BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Mục lục
CHƯƠNG I: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT. 2
I.1-BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP [1] 2
1.Hoán vị: 2
Giả sử có n phần tử được xếp ở n vị trí. Ta đooir chỗ các phần tở cho nhau. Số cách đổi chỗ của na phần tử cho nhau gọi là số hoán vị của n phần tử. Số cách ấy được chứng mih bằng: n! = n.[n-1][n-2]….2.1. Quy ước 0! = 1 2
2.Tổ hợp: 2
Ta lấy tùy ý k phần tử từ tập n phần tử [ k ≤ n ], sao cho hai cách lấy được gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử là khác nhau. Số cách lấy k phần tử như vậy gọi là mọt tổ hợp chập k của n. ký hiệu:
3.Chỉnh hợp: 2
4.Luật tích: 3
5. Công thức Newton: 3
I.2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT [2+1] 3
1. Phép thử và biến cố: 3
2. Khái niệm và định nghĩa về xác suất: 4
2.2.Định nghĩa thống kê về xác suất 7
3. Nguyên lý xác suất lớn và xác suất nhỏ. 8
4.Quan hệ giữa các biến cố. 8
BÀI TẬP. 10
I.3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT [ 2 + 1 ] 14
1.Định lý cộng xác suất: 14
2. Định lý nhân xác suất 15
3. Công thức Becnuni: 17
4. Công thức xác suất đầy đủ: 18
5.Công thức Bayes: 19
BÀI TẬP. 20
CHƯƠNG II: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. 21
II.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN [1] 21
1.Định nghĩa: 21
2. Phân loại biến ngẫu nhiên: 21
II.2.QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN.. 22
CHƯƠNG I: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT
I.1-BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP [1]
1.Hoán vị:
Giả sử có n phần tử được xếp ở n vị trí. Ta đooir chỗ các phần tở cho nhau. Số cách đổi chỗ của na phần tử cho nhau gọi là số hoán vị của n phần tử. Số cách ấy được chứng mih bằng: n! = n.[n-1][n-2]….2.1. Quy ước 0! = 1
Thí dụ 1: Có 3 người : A, B, C xếp vào 3 chỗ ngồi. có các cách xếp như sau: ABC, ACB, CAB, CBA, BCA, BAC Cả thảy có 3! = 1.2.3 = 6 cách xếp.
2.Tổ hợp:
Ta lấy tùy ý k phần tử từ tập n phần tử [ k ≤ n ], sao cho hai cách lấy được gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử là khác nhau. Số cách lấy k phần tử như vậy gọi là mọt tổ hợp chập k của n. ký hiệu:
Chú ý:
Thí dụ 2: chọn ngẫu nhiên 2 người trong một nhóm 3 người A,B,C ta có số cách chọn là:
Giải: số cách chọn là :
3.Chỉnh hợp:
Ta lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ tập hợp gồm n phần tử sao cho hai cách lấy được gọi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhât một phần tử khác nhau hoặc thứ tự lấy ra của các phần tử là khác nhau. Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. ký hiệu :
Thí dụ 3: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong nhóm 3 người A, B, C để đi làm một nhiệm vụ nào đó. Ai được chọn đầu tiên sẽ làm nhóm trưởng.
Giải: Theo thí dụ 2 ta đã có 3 cách chọn AB, AC, BC
Do hai cách chọn khác nhau còn kể đến thứ tự nên có thêm 3 cách chọn: BA, CA, CB . do đó có tất cả 6 cách chọn. theo công thức:
Nhận xét: Mỗi cách chọn theo nghĩa tổ hợp, do cách chọn theo nghĩa chỉnh hợp có kể tới thứ tự chọn [ có k! cách hoán vị k phần tử ] nên sẽ có:
4.Luật tích:
Nếu có 2 công việc A1 và A2 khác nhau sao cho có k1 cách thực hiện công việc A1, k2 cách thưch hiện công việc A2 thì số cách thực hiện liên tiếp hai công việc A1 và A2 là k1.k2.
Thí dụ 4: Có bao nhiêu cách lấy ra 5 con bài từ 52 quân bàì của bộ tú lơ khơ sao cho có 3 con át và 2 con 10.
Giải: Số cách lấy ra 3 con át:
Số cách lấy ra 2 con 10:
Số cách lấy ra 3 con át và 2 con 10 là:
5. Công thức Newton :
I.2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT [2+1]
1. Phép thử và biến cố:
Khi tung một đồng xu xuống đất có thể có hai khả năng xẩy ra là hoặc mặt sấp xuất hoặc mặt ngửa xuất hiện. Việc tung con xúc xắc đó là một phép thử còn việc xuất hiện mặt nào đó là biến cố.
Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có sảy ra hay không được gọi là một phép thử, còn hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đó gọi là biến cố.
