Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu số hoặc tử số, trong một số trường hợp cụ thể, tùy theo đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số phương pháp đặc biệt khác.
Phương pháp 1. Dùng số 1 làm trung gian
Nếu a 1 và c 1 thì a c . b d b d Khi nào thì sử dụng phương pháp dùng số 1 làm trung gian? Ta sử dụng phương pháp dùng số 1 làm trung gian khi nhận thấy một phân số có tử số lớn hơn mẫu số và phân số kia có tử số bé hơn mẫu số.
Ví dụ 1. So sánh hai phân số 2017 2018
và 2016. 2015 Ta làm như sau: Vì 2017 2018
< 1 và 2016 2015
\> 1 nên 2017 2018
< 2016.
2015
Phương pháp 2. Dùng một phân số làm trung gian
Khi nào thì sử dụng phương pháp dùng một phân số làm trung
gian?
Ta sử dụng phương pháp dùng một phân số làm trung gian để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau:
- Nhận thấy tử số của phân số thứ nhất bé hơn tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai.
Ví dụ 2. So sánh hai phân số 15 37
và 18 . 31 Ta làm như sau: Cách 1. Xét phân số trung gian 15 31
[phân số này có tử số là tử số
của phân số thứ nhất, có mẫu số là mẫu số của phân số thứ hai].
Vì 15 37
< 15
31
và 15 31
< 18
31
nên 15 37
< 18.
31
Cách 2. Xét phân số trung gian 18 37
[phân số này có tử số là tử số
của phân số thứ hai, có mẫu số là mẫu số của phân số thứ nhất].
Vì 18 > 18 và 18 > 15 nên
18 > 15 . 31 37 37 37 31 37
- Nhận thấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất bé hơn tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhưng cả hai phân số đều xấp xỉ [gần bằng] với một phân số nào đó thì ta chọn phân số đó làm trung gian.
Ví dụ 3. So sánh hai phân số 3 8
và 4 . 13 Ta nhận thấy cả hai phân số 3 8
và 4 13
đều xấp xỉ 1 3
nên ta dùng
phân số 1 3
làm trung gian.
Ta có: 3 3 1 nên 3 1 [1]; 4 4 1 nên 4 1 [2]. 8 9 3 8 3 13 12 3 13 3 Từ [1] và [2] suy ra: 3 8
\> 4.
13
Phương pháp 3. So sánh “phần thừa” của hai phân số
Nếu a b
\= m + M; c d
\= m + N mà M > N thì a b
\> c . d
cho.
M và N theo thứ tự gọi là “phần thừa” so với m của hai phân số đã
Khi nào thì sử dụng phương pháp so sánh “phần thừa” của hai
phân số?
Ta sử dụng phương pháp so sánh “phần thừa” để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau:
- Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số lớn hơn mẫu số và hiệu của tử số và mẫu số của hai phân số đều bằng nhau thì ta so sánh “phần thừa” so với 1 của hai phân số đã cho.
Ví dụ 4. So sánh hai phân số 79 76
và 86 . 83
M và N theo thứ tự gọi là “phần thiếu” hay “phần bù” so với m của hai phân số đã cho.
Khi nào thì sử dụng phương pháp so sánh “phần thiếu” của hai phân số?
Ta sử dụng phương pháp so sánh “phần thiếu” để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau:
- Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số nhỏ hơn mẫu số và hiệu của mẫu số và tử số của hai phân số đều bằng nhau thì ta so sánh “phần thiếu” so với 1 của hai phân số đã cho.
Ví dụ 7. So sánh hai phân số 42 43
và 58 . 59 Ta làm như sau: Ta có: 1 - 42 = 1 ; 1 - 58 = 1 . 43 43 59 59 Vì 1 > 1 43 59
nên 42 43
< 58.
59 Nhận xét: Nếu hai phân số có “phần bù” tới đơn vị khác nhau, phân số nào có “phần bù” lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
- Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số nhỏ hơn mẫu số và nếu lấy mẫu số chia cho tử số ở cả hai phân số thì có thương bằng nhau.
Ví dụ 8. So sánh hai phân số 2 5
và 3 . 7 Ta làm như sau: Lấy mẫu số chia cho tử số: 5 : 2 = 2 [dư 1]; 7 : 3 = 2 [dư 1]. Chọn mẫu số của phân số chung bằng cách lấy phần nguyên của
thương [có 1 ]. 2 Thực hiện phép trừ: 1
- 2 =
1 ; 1 - 3 =
1 . 2 5 10 2 7 14 Vậy ta có: 2 = 1 - 1 ; 3 = 1 - 1 . 5 2 10 7 2 14 Vì 1 10
\>
1 nên 2 14 5
8 nên 44 < 68 hay 11 < 17. 52 76 52 76 52 76
Phương pháp 6. Thực hiện “phép chia hai phân số”
Phương pháp này được sử dụng dựa vào nhận xét: “Trong phép chia, nếu số bị chia lớn hơn số chia thì được thương lớn hơn 1, nếu số bị chia bé hơn số chia thì được thương nhỏ hơn 1”.
Khi nào thì sử dụng phương pháp “chia hai phân số”? Ta sử dụng phương pháp “chia hai phân số” khi nhận thấy tử số và mẫu số của hai phân số là những số có giá trị không quá lớn, không mất nhiều thời gian khi thực hiện phép nhân ở tử số và mẫu số.
Ví dụ 10. So sánh hai phân số 2 23
và 9. 41 Ta có: 2 : 9 = 2 41 82. Vì 82 < 1 nên
2 < 9 . 23 41 23 9 207 207 23 41
Phương pháp 7. Đảo ngược phân số để so sánh
Phương pháp này được sử dụng dựa vào nhận xét: “Trong hai phép chia có số bị chia bằng nhau [đều bằng 1], phép chia nào có số chia lớn hơn thì có thương nhỏ hơn”.
Khi nào thì sử dụng phương pháp đảo ngược phân số? Ta sử dụng phương pháp đảo ngược phân số khi nhận thấy cả hai phân số đều có tử số bé hơn mẫu số và nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì
- C = 432143214321 và D = 1231 1231 1231 1231. 999999999999 1997 19971997 199819982000
- E = 2006 2007 và G = 2007 2006. 987654321 246813579 987654321 246813579
- Không tính ra kết quả, hãy so sánh:
- A = 1 7
+ 1 + 1
13 25
+ 1 + 1
49 97
với 1 . 3
- B = 1 + 1 11 12
+
1 + 1 + 1 13 14 15
+ 1 + 1
16 17
+
1 + 1 + 1 18 19 20
với 1. 2
- C = 1 1 1 1 ... 1 1 với 39 . 21 22 23 24 79 80 40
- D = 2006 2007 2008 2009 2007 2008 2009 2006