Câu 3.63 trang 69 sbt đại số 10 nâng cao

LG a

Hãy biện luận số nghiệm của phương trình \({x^2} + x - 2 = 3x + k,\) từ đó suy ra số điểm chung của parabol (P) và đường thẳng (d).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({x^2} + x - 2 = 3x + k\) tương đương với phương trình

\({x^2} - 2x - \left( {2 + k} \right) = 0\) (1)

Phương trình bậc hai (1) có biệt thức thu gọn \(\Delta ' = k + 3.\) Do đó :

Nếu k < -3 thì < 0, phương trình (1) vô nghiệm nên đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung nào.

Nếu k = -3 thì = 0, phương trình (1) có một nghiệm nên đường thẳng (d) và parabol (P) có một điểm chung.

Nếu k > -3 thì > 0, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nên đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung phân biệt.

LG b

Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm ở hai phía khác nhau của trục tung ?

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại điểm nằm ở hai phía khác nhau của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, nghĩa là

\( - \left( {2 + k} \right) < 0,\) hay \(k > - 2\)

LG c

Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt ở về cùng một phía của trục tung. Khi đó hai điểm ấy nằm ở phía nào của trục tung ?

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm ở cùng một phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Nếu gọi hai nghiệm ấy là \(x_1\)và \(x_2\)thì \(x_1+ x_2= 2 > 0\). Điều đó chứng tỏ rằng khi hai nghiệm cùng dấu thì chúng có dấu dương, nghĩa là hai giao điểm nằm ở bên phải trục tung. Muốn vậy, ta phải có:

\(\Delta ' = k + 3 > 0\) và \( - \left( {2 + k} \right) > 0\) tức là \(- 3 < k < - 2\).