Thí du 1: Từ một lô sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Việc lấy ngâu nhiên một sản phẩm là một phép thử còn việc lấy được chính phẩm hay phế phẩm là biến cố.
Vậy một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được thực hiện
Các loại biến cố:
+ Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện một phép thử. Ký hiệu : U
Thí dụ 2: Thực hiện phép thử tung một con xúc xắc. Gọi U là biến cố “ xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 6 “ . U là biến cố chắc chắn.
+ Biến cố không thể có : Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu là: V
Thí dụ 3: Thực hiện phép thử tung một con xúc xắc. Gọi V là biến cố “ xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 7 “ . V là biến cố không thể có.
+Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi phép thử được thực hiện. Ký hiệu: A, B, C, …hoặc A1, A2, ….B1, B2, …..
+ Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích được nữa
Thí dụ 4: khi tung một con xúc xắc, gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm [i:=1;2;3;4;5;6] Ai là một biến cố ngẫu nhiên. Và thêm nữa đó là các biến cố sơ cấp; gọi B là biến cố “ xuất hiện mặt có số chấm chẵn “ B xảy ra khi hoặc A2; hoặc A4, hoặc A6 xảy ra nên B không là biến cố sơ cấp.
2. Khái niệm và định nghĩa về xác suất:
Khi thực hiện lặp đi lặp lại một phép thử nhiều lần trong cùng một điều kiện, tính ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xẩy ra biến cố sẽ được thể hiện theo những quy luật nhất định. Từ đó cho thấy có thể định lượng [ đo lường] khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó.
Xác suất của một biến cố là một số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử.
2.1.Định nghĩa cổ điển về xác suất:
Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là tỉ số giữa số trường hợp thuận lợi cho A và tổng số trường hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó.
Ký hiêu : P[A] là xác suất của biến cố A; m là số trường hợp thuận lợi cho A; n là số trường hợp duy nhất đồng khả năng của phép thử. Khi đó:
2.1.1. Các tính chất của xác suất:
a. 0 < P[A] < 1
b. P[U] = 1
c. P[V] = 0
2.1.2. Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển.
+ Phương pháp suy luận trực tiếp:
Thí dụ 1: Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất .Tìm xác suất xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
Giải: Gọi a là biến cố” xuất hiện mặt có số chấm chẵn “ khi gieo một lần con xúc xắc số trường hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra là n = 6. Biến cố A sẽ xảy ra khi xuất hiện mặt 2 chấm, hoặc 4 chấm, hoặc 6 chấm, nên m = 3. Ta có
+ Phương pháp dùng sơ đồ:
Thí dụ 2: [ dạng bảng ma trận ]
Tung một con xúc xắc hai lần. tìm xác suất để trong đó có một lần được 6 chấm.
Giải: gọi A la biến cố “ Trong hai lần tung có một lần được 6 chấm “ Ta mô tả số trường hợp duy nhất đồng khả năng của phép thử nhờ bảng sau:
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 2 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
| 3 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
| 4 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 |
| 5 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 |
| 6 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 |
Có 36 trường hợp duy nhât đồng khả năng, n = 36
Có 10 trường hợp thuần lợi cho A, m = 10
Vậy P[A] =
Thí dụ 3: [ dạng tập hợp biểu đồ Ven]
Trong một lớp 50 học sinh có:
20 người chơi bóng đá
15 người chơi bóng chuyền
10 người chơi bóng rổ
8 người chơibongs đá và bóng chuyền
5 người chơi bóng đá và bóng rổ
1 người chơi bóng đá, bóng chuyền và bóng rổ.
Lấy ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp. Tìm xác suất để người đó chơi ít nhất 1 môn bóng.
Giải: gọi A là biến cố “ lấy ngẫu nhiên một học sinh và học sinh đó biết chơi ít nhất 1 môn bóng “
Ta minh họa bởi sơ đồ sau:
Số trường hợp thuận lợi là m = 8+5 + 3+7+4+1+2 = 30
Số trường hợp có thể là n = 50
Vậy
+ Phương pháp dùng các công thức của giải tích tổ hợp:
Thí dụ 4: Một người khi gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện thoại và chỉ nhớ là chúng khác nhau. Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi.
Giải: gọi B là biến cố “ quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi “. Số trường hợp duy nhất đồng khả năng là số các trường hợp lập được hai số cuối từ 10 chữ số; 0; 1; 2…; 9 là
Vậy:
Thí dụ 5: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. lấy ngẫu nhiên từ hộp đó 3 sản phẩm. Tìm xác suất để;
a. Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm
b. Trong 3 sản phẩm lấy ra có dúng 2 chính phẩm
Giải: a. Gọi a là biến cố “ lấy ra được 3 chính phẩm”. Số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra là n =
b. Gọi B là biến cố “Trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 2 chính phẩm”. Số trường hợp lấy được 2 chính phẩm là :
Vậy:
Thí dụ 6: Trong 3 tháng cuối năm biết rằng có 5 máy đã bị hỏng. Tìm xác suất để không có ngày nào có quá 1 máy bị hỏng.
