrightarrow g\left[ x \right]=3{{x}^{2}}+12x+2\ge -m\left[ \forall x\in \left[ -1;+\infty  \right] \right]\Leftrightarrow \underset{\left[ -1;+\infty  \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]\ge -m\left[ * \right]$

Ta có: ${g}'\left[ x \right]=6x+12>0\left[ \forall x\in \left[ -1;+\infty  \right] \right],\text{ }g\left[ -1 \right]=-7$.

Suy ra $\left[ * \right]\Leftrightarrow -7\ge -m\Leftrightarrow m\ge 7$.

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]\Rightarrow f\left[ x \right]$ đồng biến trên khoảng $\left[ 0;3 \right]$.

Vậy $f\left[ x \right]0\left[ \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right]$

$\Rightarrow g\left[ x \right]$ đồng biến trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$

Ta có: $g\left[ x \right]=\frac{3{{x}^{2}}-1}{4x+1}\le \text{m }\left[ \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right]\Leftrightarrow m\ge g\left[ 2 \right]=\frac{11}{9}$. Chọn C.

Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=2{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+2x$ đồng biến trên khoảng $\left[ -2;0 \right]$. A. $m\ge -2\sqrt{3}$. B. $m\le 2\sqrt{3}$. C. $m\ge -\frac{13}{2}$. D. $m\ge \frac{13}{2}$.

Lời giải chi tiết

Cách 1: Ta có: ${y}'=6{{x}^{2}}-2mx+2$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -2;0 \right]\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right]$.

$\Leftrightarrow mx\le 3{{x}^{2}}+1\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right]\Leftrightarrow m\ge 3x+\frac{1}{x}\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left[ x \right]$

Xét $f\left[ x \right]=3x+\frac{1}{x}\text{ }\left[ x\in \left[ -2;0 \right] \right]$ ta có ${f}'\left[ x \right]=3-\frac{1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{ }\left[ loai \right] \\  {} x=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \end{array} \right.$

Lại có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left[ x \right]=-\infty ;\underset{x\to {{\left[ -2 \right]}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left[ x \right]=\frac{-13}{2},f\left[ -\frac{1}{\sqrt{3}} \right]=-2\sqrt{3}$

Vậy $m\ge -2\sqrt{3}$. Chọn A.

Cách 2: $f\left[ x \right]=3x+\frac{1}{x}=-\left[ 3\left[ -x \right]+\frac{1}{\left[ -x \right]} \right]\le -2\sqrt{3}\Rightarrow \underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left[ x \right]=-2\sqrt{3}$ khi $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}+mx-\frac{1}{5{{x}^{5}}}$ đồng biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty  \right]$? A. 5. B. 3. C. 0. D. 4.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+m+\frac{1}{{{x}^{6}}}$

Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty  \right]\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 0;+\infty  \right] \right]$

$\Leftrightarrow g\left[ x \right]=3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}\ge -m\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 0;+\infty  \right] \right]\Leftrightarrow \underset{\left[ 0;+\infty  \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]\ge -m\left[ * \right]$

Lại có: $g\left[ x \right]=3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}\ge 4\sqrt[4]{{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.\frac{1}{{{x}^{6}}}}=4$ [Bất đẳng thức AM – GM]

Do đó $\left[ * \right]\Leftrightarrow -m\le 4\Leftrightarrow m\ge -4$.

Theo bài ta có $m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}$. Chọn D.

Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y={{x}^{4}}-2\left[ m-1 \right]{{x}^{2}}+m-2$ đồng biến trên khoảng $\left[ 1;3 \right]$. A. $m\le 1$. B. $m2$.

Lời giải

Hàm số xác định $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3\ge 0\Leftrightarrow {{\left[ x+2m \right]}^{2}}+3\ge 0$ [Luôn đúng].

Ta có ${f}'\left[ x \right]={{\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3} \right]}^{\prime }}=\frac{x+2m}{\sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3}}$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;2 \right]$, khi đó

${y}'\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;2 \right] \right]\Leftrightarrow \frac{x+2m}{\sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3}}\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;2 \right] \right]$

Suy ra $x+2m\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;2 \right] \right]\Leftrightarrow m\le -\frac{x}{2}\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;2 \right] \right]\Leftrightarrow m\le \frac{-2}{2}=-1$. Chọn A.

Ví dụ 19: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left[ 2m-1 \right]x+1$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2? A. $m=0,\text{ }m=2$. B. $m=1$. C. $m=0$. D. $m=2$.

Lời giải

Ta có ${y}'={{\left[ {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left[ 2m-1 \right]x+1 \right]}^{\prime }}=3{{x}^{2}}-6mx+3\left[ 2m-1 \right]$.

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2  PT ${y}'=0$ là hai nghiệm ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2$.

