www.facebook.com/mathsnqdieu GV: Cao Thành Thái 1 BÍ KÍP CASIO ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ PHẦN I. TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Giới hạn của dãy số [ ] n u khi n → +∞ ký hiệu là lim n u . Do n → +∞ [một số vô cùng lớn] nên khi dùng MTCT để tính giới hạn bằng chức năng CALC ta sẽ gán cho biến một giá trị lớn tùy ý [thường là 100; 1000000;......]. Cụ thể như sau: 1. Đối với hàm lũy thừa [chứa n ở mũ] Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số [thay biến n bởi biến x]. - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị = 100x , sau đó bấm nút =. Ví dụ: Tính giới hạn 13 4.5 lim 6 2 3.5 n n n n ++ + − . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: a3^Q]$+4O5^Q]+1R6+2^Q]$p3O5 ^Q] Ta được màn hình 1. - Bước 2: bấm r nhập 100 = ta được kết quả hình 2. Giá trị 20 3 − là giới hạn cần tìm. 2. Đối với hàm không phải là hàm lũy thừa Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số [thay biến n bởi biến x]. - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị = 1000000x , sau đó bấm nút =. Ví dụ: Tính giới hạn 2 2 3 4 lim 5 4 n n n n + + + + . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: aQ]d+3Q]+4R5Q]d+Q]+4. Ta được màn hình 1: - Bước 2: bấm r nhập 1000000 [có thể 1000000000] = ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 10,2 5 = là giới hạn cần tìm. PHẦN II. TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn của hàm số khi → +∞x . Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số. - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị = 1000000x , sau đó bấm nút =. Ví dụ: Tính giới hạn 24 3 1 lim 5 2x x x x→+∞ + + + . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: as4Q]d+3Q]+1R5Q]+2 www.facebook.com/mathsnqdieu GV: Cao Thành Thái 2 Ta được màn hình 1. - Bước 2: bấm r nhập 1000000 [có thể 1000000000] = ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 20,4 5 = là giới hạn cần tìm. 2. Giới hạn của hàm số khi → −∞x . Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số. - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị = −1000000x , sau đó bấm nút =. Ví dụ: Tính giới hạn 23 4 3 1 lim 5 2x x x x x→−∞ − + + + . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: a3Q]ps4Q]d+3Q]+1R5Q]+2 Ta được màn hình 1. - Bước 2: bấm r nhập -1000000 [có thể -1000000000] = ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 1, 0 là giới hạn cần tìm. 3. Giới hạn của hàm số khi → 0 x x . Phương pháp 1 Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số. - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị ,= 0 0001x x [hoặc ,= 0 0001nx x nếu → 0 n x x sau đó bấm nút =. Ví dụ: Tính giới hạn 2 22 2 12 lim 4x x x x→− + + − . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: a2Q]+sQ]d+12RQ]dp4. Ta được màn hình 1. - Bước 2: bấm r nhập ,−2 0001 [có thể ,−2 0000001 ] = ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 30,375 8 − =− là giới hạn cần tìm. Phương pháp 2: dùng đạo hàm để tính [qy] Ta dùng định nghĩa đạo hàm 0 0 0 0 [ ] [ ] [ ] lim x x f x f x f x x x→ − ′ = − . Dạng 1: 0 0 [ ] lim x x g x A x x→ = − biết 0 [ ] 0g x = . Ta viết 0 [ ] [ ] [ ]g x f x f x= − . Khi đó nếu [ ]f x có