Giải; Gọi A là biến cố “ không có ngày nào có quá 1 máy bị hỏng”. Số trường hợp có thể đồng khả năng là chỉnh hợp lặp chập 5 của 92 phần tử
*Nhận xét:
- Để tìm xác suất của một biến cố bằng định nghĩa cổ điển, ta không cần thực hiện phép thử [ phép thử chỉ là giả định
- Cho phép tính chính xác giá trị của xác xuất [ nếu đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của định nghĩa ]
- Định nghĩa cổ điển về xác suất chỉ dùng được trong trường hợp số trường hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử là số hữu hạn.
- Việc đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của định nghĩa cổ điển xác suất trên thực tế là khó đạt được chẳng hạn tính cân đối và đồng chất của một con xúc xắc.
2.2.Định nghĩa thống kê về xác suất
2.2.1. Định nghĩa 1: Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thứ là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện
Ký hiệu : tần suất của biến cố A là f[A]; k là số lần xuất hiện biến cố A; số phép thử là n thì:
Thí dụ 1: khi kiểm tra ngẫu nhiên 90 sản phẩm sản xuất do một xí nghiệp sản xuất, phát hiện ra 7 phế phẩm. gọi A là biến cố: “xuất hiện phế phẩm”. Vậy tần suất xuất hiện phế phẩm là:
` Người ta nhận thấy rằng nếu tiến hành thí nghiệm trong những điều kiện như nhau và số phép thử khá lớn thì tần suất thể hiện tính ổn định của nó khá lớn.
2.2.2. Định nghĩa 2: Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là một số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động rất ít xung quanh p khi số phép thử tăng lên vô hạn.
Như vậy với n đủ lớn ta có thể lấy:
· Nhận xét:
- Ưu điểm của định nghĩa thông kê xác suất là không đòihỏi các điều kiện như định nghĩa cổ điển
- Hạn chế là phải thực hiện số phép thử đủ lớn và chỉ áp dụng được với những biến cố mà tần suất của nó có tính ổn định
2.3. Định nghĩa tiên đề về xác suất:
Gọi [ E1, E2,….,En ] là không gian các biến cố sơ cấp [ Thực tế là tập hợp tất cả các khả năng có thể của một phép thử ]. Mỗi biến cố A là một tập con trong không gian đó.
Tiên đề 1: Với mọi biến cố A đều có P[A]
Tiên đề 2: Nếu [ E1, E2,….,En ] tạo nên không gian các biến cố sơ cấp thì :
P[E1] + P[E2]+….+ P[En] = 1
Tiên đề 3: Nếu biến cố A1; A2;….Ak;…là các tập con không giao nhau của các biến cố sơ cấp thì:
3. Nguyên lý xác suất lớn và xác suất nhỏ
3.1. Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố ngẫu nhiên có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.
Tuy nhiên một xác suất như thế nào được xem là nhỏ phải tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. Ví như xác suất để dù [dùng cho nhảy dù] không mở là 0,01 thì cũng không thể coi là nhỏ và không thể dùng loại dù đó. Nhưng nếu xác xuất để tàu về ga chậm là 0,01 thì lại có thể xem là tàu về ga đúng giờ.
3.2. nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố ngẫu nhiên có xác suất gần bằng 1 thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử
4.Quan hệ giữa các biến cố.
+.Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A
+ Quan hệ tương đương: Hai biến cố A và B gọi là tương đương với nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ khi
+Tổng của hai biến cố: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là
+ Tích hai biến cố: Tích hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là
+ Hai biến cố A và B là xung khắc với nhau khi và chỉ khi xảy ra A thì không xảy ra B và ngược lại Hay A.B =
+ Hiệu của biến cố A và biến cố B: là một biến cố ký hiệu là A \ B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra.
BÀI TẬP
1.lấy ngẫu nhiên ba quân bài từ một cỗ bài có 52 quân. Tìm xác suất để :
a. Được 3 quân át
b. Được 1 quân át
Giải: a. Gọi biến cố A là “ lấy được 3 quân át”
Số trường hợp có thể đồng khả năng là :
Số trường hợp thuận lợi cho A là:
Vậy P[A] =
b.Gọi B là biến cố ‘ lấy 2 con bài được 1 con át”
Số trường hợp thuận lợi cho B là:
Vậy
2.Thang máy của một tòa nhà 7 tầng xuất phát từ tầng một với 3 khách. Tìm xác suất để:
a. Tất cả cùng ra ở tầng 4
b. Tất cả cùng ra ở một tầng
c. Mỗi người ra ở một tầng khác nhau.