Hàm số có hai cực trị, khi đó $\text{Δ'}\left[ {{y}'} \right]>0\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-9\left[ 2m-1 \right]>0\Leftrightarrow {{\left[ m-1 \right]}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}\text{+ }{{x}_{2}}=2m \\  {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=2m-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow {{\left[ {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right]}^{2}}=4$

$\Leftrightarrow {{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4\left[ 2m-1 \right]=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=0 \\  {} m=2 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Ví dụ 20: Tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left[ 3-2m \right]x+m$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $2\sqrt{5}$ là: A. $T=2$. B. $T=-2$. C. $T=-4$. D. $T=4$.

Lời giải

Ta có: ${y}'={{x}^{2}}-2mx+3-2m$.

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $2\sqrt{5}$ khi phương trình ${{x}^{2}}-2mx+3-2m=0\left[ * \right]$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\sqrt{5}$

Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt khi $\text{Δ'}={{m}^{2}}+2m-3>0$

Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\  {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=3-2m \\ \end{array} \right.$

Ta có: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left[ {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right]}^{2}}=20\Leftrightarrow {{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=20\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+8m-12=20\left[ t/m \right]$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=-4 \\  {} m=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T=-2$. Chọn B.

Ví dụ 21: Xác định giá trị của b để hàm số $f\left[ x \right]=\sin x-bx+c$ nghịch biến trên toàn trục số. A. $b\le 1$. B. $b1$. D. $b\ge 1$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=\cos x-b$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \cos x-b\le 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow b\ge \cos x\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow b\ge 1$.

Chọn D.

Ví dụ 22: : Xác định giá trị của m để hàm số $f\left[ x \right]=\sin 2x+mx+c$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. A. $m\ge 2$. B. $-2\le m\le 2$. C. $m>2$. D. $m\ge -2$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=2\cos 2x+m$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left[ \forall x\in \mathbb{R} \right]\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,{y}'=-2+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge 2$. Chọn A.

Ví dụ 23: Xác định giá trị của m để hàm số $y=m\sin x+\cos x+\left[ m+1 \right]x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. A. $m\ge 0$. B. $-1\le m\le 1$. C. $m>1$. D. $m\ge -1$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=m\cos x-\sin x+m+1$.Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left[ \forall x\in \mathbb{R} \right]$.

$\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,{y}'=-\sqrt{{{m}^{2}}+1}+m+1\ge 0\Leftrightarrow m+1\ge \sqrt{{{m}^{2}}+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ge -1 \\  {} {{m}^{2}}+2m+1\ge {{m}^{2}}+1 \\ \end{array} \right.$

. Chọn A.

Ví dụ 24: Xác định giá trị của tham số m để hàm số $y=\left[ m-3 \right]x-\left[ 2m+1 \right]\cos x$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$. A. $-4\le m\le \frac{2}{3}$. B. $-4\le m\le 3$. C. $-1\le m\le \frac{2}{3}$. D. $-1\le m\le 3$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=m-3+\left[ 2m+1 \right]\sin x$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\left[ \forall x\in \mathbb{R} \right]$

$\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,{y}'=m-3+\left| 2m+1 \right|\le 0\Leftrightarrow 3-m\ge \left| 2m+1 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\le 3 \\  {} {{\left[ 3-m \right]}^{2}}\ge {{\left[ 2m+1 \right]}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\le 3 \\  {} 3{{m}^{2}}+10m-8\le 0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow -4\le m\le \frac{2}{3}$. Chọn A.

Ví dụ 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-\left[ 3m+6 \right]{{x}^{2}}+\left[ 3{{m}^{2}}+12m \right]x+{{m}^{2}}-m$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$. A. $0\le m\le 1$. B. $\left[ \begin{array}  {} m\ge 1 \\  {} m\le 0 \\ \end{array} \right.$. C. $-1\le m\le 1$.              D. $\left[ \begin{array}  {} m\ge 1 \\  {} m\le -1 \\ \end{array} \right.$..

Lời giải

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left[ m+2 \right]x+3\left[ {{m}^{2}}+4m \right]=3\left[ x-m \right]\left[ x-m-4 \right];\text{ }{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=m \\  {} x=m+4 \\ \end{array} \right.$.

Do đó phương trình ${y}'=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt

Bảng biến thiên

Để hàm số nghịch biến trên $\left[ 1;3 \right]$ thì $\left\{ \begin{array}  {} m\le 1 \\  {} m+4\ge 3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\le 1 \\  {} m\ge -1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -1\le m\le 1$. Chọn C.

Ví dụ 26: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-6m{{x}^{2}}+\left[ 12{{m}^{2}}-3 \right]x+m+3$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$. A. $-1\le m\le 1$. B. $\left[ \begin{array}  {} m\ge 1 \\  {} m\le -1 \\ \end{array} \right.$. C. $\left[ \begin{array}  {} m\ge \frac{1}{2} \\  {} m\le 0 \\ \end{array} \right.$. D. $0\le m\le \frac{1}{2}$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-12mx+12{{m}^{2}}-3=3\left[ x-2m+1 \right]\left[ x-2m-1 \right];\text{ }{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2m+1 \\  {} x=2m-1 \\ \end{array} \right.$.

