Trong đề thi tuyển sinh vào 10 luôn có một bài toán hình học 9, có thể là chứng minh các hệ thức hình học về tổng, hiệu của hai đoạn thẳng, hoặc của hai góc hoặc hệ thức các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
Sau đây, cô sẽ hướng dẫn các em phương pháp chứng minh dạng bài này một cách chi tiết và giải các ví dụ cụ thể.
A.Kiến thức hình học 9 – ôn thi vào lớp 10
1. Hình học 9 – Chứng minh tổng [hoặc hiệu] hai đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
Các em có thể:
#1. Chia đoạn thẳng lớn nhất thành hai phần, sao cho một phần bằng đoạn thẳng thứ nhất và chứng minh phần còn lại bằng đoạn thẳng thứ hai.
#2. Dựng tổng của hai đoạn thẳng cho trước rồi chứng minh tổng này bằng đoạn thẳng thứ ba.
2. Hình học 9 – Chứng minh tổng [hoặc hiệu] hai góc bằng góc thứ ba.
#1. Ta có thể làm tương tự như trên, chia góc lớn nhất thành hai phần, sao cho một phần bằng góc thứ nhất và chứng minh phần còn lại bằng góc thứ hai.
#2. Dùng định lí về góc nội tiếp: Góc nội tiếp [nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ] có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
3. Hình học 9 – Chứng minh hai hệ thức hình học bằng nhau:
#1. Dùng định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì tạo ra những cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
#2. Hai tam giác đồng dạng thì các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, các cặp góc tương ứng bằng nhau.
#3. Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
#4. Dùng tính chất: Đường tròn [O] và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt [O] tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt [O] tại C và D.
Ta có: MA.MB = MC.MD
#5. Dùng tính chất: Nếu từ một điểm M nằm ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB thì MT² = MA. MB
B. Ví dụ – Hình học 9 chứng minh các hệ thức hình học
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn [O]. Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ BC. Chứng minh rằng MB + MC = MA.
Giải:
Chúng ta cùng phân tích để tìm lời giải nhé!
Để chứng minh AM = BM + CM, ta có hai ý tưởng:
1] Tách AM thành hai đoạn, đoạn thứ nhất bằng BM và chứng minh đoạn thứ hai bằng CM.
2] Có thể dựng một đoạn thẳng bằng BM + CM rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng AM.
Giờ ta làm theo hai cách:
Cách 1: Trên tia MA lấy điểm D sao cho MD = MB. Ta sẽ đi chứng minh AD = MC.
Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Tam giác BMD có:
MD = MB [cách dựng]
∠BMD = ∠BCA = 60° [góc nội tiếp cùng chắn cung AB]
⇒ Δ BMD đều ⇒ BD = BM; ∠MBD = 60°
Xét Δ ABD và ΔCBM có:
- AB = BC
- ∠B1 = ∠B3 [ = 60° − ∠B2]
- BD = BM
⇒ Δ ABD = ΔCBM [c.g.c] ⇒ AD = MC.
Vậy MB + MC = MD + AD = MA.
Cách 2:
Trên tia đối của tia MB, lấy điểm E sao cho ME = MC.
Tứ giác ABMC nội tiếp nên ta có ∠BAC = 60° nên ∠BMC = 120°
⇒ ∠CME = 60°
⇒ Δ CME đều ⇒ CM = CE và ∠C3 = 60º.
Xét Δ ACM và Δ BCE có:
- AC = BC
- ∠ACM = ∠BCE [ = 60° + ∠C2]
- CM = CE [cmt]
suy ra Δ ACM và Δ BCE [c.g.c]
⇒ AM = BE = BM + ME hay AM = BM + MC.
Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm M và N.
a] Chứng minh: BEDC nội tiếp
b] Chứng minh ∠DEA = ∠ACB.
c] Chứng minh DE song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
d] Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Chứng minh AO là phân giác của góc MAN.
e] Chứng minh rằng AM² = AE.AB
Pro TIP >>> Khi làm bài hình học 9: Ta nên vẽ hình – ghi giả thiết kết luận cho dễ nhìn và dễ phân tích cái đã cho và cái cần tìm.
Hướng dẫn giải:
a] Chứng minh tứ giác nội tiếp rất phổ biến trong các bài toán hình học 9, các em có thể tham khảo các cách chứng minh tứ giác nội tiếp tại đây.
Trong bài này, ta nhìn hình thấy tứ giác BEDC có D và E cùng nhìn BC một góc 90 độ: [góc BEC = góc BDC = 90 độ] nên ta suy ra tứ giác BEDC là hình bình hành.
b] Đây là một câu chứng minh hai góc bằng nhau. Ta phải chứng minh: ∠DEA = ∠ACB
Xét ∠ACB trước nhé!
∠ACB là một góc của tứ giác nội tiếp BEDC [ta vừa chứng minh ở câu a] nên suy ra ∠ACB + ∠BED = 180º >> Viết lại AM² = AE.AB thành tỉ lệ các cặp cạnh . Như vậy, có thể xét cặp tam giác AMB và AME đúng không?
Xét ΔAME và Δ AMB có:
∠MBA = ∠AME [AM = AN cmt]
∠A1 : góc chung
⇒ ΔAME ∼ Δ AMB [g.g] ⇒ ⇒ AM² = AE.AB.
Xem thêm: Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10
Học Toán hình bằng tiếng Anh tại đây.
>>> Học Toán online với giáo viên Toán liên hệ: 035 3150072