Giải: Gọi biến cố tương ứng với a, b, c là A, B, C
số trường hợp có thể đồng khả năng cho cả a, b, c là: n =
a. Số trường hợp thuận lợi cho A là: m = 1 Do đó P[A] = 1/216
b. Số trường hợp thuận lợi cho B là: m = 6 ; P[B] = 6/216 = 1/36
c. Số trường hợp thuận lợi cho C là: m =
Bài 5. Tại một thành phố có 7 siêu thị khác nhau. Có 3 khách du lịch, mỗi người ngẫu nhiên đi đến một siêu thị để mua sắm. Tính xác suất để
a- ba người đến 3 siêu thị khác nhau.
b- ba người không cùng đến một siêu thị.
c- có ít nhất 2 người cùng đến một siêu thị.
Giải: Số trường hợp có thể: mõi người đều có đồng khả năng để đến các hách sạn nên n =
a. Số trường hợp thuận lợi cho a] m =
b. Gọi A là biến cố “ cả 3 người cùng vào một siêu thị” thì
c. Gọi C1 là biến cố có đúng hai người vào cung một siêu thị; C là biến cố có ít nhất 2 người vào cung một siêu thị, thì : C = C1 + A, do C1 và A là các biến cố độc lập nên P[C] = P[C1] + P[A].
Có
Có
Số trường hợp thuận lợi cho C1 là m =
Vậy: P[C] = 18/49 + 1/49 = 19/49
Đáp số: a. 30/49; b. 48/49; c. 19/49
3.Tìm xác suất để 3 người gặp nhau ngẫu nhiên ngoài đường thì họ: [ một năm có 360 ngày ]
a. Có ngày sinh nhật khác nhau.
b. Có ngày sinh nhật trùng nhau .
Giải: Số trường hợp có thể đồng khả năng là:
Số trường hợp thuận lợi cho a là:
Số trường hợp thuận lợi cho b là: 1 P[B] = 1/7711320
4. Có thể xem xác suất sinh con trai là bao nhiêu nếu theo dõi 88200 trẻ sơ sinh ở một vùng thấy có 45.600 con trai.
Giải: Gọi A là biến cố “sinh con trai ở vùng nọ”
5. Số lượng nhận viên của công ty A được phân loại theo lứa tuổi và giới tính như sau:
| Tuổi | Nam | nữ | Tổng |
| Dưới 30 | 120 | 170 | 290 |
| Từ 30 đến 40 | 260 | 420 | 680 |
| Trên 40 | 400 | 230 | 630 |
| Tổng | 780 | 820 | 1600 |
Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một người của công ty thì được:
a.Một nhân viên từ 40 tuổi trở lên
b.Một nam nhân viên trên 40 tuổi
c. một nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống
Giải:
a.
b.
c.
6.Ba nữ nhân viên phục vụ A, B, C, thay nhau rửa chén trong một tháng [30 ngày] và giải thiết ba người này đều “khéo léo” như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ. tìm xác suất để:
a. Chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén
b. Một trong 3 người đánh vỡ 3 chén.
c. Một trong 3 người đánh vỡ cả 4 chén.
Giải: Do khả năng vỡ của 4 chén đều có thể vỡ vào một ngày nào đó của tháng nên số trường hợp có thể duy nhất đồng khả năng là: n =
a. Số trường hợp thuận lợi cho a là:
Vậy P[A] = 4/81
b. Có
có 3 cách chọn 1 trong 3 người làm vỡ 3 chén
có 103 khả năng người làm vỡ 3 chén trong 10 ngày mình phụ trách
có 2 khả năng cho hai người còn lại làm vỡ 1 chén, mỗi trường hợp này lại có 10 khả năng làm vỡ trong 10 ngày mà họ phụ trách. Các khả năng trên xảy ra liên tiếp nên:
Số trường hợp thuận lợi cho b là : m = 4.3.103.2.10
Vậy P[B] = 8/27
I.3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT [ 2 + 1 ]
1.Định lý cộng xác suất:
1.1. Định lý: Xác suất của tổng hai biến cố xung khắc bằng tổng các xác suất của các biến cố đó.
Hệ quả 1: Cho A1, A2, …, An là các biến cố xung khác từng đôi khi đó:
Thí dụ 1: Xác suất để một xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là 0,1; trúng điểm 9 là 0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và ít hơn 8 điểm là 0,45. xạ thủ đó bắn một viên đạn. tìm xác suất để xạ thủ đó bắn được ít nhất 9 điểm.