đạo hàm tại 0 x thì 0 0 0 0 [ ] [ ] lim [ ] x x f x f x A f x x x→ − ′= = − . Dạng 2: 0 [ ] lim [ ]x x F x B G x→ = biết 0 0 [ ] [ ] 0F x G x= = . www.facebook.com/mathsnqdieu GV: Cao Thành Thái 3 Ta viết 0 [ ] [ ] [ ]F x f x f x= − và 0 [ ] [ ] [ ]G x g x g x= − . Khi đó nếu [ ]f x , [ ]g x có đạo hàm tại 0 x và 0 [ ] 0g x′ ≠ thì 0 0 0 0 0 0 0 [ ] [ ] [ ] lim [ ] [ ] [ ]x x f x f x x x f x B g x g x g x x x → − ′− = = ′− − . [Phương pháp L’Hopital]. Lưu ý: Phương pháp này áp dụng cho giới hạn hữu hạn dạng 0 0 . Ví dụ: Tính giới hạn 2 2 3 2 lim 2x x x x→− + + + . Ta thực hiện bấm máy như sau: aqyQ]d+3Q]+2$p2 $$qyQ]+2$z2 được mành hình 1. Nhập xong ta bấm = được màn hình 2. Kết quả bài này bằng 1− . Ví dụ: Tính giới hạn 2 21 2 1 2 6 lim 1x x x x x→ + − + + − . Ta thực hiện bấm máy như sau: aqy2Q]+1psQ]d+2Q]+6$$1$$qy Q]dp1$1 được màn hình 1. Nhập xong ta bấm = được màn hình 2. Kết quả bài này là giá trị gần bằng [ ] 2 0, 6 3 = . 4. Giới hạn phải của hàm số khi +→ 0 x x . Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số. - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị ,= + 0 0 0001x x [hoặc ,= + 0 0 0001nx x nếu → 0 n x x sau đó bấm nút =. Ví dụ: Tính giới hạn 2 2 2 2 12 lim 4x x x x+→− + + − . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: a2Q]+sQ]d+12$$Q]dp4 Ta được màn hình 1. - Bước 2: bấm r nhập ,− +2 0 0001 = ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 30,375 8 − =− là giới hạn cần tìm. 5. Giới hạn phải của hàm số khi −→ 0 x x . Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số. - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị ,= − 0 0 0001x x [hoặc ,= − 0 0 0001nx x nếu → 0 n x x sau đó bấm nút =. www.facebook.com/mathsnqdieu GV: Cao Thành Thái 4 Ví dụ: Tính giới hạn 2 2 2 2 12 lim 4x x x x−→ − + − . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: a2Q]psQ]d+12$$Q]dp4 Ta được màn hình 1. - Bước 2: bấm r nhập ,−2 0 0001 = ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 30,375 8 = là giới hạn cần tìm. PHẦN III. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Bài 1. Chứng minh phương trình 32 6 1 0x x− + = có ít nhất hai nghiệm. Cách bấm máy tính CASIO 570VN PLUS w72Q]qdp6Q]+1==z2=2== Ta được kết quả hiển thị như sau: Giải Xét hàm số 3[ ] 2 6 1f x x x= − + . Hàm số 3[ ] 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 2;0 − . Ta có [ 2] 3f − = − và [0] 1f = . Do đó [ 2]. [0] 0f f− < . Vậy phương trình [ ] 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng [ 2;0]− [1]. Hàm số 3[ ] 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 0;1 . Ta có [0] 1f = và [1] 3f = − . Do đó [0]. [1] 0f f < . Vậy phương trình [ ] 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng [0;1] [2]. Từ [1] và [2] suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm. Bài 2. Chứng minh rằng phương trình 5 3 3 0x x− + = luôn có nghiệm. Hướng dẫn: Để chứng minh phương trình luôn có nghiệm ta chỉ cần chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên một khoảng nào đó ta đã chọn. Ta sử dụng MTCT để tìm một khoảng phù hợp đó như sau: Cách bấm máy tính CASIO 570VN PLUS [sử dụng TABLE] w7Q]^5$p3Q]+3==z2=2==RR Ta được kết quả hiển thị như sau: Giải Xét