1. Lý thuyết nhị thức newton
Nhị thức newton là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán 10. Khi học về nhị thức newton, các em cần nắm vững công thức nhị thức newton và cách triển khai hằng đẳng thức dựa theo nhị thức newton sau đây.
Với n là số nguyên dương và a,b là số thực, ta có công thức:
Bởi vai trò của a và b là như nhau, nên ta có thể hoán đổi vị trí a và b để được công thức tương đương:
Áp dụng công thức nhị thức newton, ta có thể triển khai được một số hằng đẳng thức quen thuộc sau đây:
2. Hướng dẫn cách bấm máy tính nhị thức newton
Để dễ dàng hiểu được cách bấm máy tính nhị thức newton, các em cùng VUIHOC xét ví dụ sau đây:
Ví dụ 1: Tìm số hạng chứa $x^{40}$ trong khai triển nhị thức Newton: $[x^3-\frac{2}{x^2}]^{15}$ với $x\neq 0$
Hướng dẫn giải casio nhị thức newton:
Thông thường, khi các em giải tự luận thì sẽ làm theo công thức:
Từ đây có thể suy ra cách giải casio nhị thức newton là dùng Table như sau:
Bước 1: Vào MODE 7, bật f[x], g[x] và qwR52
Bước 2: Nhập phần hệ số vào f[x], lưu ý thay k=X
Bước 3: Nhập phần số mũ vào g[x], lưu ý thay x=10
START=END=15=STEP 1=
Bước 4: Đẩy con trỏ tới `10^{40} ở cột g[x]:
Như vậy, ta được hệ số cần tìm là 30
Ví dụ 2: Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển newton [x^3-\frac{2}{x^2}]^n [x>0] biết n là số tự nhiên thoả mãn:$A_{n}^{2}+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=92$
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Dùng table tìm n:
Bước 2: Tìm hệ số của $x^4$ tương tự như ví dụ 1.
Ví dụ 3: Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển nhị thức newton của $[2+x]^n$, biết:
Hướng dẫn giải bằng CASIO:
3. Luyện tập giải bài tập nhị thức newton bằng casio
Bài 1: Cho n là số tự nhiên thoả mãn $2C_{n}^{1}-C_{n}^{2}+n=0$. Tìm hệ số $x^5$ sau khi khai triển biểu thức sau đây bằng cách bấm máy tính nhị thức newton:
$f[x]=[x^3-\frac{2}{x}]^n$
Hướng dẫn giải:
Thử các giá trị của n bằng TABLE ta thấy $n=7$. Vậy $f[x]=[x^3-2x^{-1}]^7$.
Với $k_3, k_{-1}\in N$, ta có hệ phương trình:
Kết luận:
Bài 2: Cho n là số nguyên dương thoả mãn $4C_{n-1}^{3}+2C_{n}^{2}=A_{n}^{3}$. Tìm hệ số $x^7$ sau khi khai triển biểu thức bằng cách bấm máy tính nhị thức newton:
$f[x]=[x^2-\frac{2}{x}]^n$
Hướng dẫn giải:
Các em không giải trực tiếp phương trình $4C_{n-1}^{3}+2C_{n}^{2}=A_{n}^{3}$ mà thử các giá trị n bằng TABLE. Ta thấy phương trình có nghiệm n=11. Vậy $f[x]=[x^2-2x{-1}]^{11}$
Với $k_2, k_{-1}\in N$, ta có hệ phương trình:
Vậy:
Kết luận: Hệ số của $x^7$ là -14784.
Bài 3: Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển đa thức sau bằng cách bấm máy tính nhị thức newton: f[x]=[1+2x+3x^2]^{10}
Hướng dẫn giải:
Với $k_2, k_1, k_0 \in N$, ta có hệ phương trình sau:
Vậy kết luận: Hệ số của $x^4$ bằng 8085,
Bài 4: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+...+C_{n}^{n}=255$. Tìm số hạng chứa $x^{14}$ trong khai triển của biểu thức: $f[x]=[1+x+3x^2]^n$
Hướng dẫn giải:
Ta có $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+...+C_{n}^{n}=255$ ⇔ $2^n-1=225$ ⇔ $n=8$
Với $k_1, k_2, k_0 \in N$ ta có hệ phương trình:
Vậy:
Kết luận: Hệ số của $x^{14}=37908$
Bài 5: Tìm số hạng chứa $x^6$ trong khai triển nhị thức newton của đẳng thức sau [sử dụng cách bấm máy tính nhị thức newton]:
Hướng dẫn giải:
Lưu ý rằng: $x^2+x+1=\frac{[2x+1]^2+3}{4}$. Do đó:
$f[x]=[1+2x]^{10}[x^2+x+1]^2$
$=\frac{1}{16}.[1+2x]^{14}+\frac{3}{8}.[1+2x]^12+\frac{9}{16}[1+2x]^{10}$
Vậy:
Kết luận: hệ số của $x^6$ là 41748
Biết cách bấm máy tính nhị thức newton giúp các em học sinh rút ngắn thời gian và công sức khi xử lý các bài tập liên quan đến
nhị thức newton. Để học thêm nhiều kiến thức thú vị về Toán lớp 10, các em truy cập trang web trường học online vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học với thầy cô VUIHOC ngay bây giờ nhé!