Giải: gọi A là biến cố “ Xạ thủ bắn được ít nhất 9 điểm”, A1 là biến cố “ Xạ thủ bắn trúng điểm 10”; A2 là biến cố “Xạ thủ bắn trúng điểm 9 “ khi đó A1 và A2 là xung khắc với nhau và A = A1+ A2 . theo định lý công xác suất
P[A] = P[A1] + P[A2] = 0,1 + 0,2 = 0,3
1.2.Nhóm đầy đủ các biến cố: Các biến cố A1, A2, …, An được gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố nếu chúng xung khắc từng đôi với nhau và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn
Thí dụ 2: Khi gieo một con xúc xắc, gọi Ai [i:= 1,2,..,6] là biến cố xuất hiện mặt i chấm thì các biến cố Ai lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố
Hệ quả 2: Nếu các biến cố A1, A2, …, An là nhóm đầy đủ các biến cố thì tổng các xác suất của chúng bằng 1.
+ Biến cố đối lập:
Thí dụ 3: Bắn một viên đạn vào bia, gọi A là biến cố “ bắn trúng bia”
Hệ quả 3: Tổng xác suất của hai biến cố đối lập nhau bằng 1
Thí dụ 4: Trong hòm có n sản phẩm, trong đó có m chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên k sản phẩm. tìm xác suất để trong đó có ít nhất một chính phẩm.
Giải: Gọi A là biến cố “ Trong k sản phẩm lấy ra có ít nhất một chính phẩm” thì biến cố đối lập
Số trường hợp có thể đồng khả năng là
Số trường hợp thuận lợi cho
Thí dụ 5: Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ra 6 chi tiết thì có không quá một chi tiết hỏng.
Giải: gọi A0 là biến cố “ 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”; A1 là biến cố ‘ trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”; A là biến cố “ trong 6 chi tiết lấy ra có không quá một chi tiết hỏng”
Vậy ; A = A0 + A1 vì A0 và A1 là xung khắc do đó
P [A] = P[A0+A1] =P[A0] +P[A1] =
2. Định lý nhân xác suất
2.1.Định nghĩa 1: Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia và ngược lại. còn nếu không như thế tức là việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này làm thay đổi xác suất của biến cố kia thì hai biến cố đó gọi là phụ thuộc nhau.
Thí dụ 1: Trong bình có 2 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu. Gọi A là biến cố “ lấy được cầu đen. Khi đó P[A] = 3/5. Quả cầu được bỏ lại bình và tiếp tục lấy ngẫu nhiên 1 quả. Gọi B là biến cố lấy được cầu đen lần thứ hai, khi đó P[B] = 3/5. Vậy A và B là độc lập nhau.
Nếu sau khi lấy ra 1 quả cầu lần thứ nhất ta lại hoàn quả cầu lại và lấy ngấu nhiên 1 quả lần thứ hai, thì:
Lần thứ nhất P[A] = 3/5, và nếu biến cố A xảy ra thì P[B] = 1/2 òn nếu biến cố A không xảy ra thì P[B] = 3/4 Vậy A và B là phụ thuộc nhau.
*Chú ý: Nếu A và B độc lâp thì A và
2.2.Định nghĩa 2: Các biến cố A1, A2, …, An gọi là độc lập từng đôi với nhau nếu mỗi cặp hai trong n biến cố đó độc lập với nhau
2.3.Định nghĩa 3: Các biến cố A1, A2, …, An gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố độc lập với một tổ hợp tùy ý của các biến cố còn lại.
Nhiều bài toán khi biểu diễn các biến cố phức hợp dưới dạng các biến cố đơn giản hơn bằng việc sử dụng phép nhân các biến cố
Thí dụ 2: Một máy sản xuất ra ba sản phẩm. Ta xét các biến cố sơ cấp sau:
Ai Sản phẩm thứ i là chính phẩm
Gọi B là biến cố trong ba sản phẩm sản xuất ra có đúng một chính phẩm thì:
B =
Gọi C là biến cố “ Trong ba sản phẩm có ít nhất hai sản phẩm là chính phẩm
C =
2.4. Định lý 1: Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng tích các xác suất thành phần.
P[A.B] = P[A].P[B]
Hệ quả 1: Nếu A và B độc lập thì:
Hệ quả 2: Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn phần bằng tích các xác suất thành phần.
Thí dụ 3: Có hai cái hộp đưcngj chi tiết. hộp thứ nhất đựng 10 cái ốc, trong đó có 6 cái tốt. hộp thứ hai đựng 15 cái vít, trong đó có 9 cái tốt. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một chi tiết. tìm xác suất để lấy được bộ ốc vít tốt.
Giải: gọi A1 là biến cố lấy được ốc tốt ở hộp thứ nhất. A2 là biến cố lấy được vít tố ở hộp thứ hai.Goi A là biến cố “ lấy được bộ ốc vít tốt”
Vậy: A = A1.A2 vì các biến cố này độc lập với nhau nên;
P[A] = P[A1].P[A2] =
2.5.Đinh nghĩa 4: Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A và ký hiệu là P[A/B].
