Cách tính lim trái phải

GIỚI HẠN MỘT BÊN

A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ THEO CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

1.Giới hạn hữu hạn

a. Định nghĩa 1

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng

. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi dần đến [hoặc tại điểm ]nếu với mọi dãy số bất kì những số thuộc khoảng mà ta đều có Khi đó ta viết

hoặc khi

b. Định nghĩa 2

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng

Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến [hoặc tại điểm ] nếu với mọi dãy bất kì những số thuộc khoảng mà ta đều có Khi đó ta viết

hoặc khi

Chú ý:

1]. Nếu

thì hàm số f có giới hạn bên phải và giới hạn bên trái tại điểm . Và

2]. Ngược lại, nếu

thì hàm số f có giới hạn tại điểm và .

3]. Các định lí 1 và 2 ở bài trước vẫn đúng khi thay

bởi hoặc

2. Giới hạn vô cực

1.Các định nghĩa

, , và được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.

2. Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay

bởi hoặc .

B. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau:

a].

b].

LỜI GIẢI

a]. Vì

. Vậy

Ta có

b]. Ta có

LỜI GIẢI

Ta có

và

Vì

nên hàm số đã cho không có giới hạn tại

BÀI TẬP TỔNG HỢP

LỜI GIẢI

a]

.

b]

c]

LỜI GIẢI

Ta có

và .

Vì

nên hàm có giới hạn tại và

LỜI GIẢI

a]Ta có

Và

Vậy

b] Ta có

và có

Vậy

LỜI GIẢI

a]. Ta có:

và có

b]. Ta có

và có

Vì

nên hàm số có giới hạn tại và

LỜI GIẢI

Tại

ta có

Mà

Và

.

Nên

Do đó hàm số có giới hạn tại

khi và chỉ khi

Tại

:

.

Do đó hàm số có giới hạn tại

khi và chỉ khi

Từ

và suy ra: hàm số cùng có giới hạn tại và khi và chỉ khi

Vậy với

thì hàm số cùng có giới hạn tại và

LỜI GIẢI

a]

b]

c]

d]

LỜI GIẢI

a].

b].

Vì

c].

Ta có

, và

Kết luận

.

d].

Ta có

, và , và

Kết luận

.

e].

Nếu

.

Nếu

.

Mà

và . Do đó .

f].

Với mọi

ta có:

.

Vậy

.

LỜI GIẢI

a]. Ta có

Vậy ta có

b].Ta có

Chú ý: giới hạn của hàm số và giá trị của hàm số tại điểm lấy giới hạn có thể bằng nhau, có thể khác nhau. Trong thí dụ trên:

câu a] có

, còn câu b]

LỜI GIẢI

Ta có

Ta thấy

nên hàm số không có giới hạn tại .

LỜI GIẢI

Ta có

Hàm số có giới hạn tại

khi và chỉ khi

Video liên quan