hàm số 5[ ] 3 3f x x x= − + . Hàm số 5[ ] 3 3f x x x= − + liên tục trên đoạn 2; 1 − − . www.facebook.com/mathsnqdieu GV: Cao Thành Thái 5 Ta có [ 2] 23f − = − và [ 1] 5f − = . Do đó [ 2]. [ 1] 23.5 115 0f f− − = − = − < . Vậy phương trình [ ] 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng [ 2; 1]− − . Hay phương trình đã cho luôn có nghiệm. Bài 3. Chứng minh phương trình 32 6 1 0x x− + = có đúng ba nghiệm trong khoảng [ 2;2]− . Hướng dẫn: Phương trình bậc 3 có tối đa ba nghiệm. Do đó để chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm thì ta chia khoảng [ 2;2]− thành ba khoảng phân biệt, mà trên mỗi khoảng đó phương trình có một nghiệm. Cách bấm máy tính CASIO 570VN PLUS w72Q]qdp6Q]+1==z2=2== Ta được kết quả hiển thị như sau: Giải Xét hàm số 3[ ] 2 6 1f x x x= − + . Hàm số 3[ ] 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 2;0 − . Ta có [ 2] 3f − = − và [0] 1f = . Do đó [ 2]. [0] 0f f− < . Vậy phương trình [ ] 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng [ 2;0]− [1]. Hàm số 3[ ] 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 0;1 . Ta có [0] 1f = và [1] 3f = − . Do đó [0]. [1] 0f f < . Vậy phương trình [ ] 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng [0;1] [2]. Hàm số 3[ ] 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 1;2 . Ta có [1] 3f =− và [2] 5f = . Do đó [1]. [2] 0f f < . Vậy phương trình [ ] 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng [1;2] [3]. Từ [1], [2] và [3] suy ra phương trình đã cho có đúng ba nghiệm trên khoảng [ 2;2]− . Bài 4. Chứng minh phương trình 4 cos 3x x− = có ít nhất một nghiệm. Hướng dẫn: Chuyển về cùng vế trái 4 cos 3 0x x− − = rồi tiến hành dùng MTCT tìm khoảng chứa nghiệm. Thường chọn các giá trị cung góc lượng giác đặc biệt như: , , , , 6 4 3 2 π π π π Lưu ý: do phương trình có chứa hàm số lượng giác nên trước khi bấm máy tính phải chuyển đơn vị đo là radian. qw4 Cách bấm máy tính CASIO 570VN PLUS w74kQ]]p3pQ]==zqKa4=qKa2=qKa4 = Ta được kết quả hiển thị như sau: Giải www.facebook.com/mathsnqdieu GV: Cao Thành Thái 6 4 cos 3 4 cos 3 0x x x x− = ⇔ − − = . Xét hàm số [ ] 4 cos 3f x x x= − − . Hàm số [ ] 4 cos 3f x x x= − − liên tục trên đoạn 0; 2 π . Ta có [0] 1f = và 3 2 2 f π π = − − . Do đó [0]. 0 2 f f π nhập
Bước 3 Nếu màn hình hiển thị một số có dạng
- Trường hợp 1 vớitức một số vô cùng lớn thì đáp án là
- Trường hợp 2 vớitức một số vô cùng bé thì đáp án là
- Trường hợp 3 vớitức một số gần bằngthì đáp án là
- Trường hợp 4 Thập phân vô hạn tuần hoàn thì đáp án là số thập phân vô hạn tuần hoàn
- Trường hợp 5 Thập phân vô hạn không tuần hoàn thì đáp án là số thập phân vô hạn không tuần hoàn
1.2 Chú ý
- Một số ít trường hợp khi CALC mà máy báo lỗi Math ERROR thì chúng ta cần giảm số mũ xuống
- Khi màn hình hiển thị kết quả ban đầu làm chúng ta phân vân không biết thuộc Trường hợp 4 hay Trường hợp 5 thì CALC thêm để có thể phân biệt dễ dàng hơn
- Một số cách viết ít gặp trong thực tế nhưng trong Toán học miễn đúng thì vẫn được chấp nhận
| Cách viết thường gặp | Cách viết ít gặp |
| Số |
|
- Trường hợp 4 và Trường hợp 5 dễ nhầm lẫn nên bạn cần chú ý đến chúng nhiều hơn. Tham khảo bảng bên dưới để có thêm thông tin