Thí dụ 4: Trong bình có 5 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả cầu. tìm xác suất để lần thứ hai lấy được quả cầu trắng [ biến cố B] nếu biết rằng lần thứ nhất đã lấy được cầu trắng [ biến cố A]
Giải: do A đã xẩy ra nên khi lấy cầu lần thứ hai trong bình chỉ còn 4 cầu trắng và 3 cầu đen . P[B/A] = 4/7
2.6.Định lý 2: Xác suất của tích hai biến cố phụ thuộc A và B bằng tích xác suất của một trong hai biến cố với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại.
P[A.B] = P[A].P[B/A] = P[B].P[A/B]
Hệ quả 1: Nếu P[B] > 0 thì xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính bằng:
Tương tự với P[A] > 0
Hệ quả 2: Xác suất của tích n biến cố phụ thuộc bằng tích xác suất của n biến cố đó, trong đó xác suất của mỗi biến cố tiếp theo sau đều được tính với điều kiện tất cả các biến cố xét trước đó đã xảy ra.
P[ A1A2….An] = P[A1].P[A2/A1].p[A3/A1A2]..….P[An/A1A2…..An-1]
Hệ quả 3: Nếu A và B là các biến cố độc lập thì
P[A/B] = P[A] và P[B/A] = P[B]
Thí dụ 5: Một xí nghiệp có 3 ô tô hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày các ô tô bị hỏng tương ứng là: 0,1; 0,2; 0,15. Tìm xác suất để: a] Một ngày có đúng 1 ô tô bị hỏng. b] một ngày có ít nhất 1 ô tô bị hỏng.
Giải: Gọi Ai là biến cố ô tô thứ i bị hỏng trong ngày i = 1;2;3
Gọi A là biến cố “ một ngày có đúng 1 ô tô bị hỏng”.
Gọi B là biến cố “một ngày có ít nhất 1 ô tô bị hỏng.”
P[A] =
B =
Tuy nhiên
Vậy: P[B] = 1- P[
2.7. Định lý 3: Xác suất của tổng hai biến cố không xung khắc bằng tổng xác suất các biến cố đó trừ đi xác suất của tích các biến cố đó
P[ A + B]= P[A] + P[B] – P[A.B]
3. Công thức Becnuni:
3.1. Định nghĩa: n phép thử độc lập được gọi là n phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn hai điều kiện sau :
i] Mỗi phép thử xảy ra hai biến cố A hoặc
ii] P[A] = p, P[A] như nhau với mọi phép thử.
3.2. Bài toán: Cho phép thử bernoulli. Tìm xác suất để biến cố A xảy ra x lần.
Gọi Ai là biến cố xảy ra biến cố A ở phép thử thứ i [ i : 1,2,…,n ] như vậy
Gọi B là biến cố “ trong n phép thử biến cố A xảy ra x lần”
Ta có: B = A1A2…Ax
Tổng số các tích biến cố như vậy trong biểu thức trên là
P[B] =
Công thức trên gọi là công thức Bernoulli
Thí dụ 1: Trong một phân xưởng có 5 máy hoạt động, xác suất để trong ca mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1. tìm xác suất để trong ca đó có đúng 2 máy bị hỏng.
Giải: Ta coi hoạt động của 5 máy là 5 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử này chỉ có hai trường hợp hoặc máy hỏng, hoặc máy tốt, xác suất hỏng của mỗi máy đều như nhau và bằng 0,1. Bài toán này thỏa mãn điều kiện của dãy phép thử Bernoulli.
Vậy: P5[2] =
Thí dụ 2: Bắn 6 viên đạn vào bia. Xác suất trúng đích cuẩ mỗi viên là 0,7. Tìm xác suất để 3 viên trúng bia.
4. Công thức xác suất đầy đủ:
Giả sử biến cố A xảy ra đồng thời với một trong các biến cố H1,H2,…,Hn. Nhóm H1,H2,…,Hn là nhóm đầy đủ các biến cố. khi đó xác suất của biến cố A được tính bằng công thức:
P[A] =
Chứng minh: vì các biến cố H1,H2,…,Hn là nhóm đầy đủ nên biến cố A chỉ có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố Hi nên A = H1A + H2A + …+HnA vì các biến cố H1,H2,…,Hn xung khắc từng đôi nên HiA và HjA cũng xung khắc từng đôi với mọi i; j
Do đó: P[A] = P[H1A] + P[H2A] + … +P[HnA]. Theo công thức nhân xác suất có: P[A] =
Thí dụ 2: Có 3 hộp giống nhau. Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm, hộp thứ hai đựng 15 xản phẩm trong đó có 10 chính phẩm, hôp thứ ba đựng 20 sản phẩm trong đó có 15 chính phẩm. lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lẫy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm.
Giải: Gọi A là biến cố “ lấy được chính phẩm” . Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố của nhóm đầy đủ các biến cố sau:
Hi – sản phẩm lấy ra từ hộp thứ i [ i = 1,2,3] theo giải thuyết suy ra P[Hi] = 1/3.