Do đó phương trình

 luôn có 2 nghiệm phân biệt

Bảng biến thiên

Để hàm số nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]$ thì $\left\{ \begin{array}  {} 2m-1\le 0 \\  {} 2m+1\ge 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\le \frac{1}{2} \\  {} m\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le \frac{1}{2}$. Chọn D.

Ví dụ 27: Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -20;20 \right]$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3\left[ m-1 \right]{{x}^{2}}-\left[ 9{{m}^{2}}-6m \right]x+2m+1$ nghịch biến trên khoảng $\left[ 2;4 \right]$ là: A. 17. B. 36. C. 19. D. 41.

Lời giải

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left[ m-1 \right]x-3m\left[ 3m-2 \right]=3\left[ x+m \right]\left[ x-\left[ 3m-2 \right] \right]3 \right]\Leftrightarrow x-m\ge 0\text{ }\left[ \forall x>3 \right]\Leftrightarrow x\ge m\text{ }\left[ \forall x>3 \right]\Leftrightarrow 3\ge m$.

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \mathbb{Z} \\  {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 14 giá trị của m. Chọn B.

Ví dụ 30: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left[ {{m}^{2}}-1 \right]x+1$. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của $m\in \left[ -20;20 \right]$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty  \right]$. Số phần tử của tập hợp S là A. 22. B. 19. C. 21. D. 20.

Lời giải

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left[ {{m}^{2}}-1 \right]$. Ta có: ${y}'\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+\left[ {{m}^{2}}-1 \right]\ge 0$

$\Leftrightarrow \left[ x-m-1 \right]\left[ x-m+1 \right]\ge 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ge m+1 \\  {} x\le m-1 \\ \end{array} \right.$.

Do vậy hàm số đồng biến trên $\left[ -\infty ;m-1 \right]$ và $\left[ m+1;+\infty  \right]$

Để hàm số đã cho đồng biến trên x$\left[ 0;+\infty  \right]\Leftrightarrow m+1\le 0\Leftrightarrow m\le -1$

.Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \mathbb{Z} \\  {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 20 giá trị nguyên của m. Chọn D.

Ví dụ 31: Cho hàm số $y=-{{x}^{4}}+4\left[ 3m-2 \right]{{x}^{2}}+2m+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -20;20 \right]$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-2 \right]$ A. 22. B. 23. C. 21. D. 20.

Lời giải

Ta có: ${y}'=-4{{x}^{3}}+8\left[ 3m-2 \right]x$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-2 \right]$.

$\Leftrightarrow -4{{x}^{3}}+8\left[ 3m-2 \right]x\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-2 \right] \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left[ 3m-2 \right]\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-2 \right] \right]$

[Do $-4x\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-2 \right] \right]$]

$\Leftrightarrow 2\left[ 3m-2 \right]\le {{x}^{2}}\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-2 \right] \right]\Leftrightarrow 2\left[ 3m-2 \right]\le \underset{\left[ -\infty ;-2 \right]}{\mathop{\min }}\,{{x}^{2}}=4\Leftrightarrow 3m-2\le 2\Leftrightarrow m\le \frac{4}{3}$.

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \mathbb{Z} \\  {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 22 giá trị của m. Chọn A.

Ví dụ 32: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left[ 2m+3 \right]{{x}^{2}}+m-1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;3 \right]$. A. 8. B. 7. C. 6. D. 5.

Lời giải

Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-4\left[ 2m+3 \right]x$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;3 \right]$.

$\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4\left[ 2m+3 \right]x\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left[ 2m+3 \right]\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le 2m+3\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]\Leftrightarrow 2m+3\ge 9\Leftrightarrow m\ge 3$

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \mathbb{Z} \\  {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 8 giá trị của m. Chọn A.

Ví dụ 33: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-8\left[ {{m}^{2}}-5 \right]{{x}^{2}}+3m-1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 3;+\infty  \right]$. A. 4. B. 5. C. 6. D. 7..

Lời giải

Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-8\left[ {{m}^{2}}-5 \right]x$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 3;+\infty  \right]$.

$\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-8\left[ {{m}^{2}}-5 \right]x\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 3;+\infty  \right] \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left[ {{m}^{2}}-5 \right]\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 3;+\infty  \right] \right]$.

$\Leftrightarrow 2\left[ {{m}^{2}}-5 \right]\le {{x}^{2}}\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 3;+\infty  \right] \right]\Leftrightarrow 2\left[ {{m}^{2}}-5 \right]\le 9\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le \frac{19}{2}$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 0;\pm 1;\pm 2;\pm 3 \right\}$. Chọn D.