| Màn hình hiển thị | Nhận xét |
| Trường hợp 4 Số thập phân vô hạn tuần hoàn | |
| Trường hợp 5 Số thập phân vô hạn không tuần hoàn |
- Khi rơi vào Trường hợp 4 thì cần thực hiện một hoặc một vài thủ thuật phù hợp với từng bài toán cụ thể mới có thể tìm ra đáp án
1.3 Chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn sang dạng thức mặc định của máy tính
Chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn 2.357575758 sang dạng thức mặc định của máy tính
Bước 1 Xác định phần nguyên, phần thập phân không tuần hoàn và phần thập phân tuần hoàn
- Phần nguyên là
- Phần thập phân không tuần hoàn
- Phần thập phân tuần hoàn
Bước 2 Nhập phần nguyên => nhấn phím
Bước 3 Nhấn phím =
1.4 Ví dụ
Tính
Bước 1 Nhập dãy số
Bước 2 Nhấn phím CALC => nhập
Bước 3 Quan sát kết quả ban đầu, chúng ta nhận thấy rơi vào Trường hợp 4 tức số thập phân vô hạn tuần hoàn
Số thập phân vô hạn tuần hoàn
Vậy giới hạn cần tìm là
Tính
Giá trị cần tính toán vượt quá
Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 3 nên giới hạn cần tìm là
2 Giới hạn của hàm số
2.1 Thuật giải
Bước 1 Nhập hàm số
Bước 2 Nhấn phím CALC => nếu giới hạn tiến tới
- Trường hợp 1 thì nhập
- Trường hợp 2 thì nhập
- Trường hợp 3 vớithì nhậphoặc
- Trường hợp 4 vớithì nhập
- Trường hợp 5 vớithì nhập
Bước 3 Xem 1.1
2.2 Ví dụ
Tính
Bước 1 Nhập hàm số
Bước 2 Nhấn phím CALC => nhập
Bước 3 Quan sát kết quả ban đầu, chúng ta nhận thấy rơi vào Trường hợp 4 tức số thập phân vô hạn tuần hoàn
Vậy giới hạn cần tìm là
Cho hàm số
a] Tính
b] Tính
a]
Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 4 nên
b]
Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 4 nên
Tính
Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 4 nên giới hạn cần tìm là
Tính
Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 1 nên giới hạn cần tìm là
Tính
Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 2 nên giới hạn cần tìm là
3 Hàm số liên tục
Xét tính liên tục của hàm số f[x] tại
Bước 1 Tính
Bước 2 Tính
Bước 3 So sánh
Xét tính liên tục của hàm số
Bước 1 Tính
Bước 2 Tính
Vì
4 Đường tiệm cận
Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f[x]
Bước 1 Nếu
Bước 2 Nếu
Tìm đường tiệm cận ngang của hàm số
Vì
Tìm đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số
Bước 1 Giả sử
Bước 2 Xét
Bước 2.1 Nếu
Bước 2.2 Nếu
Nếu ở Bước 2.1 tìm được đường tiệm cận đứng thì bỏ qua Bước 2.2
Bước 3 Thực hiện tương tự Bước 2 với trường hợp
Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bước 1 Giải
Bước 2 Tính
Vì
5 Ứng dụng trong Kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia
Câu 6, Đề thi tham khảo, Năm 2021
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bước 1 Giải
Bước 2 Tính
Vậy
Câu 27, Đề thi tham khảo, Năm 2020
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Bước 1 Tính
Suy ra
Bước 2 Giải
Bước 3 Tính
Suy ra
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận
Câu 13, Mã đề thi 101, Năm 2018
Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 2 nên giới hạn cần tìm là
Câu 18, Mã đề thi 101, Năm 2018
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Câu 12, Mã đề thi 101, Năm 2017
Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số