Xác suất có điều kiện của biến cố A khi các biến cố H1, H2, H3 xảy ra bằng:
P[A/H1] = 6/10; P[A/H2] =10/15; P[A/H3] = 15/20]
Vậy: P[A] =
5.Công thức Bayes:
Giả sử biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong n biến cố H1,H2,…,Hn tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố .
Ta có: P[AHi] = P[A].P[Hi/A] = P[Hi]P[A/Hi] i = 1,2,…,n [ công thức nhân ]
Suy ra: P[Hi/A] =
Thí dụ: Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người trả lời “ sẽ mua”, 96 người trả lời “có thể sẽ mua” và 70 người trả lời “ không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với các câu trả lời trên là 40%, 20%; 1%
a. Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó.
b. Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm trả lời sẽ mua?
Giải: a. Thị trường tiềm năng của sản phẩm chính là tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm đó. Goi A là biến cố “lấy ngẫu nhiên một khách hàng thì người đó thực sự sẽ mua sản phẩm” Có 3 giả thuyết đối với khách hàng đó:
H1- người đó trả lời “Sẽ mua”
H2- người đó trả lời “Có thể mua”
H3-người đó trả lời “ không mua”
Theo công thức xác suất đầy đủ thì
P[A] = P[H1]P[A/H1] + P[H2]P[A/H2] + P[H3]P[A/H3] =
Vậy tiềm năng của sản phẩm này là 16,75 %
b.Theo công thức Bayes :
P[H1/A] =
BÀI TẬP
1. Dây truyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp 60 % chi tiết, máy thứ hai cung cấp 40% chi tiết. khoảng 90% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất là đạt tiêu chuẩn, còn 85% chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất.
Giải:
CHƯƠNG II: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
II.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN [1]
1.Định nghĩa:
Một biến số được gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên.
Thí dụ 1: Tung một con xúc xắc , gọi X là “ Số chấm xuất hiện” thì X là biến ngẫu nhiên vì trong kết quả của phép thử X có thể nhận một trong 6 giá trị: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Thí dụ 2: Gọi X là “ số con trai trong 100 trẻ sắp sinh ra tại một nhà hộ sinh” X là một biến ngẫu nhiên.
Thí dụ 3: Gọi Y là “ khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia” Y là biến ngẫu nhiên.
2. Phân loại biến ngẫu nhiên:
+ Biến ngẫu nhiên gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được
+ Biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số
Thí dụ 1: Gieo đồng thời hai đồng xu cân đối và đồng chất. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Dễ thấy X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2. Vậy X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
Thí dụ 2: Trong thí dụ 3 ở mục 1 thì Y là biến ngẫu nhiên liên tục vì ta không thể liệt kê ra khoảng cách một cách chính xác điểm chạm của viên đạn tới tâm bia sau các lần thử.
Thí dụ 3: Gọi Z là “ Số người vào mua hàng tại một siêu thị trong một ngày” Z là biến ngẫu nhiên rời rạc vì các giá trị có thể có của Z lập nên một tập hợp đếm được
Thí dụ 4: Gọi K là “ năng suất lúa vụ mùa của một tỉnh” k là biến ngẫu nhiên liên tục
Note: Sự khác biệt giữa biến cố ngẫu nhiên và biến ngẫu nhiên
Biến cố ngẫu nhiên ta hiểu là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong một phép thử. Còn biến ngẫu nhiên X là một biến cố mà chắc chắn nó sẽ nhận một giá trị nào đó trong số các giá trị có thể có của nó khi phép thử được thực hiện
II.2.QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
Việc các biến ngẫu nhiên nhận một giá trị nào đó trong kết quả của một phép thử thực chất chỉ là một biến cố ngẫu nhiên, do đó nếu chỉ biết các giá trị có thể có của nó thì ta mới chỉ biết được rất ít thông tin về biến ngẫu nhiên đó. Ta cần phải xác định các xác suất tương ứng với các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên để hoàn toàn xác định nó.
1. Định nghĩa: Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng với các giá trị đó.
2.Bảng phân phối xác suất
Bảng phân phối xác suất dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Giả sử biến ngẫu nhiên rời ạc X có thể nhận các giá trị: x1, x2, ….,xn với các xác suất tương ứng là: p1, p2,…., pn. Ta lập bảng sau:
| X | .x1 x2 …….xi…………..xn |
| P[xi] | .p1 p2 pi pn |
Với:
Thí dụ 1: giao đồng thời hai đồng tiền cân đối đồng chất. Gọi “ X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Ta có bảng phân phối xác suất sau:
Thí dụ 2: Trong một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tìm quy luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.
Giải: Gọi Y là “ Số chính phẩm lấy ra” .Ta có bảng phân phối sau:
| Y | 0 1 2 |
| P[X=i] | |
[ lấy được 0 chính phẩm tương đương với việc lấy được 2 phế phẩm ]
Kiểm tra:
Thí dụ 3: Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia là 0,8. Xạ thủ được phát từng viên đạn để bắn cho tới khi trúng bia. Tìm quy luật phân phối xác suất số viên đạn được phát.
Giải: Gọi X là “ Số viên đạn được phát” X là biến ngẫu nhiên rời rạc và có thể nhận các giá trị k:= 1, 2, 3, ….., k,…
Khi X =1 tức là bắn phát đầu tiên trúng bia luôn P[X=1] = 0,8
Khi X =2 Tức là phát thưa nhất trượt, phát thứ hai trúng bia, hai lần bắn là độc lập với nhau nên theo công thức nhân xác suất P[X=2] = 0,2.0,8
Khi X=k Lập luận tương tự như trên P[X=k] = [0,2]k-1.0,8
Ta có bảng phân phối xác suất như sau:
| X | 1 2 …. ……..k,…… |
| P[X=i] | 0,8 0,2.0,8 …. [0,2]k-1.0,8…… |
Kiểm tra:
Note: Bảng phân phối xác suất chỉ dùng được khi biến ngẫu nhiên là rời rạc
3. Hàm phân bố xác suất:
3.1.Định nghĩa: Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F[x], là s để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thực bất kỳ.
F[x] = P[X < x]
+Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì F[x] =
Thí dụ 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau:
| X | 1 3 4 |
| P[X=i] | 0,1 0,5 0,4 |
Hãy tìm hàm phân bố xác suất của X và vẽ đồ thị:
Giải: Nếu x ≤ 1 Thì biến cố [X 4 biến cố [X x1 thì F[x2] ≥ F[x1]
Thật vậy: giải sử x2 > x1 .Xét biến cố [X < x2]. Biến cố này có thể phân tích thành hai biến cố xung khắc nhau: [X < x1] và [ x1 ≤ X < x2] do đó:
P[X < x2] = P[X < x1] + P[x1 ≤ X < x2]
suy ra: P[X < x2] - P[X < x1] = P[x1 ≤ X < x2] ≥ 0 hay F[x2] ≥ F[x1]
Hệ quả 1: Xác suất để biến ngâu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [a; b] bằng hiệu số của hàm phân bố xác suất tại hai đầu khoảng đó:
P[a ≤ X < b] = F[b] –F[a]
Suy từ tính chất 2 [ thay a = x1; b = x2 trong chứng minh trên ]
Hệ quả 2: Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận một giá trị xác định X =x thì bằng 0: P[X = x] = 0.
Thật vậy : ta đặt a = x; b = x +∆x thì: P[x ≤ X < x + ∆x.] = F[x + ∆x] – F[x] lấy giới hạn hai vế khi ∆ x tiến tới 0 , do X là biến ngẫu nhiên liên tục nên tại x hàm phân bố xác suất cũng liên tục
Hệ quả 3: Đỗi với biến ngẫu nhiên liên tục X ta có các đẳng thức sau:
P[a ≤ X ≤ b] = P [a ≤ X < b] = P[a < X ≤ b] = P[a < X < b]
Thật vậy: chẳng hạn P[ a ≤ X < b] = P[X =a] + P[a < X < b] = P[ a < X < b]
Tính chất 3: Ta có biểu thức giới hạn sau:
Hệ quả: Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận các giá trị trong đoạn [a ; b] thì với :
x ≤ a, F[x] = 0; với x > b, F[x] =1
3.3. Ý nghĩa của hàm phân bố xác suất :
Từ định nghĩa hàm phân bố xác suất F[x] = P[X < x] nên giá trị của hàm phân bố xác suất tại một điểm x cho thấy có bao nhiêu phần của một đơn vị xác suất [ do toàn bộ xác suất của biến ngẫu nhiên bằng 1] phân bố trên đoạn [ - ∞ ; x]
Thí dụ: Biến ngẫu nhiên X có hàm phân bố như sau:
F[x] =
Giải: Ta có: P [0 ≤ X < 1/3] = F[1/3] - F[0] =
4. Hàm mật độ xác suất : [ chỉ áp dụng được với biến ngẫu nhiên liên tục]
4.1. Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X [ ký hiệu là f[x]] là đọ hàm bậc nhất của hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên đó.
F’[x] = f[x]
4.2.Các tính chất:
Tính chất 1: Hàm mật độ xác suất luôn không âm: f[x] ≥ 0 với mọi x
Tính chất 2: Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng [a;b] bằng tích phân xác định của hàm mật độ xác suất trong khoảng đó:
P[a < X < b] =
Thật vậy: do X là biến ngẫu nhiên liên tục nên:
P[ a